Логіка

Грегор Райш «Логіка подає свої центральні теми». Margarita Philosophica, 1503/08 (?). Обидва собаки veritas (лат. істина, правда) та falsitas (лат. неправда) переслідують зайця problema (лат. проблема), логіка, озброєна мечем сіллогізму, поспішає позаду. Ліворуч внизу — Параменід, за допомогою якого логічна аргументація потрапляє до філософії, до печери"

Ло́гіка (грец. λογιχη від грец. logos — слово, сенс, думка, мова) — наука про закони і форми мислення, методи пізнання та умови істинності знань і суджень. Головним об'єктом дослідження логіки є описові системи мислення, тобто системи які пропонуються як інструкція для людей (а також, можливо інших розумних істот/машин) як слід правильно мислити. При цьому, такі інструкції не слід розглядати як опис того, як люди насправді мислять, що є предметом дослідження інших дисциплін, наприклад коґнітивної психології.

У щоденній мові, логіка є способом судження, що полягає в отриманні висновку із набору припущень. Формальніше, логіка стосується виведення — процесу що продукує нові твердження із вже встановлених. Саме тому у логіці особлива увага приділяється структурам виводу — конкретніше, формальним відношенням між вихідними твердженнями та висновками, де «формальний» означає що ці відносини є незалежними від самих тверджень. Не менш важливим є дослідження істинності виводу, включаючи різноманітні можливі визначення істинності та передумови що на практиці уможливлюють її встановлення. Таким чином очевидною є важлива роль що її відіграє логіка у епістемології, забезпечуючи останню механізмом розширення знання.

Побічним продуктом логіки є рецепти мислення, тобто опис того як люди та інші розумні істоти/машини/системи повинні мислити. При цьому такі рецепти не є суттєвими для предмету самої логіки, але є радше одним із її практичних застосувань. Більш того, вони не повинні розглядатись як опис того як люди насправді мислять, що є предметом дослідження інших дисциплін, зокрема коґнітивної психології.

Традиційно логіка вивчається як галузь філософії. Починаючи із середини вісімсотих років минулого тисячоліття логіка стає предметом дослідження математики, а останнім часом і інформатики. Як наука, логіка досліджує та класифікує структури тверджень та аргументів та розробляє схеми їх кодифікації. Таким чином, предмет дослідження логіки може бути дуже широким, включаючи судження про ймовірність та причинність. Логікою також досліджуються структури логічних хиб та парадокси. Стародавні греки поділяли діалектику на логіку та риторику. Риторика має справу з переконувальною аргументацією, що може певною мірою розглядатись як протиставлення логіці.

Область застосовуваності логіки

В процесі розвитку, у логіку було впроваджено ряд розмежувань що допомагають формалізуванню різних форм логіки як науки. Приклади таких розмежувань наведено нижче.

Дедукція та Індукція

Оригінально, логіка складалась лише із дедукції, що досліджує універсальні правила виводу із заданих тверджень. Однак важливо зауважити, що часом включають в курс логіки також індукцію — науку про виведення достовірних узагальнень із спостережень. Відповідно важливим є розрізнення дедуктивної істинності та індуктивної істинності. Виведення є дедуктивно істинним тоді і лише тоді, якщо неможлива ситуація коли всі припущення істині а вивід ні. Поняття дедуктивної істинності може бути строго сформульоване для систем формальної логіки побудованих із використанням ґрунтовно дослідженої термінології семантики. З іншого боку, індуктивна істинність вимагає спершу дати визначення достовірному узагальненню деякої множини спостережень. Існують різні підходи до цієї задачі, більш або менш формальні; деякі з них використовують математичні ймовірнісні моделі. Надалі мова йтиме головним чином про дедуктивну логіку.

Формальна та неформальна логіка

Вивчення логіки поділяють також на формальну та неформальну логіку.

Формальна логіка (часами використовується термін «символьна логіка») зосереджує зусилля на дослідженні природи логічного виведення та його істинності використовуючи формальні системи, що складаються із формальної мови, набору правил виведення та, деколи, набору аксіом. Формальна мова складається із множини дискретних символів, синтаксису та (часто) семантики, та виразів цією мовою, що часами називаються «формулами». Правила виведення та потенційно аксіоми надалі використовуються для отримання набору теорем, що є формулами отриманими із використанням правил виведення. У випадку формальних логічних систем теореми часто інтерпретують як вирази із логічних істин — (тавтологій), тому можна стверджувати що такі системи хоча б частково схоплюють логічну істину. Формальна логіка охоплює різноманітні логічні системи. Наприклад, пропозиційна логіка, предикатна логіка, темпоральна логіка, модальна логіка, та ін. Логіки вищих порядків це логічні системи в основі яких лежить ієрархія типів.

Неформальна логіка займається вивченням логіки що використовується при арґументації у природній мові. Вона є набагато складнішою оскільки семантика природної мови є суттєво складнішою аніж семантика формальних мов, через наявність такого явища як заперечуваність тверджень.

Парадигми логіки

Протягом усієї історії, розрізнення правильної та неправильної аргументації було предметом підвищеного інтересу, та логіка вивчалась у загалом незмінній формі. Логіка Арістотеля зосереджується головним чином на навчанні правильного аргументування, та її викладання ще й сьогодні має це головною метою. Математична логіка та аналітична філософія розглядають логіку як окремий об'єкт дослідження що має наукову цінність сам по собі, та вивчають її на абстрактішному рівні. Розгляд різних типів логіки має за мету пояснити що логіка не розвивається у вакуумі. Хоча існує внутрішня мотивація для розвитку самої логіки, дисципліна розвивається найуспішніше коли є зрозумілою причина нашої зацікавленості в ній.

