Симетрична різниця множин

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теоретико-множинні операції

\overline{A} \! доповнення

A\cup B\! об'єднання
A\cap B\! перетин

A\setminus B\! різниця

A\triangle B\! симетрична різниця
A\times B\! декартів добуток



В математиці та теорії множин, симетричною різницею двох множин є така множина елементів, які містяться в одній з цих двох множин, але не в обох.

Симетрична різниця множин A та B позначається як AΔB.

Симетрична різниця AΔB

Наприклад, симетрична різниця множин {1,2,3} та {3,4} є {1,2,4}.

Симетрична різниця множини усіх студентів та усіх особ жіночої статі, містить множину усіх студентів-чоловіків та усіх жінок, які не є студентами.

Між симетричною різницею та об'єднанням множин такий зв'язок:

A Δ B = (A \ B) ∪(B \ A)

Зв'язок з операцією перетину множин такий:

A Δ B = (AB) \ (AB)

Мовою математичної логіки:

A Δ B = { x : (xA) ⊕ (xB) }.

Тут ⊕ -- логічна функція заперечення тотожності.

Симетрична різниця є комутативною та асоціативною:

A Δ B = B Δ A
(A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C)

Порожня множина є нейтральним елементом, і кожна множина є оберненим елементом до самої себе відносно цієї операції:

A Δ Ø = A
A Δ A = Ø

Перетин множин є дистрибутивним відносно симетричної різниці:

A ∩(B Δ C) = (AB) Δ (AC)

В алгебрі логіки симетрична різниця може бути визначеною так:

x Δ y = (xy) ∧ ¬(xy) = (x ∧ ¬y) ∨ (y ∧ ¬x)