Симетрична різниця множин

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теоретико-множинні операції

\overline{A} \! доповнення

A\cup B\! об'єднання
A\cap B\! перетин

A\setminus B\! різниця

A\triangle B\! симетрична різниця
A\times B\! декартів добуток



Симетрична різниця двох множин — теоретико-множинна операція, результатом якої є нова множина, що включає всі елементи вихідних множин, які не належать одночасно обом вихідним множинам. Іншими словами, якщо є дві множини A і B, їх симетрична різниця є об'єднання елементів A, що не входять в B, з елементами B нечленами A. На письмі для позначення симетричної різниці множин A і B використовується позначення A △ B.

В математиці та теорії множин, симетричною різницею двох множин є така множина елементів, які містяться в одній з цих двох множин, але не в обох.

Визначення[ред.ред. код]

Симметричну різницю можна ввести двома способами:

  • симетрична різниця двох заданих множин А та В— це така множина A △ B, куди входять всі ті елементи першої множини, які не входять в другу множину, а, також ті елементи другої множини, які не входять в першу множину:
(A \triangle B) = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)
  • симетрична різниця двох заданих множин A і B — це така безліч A △ B, куди входять всі ті елементи обох множин, які не є загальними для двох заданих множин.
(A \triangle B) = (A \cup B) \setminus (A \cap B)

Властивості[ред.ред. код]

  • Симетрична різниця є бінарною операцією у будь-якому булеані;
  • Симетрична різниця є комутативною: A \bigtriangleup B = B\,\triangle\,A;
  • Симетрична різниця є асоціативною: \left(A \bigtriangleup B \right)\,\triangle\,C = A \bigtriangleup \left(B\,\triangle\,C\right);
  • Перетин множин  є дистрибутивним відносно симетричної різниці: A \cap \left(B \bigtriangleup C\right) = \left(A \cap B\right) \bigtriangleup \left(A \cap C\right);
  • Порожня множина є нейтральним елементом симетричної різниці:  A \bigtriangleup \varnothing = A;
  • Будь-яка множина обернена сама собі відносно операції симетричної різниці: A \bigtriangleup A = \varnothing;
  • Булеан з операцією симетричної різниці є абельовой групою;
  • \left(A_1 \cap A_2\right) \bigtriangleup \left(B_1 \cap B_2\right) \subset \left(A_1 \bigtriangleup B_1\right) \cup \left(A_2 \bigtriangleup B_2\right);
  •  \left(A_1 \cup A_2\right) \bigtriangleup \left(B_1\cup B_2\right) \subset \left(A_1 \bigtriangleup B_1\right) \cup \left(A_2 \bigtriangleup B_2\right);
  • \left(A_1 \setminus A_2\right) \bigtriangleup \left(B_1 \setminus B_2\right) \subset \left(A_1 \bigtriangleup B_1\right) \cup \left(A_2 \bigtriangleup B_2\right);
  • Об'єднання симетричної різниці з перетином двох множин дорівнює об'єднанню вихідних множин (A \bigtriangleup B)\cup(A \cap B) = A \cup B;

Приклади[ред.ред. код]

Симетрична різниця AΔB

Симетрична різниця множин {1,2,3} та {3,4} є {1,2,4}.

Симетрична різниця множини усіх студентів та усіх особ жіночої статі, містить множину усіх студентів-чоловіків та усіх жінок, які не є студентами.

Між симетричною різницею та об'єднанням множин такий зв'язок:

A Δ B = (A \ B) ∪(B \ A)

Зв'язок з операцією перетину множин такий:

A Δ B = (AB) \ (AB)

Мовою математичної логіки:

A Δ B = { x : (xA) ⊕ (xB) }.

Тут ⊕ -- логічна функція заперечення тотожності.

Література[ред.ред. код]