Арістотелівська логіка

Органон був основним твором Аристотеля з логіки, при цьому Початки Аналітики були першою працею з формальної логіки де також було введено поняття силогізму.

Діалектична логіка

Мотивація, що спонукала до вивчення логіки в давні часи, полягала у бажанні навчитись розрізняти хороші та погані аргументи, що, як вважалось, дає змогу краще сперечатись, переконувати та бути ліпшим промовцем, а можливо, також, кращою людиною. Ця мотивація досі діє, хоча вона сьогодні не розглядається як головна. Діалектична логіка є ядром курсу критичного судження, обов'язкового курсу в багатьох університетах, особливо тих, що наслідують американську модель.

Математична логіка

Математична логіка насправді складається із двох окремих частин: по-перше, застосуванням методів формальної логіки у математиці та математичному судженні, та, по-друге, застосуванням методів математики для представлення та аналізу формальної логіки.

Найамбітнішою спробою використання логіки у математиці був логіцизм, запропонований та розвинутий в працях філософів-логіків, таких як Готлоб Фреге та Бертран Рассел: його основною ідеєю був погляд що математичні теорії є логічними тавтологіями. Програмою цього напрямку було зведення математики до логіки. Зусилля в цьому напрямку виявились невдалими: спершу невдача Фреґе коли було запропоновано парадокс Рассела, потім невдача Програми Гільберта спричинена відкриттям теореми Геделя про неповноту.

Як твердження Програми Гільберта, так і доказ її некоректності Геделем стали можливими завдяки їх працям що заклали основи другого напрямку математичної логіки, застосування математики у логіці у формі теорії доведення. Незважаючи на негативний характер теореми Геделя про неповноту, вона є свідченням того, наскільки близько до мети були логіцисти: кожна строго визначена математична теорія може бути коректно описана логічною теорією першого порядку, а числення доказів Фреґе є достатнім щоб описати всю математику, хоча не є їй еквівалентним.

Окрім теорії доведення та теорії моделей, теорія множин була джерелом багатьох важливих проблем в математичній логіці, від аксіоми вибору до аксіом великих кардинальних чисел.

Четверта важлива складова частина математичної логіки, теорія рекурсії описує ідею обчислень у термінах логіки та математики. Найважливішими досягненнями тут є нерозв'язність Entscheidungsproblem доведена Аланом Тюрінгом, та формулювання гіпотези Тюрінга. Сьогодні найважливішими проблемами що досліджуються в теорії рекурсії є класи складності — в якому випадку проблема має ефективний розв'язок — та класифікація ступенів нерозв'язності.

Філософська логіка

Філософська логіка займається формалізіцією природної мови, та є продовженням традиційної дисципліни що називалась «Логіка» до винаходу Математичної логіки. Надзвичайно важливою проблемою у філософській логіці є відношення між природньою мовою та логікою. Як наслідок, вченим що займаються цим напрямком ми завдячуємо значним внеском у розвиток нестандартних підходів та ідей логіки.

Тризначна логіка

Логічна теорія, в якій речення набуває трьох значень: «істина», «хиба» та «невизначеність» або «беззмістовність».

Логіка та обчислення

Логіка широко застосовується в дослідженнях штучного інтелекту та в інформатиці, своєю чергою ці галузі є джерелом важливих проблем формальної логіки. В 50-х та 60-х роках, дослідники прогнозували створення розумних машин як тільки людські знання стане можливим описувати із використанням логіки та математичної нотації. Це завдання насправді виявилось набагато складнішим ніж сподівалось. Результатом цих зусиль стало логічне програмування, та такі мови програмування як Prolog, що використовують набір аксіом та правил для відповіді на запити.

В символьній логіці та математичній логіці можливе використання комп'ютерів. Автоматизовані системи доведення теорем використовують для пошуку та перевірки доказів теорем, а також для операцій із формулами занадто довгими для запису вручну. В інформатиці, булева алгебра використовується у проектуванні логічних схем та програм.

Питання навколо яких точиться полеміка у логіці

Бівалентність та закон виключення третього

Всі логіки котрі ми попередньо обговорювали є «бівалентними» або «двозначними», тобто вони приписують кожному твердженню що розглядається одне із двох значень: «істина» або «хибність». Системи що не завжди дотримуються цього правила відомі як не-класичні або неарістотелівські логіки.На початку 20-го століння Ян Лукасевич із Львівсько-Варшавської логічної школи запропонував розширити традиційну логіку включивши в неї третє значення «можливо», винайшовши таким чином тризначну логіку, першу із багатозначних логік. Інтуїціоністська логіка була запропонована Л. Брауером як коректна логіка для суджень про математику, та ґрунтується на відкиданні закону виключення третього. Інтуїціоністська логіка є дуже цікавою для спеціалістів з інформатики, оскільки є конструктивною логікою, а отже є логікою для комп'ютерів. Також була розроблена нечітка логіка, котра передбачає нескінченну кількість «ступенів істинності», описаних дійсними числами від 0 до 1.

Див. також

• Числення висловлень
• Багатозначна логіка
• Нормативна логіка
• Деонтична логіка
• Модальна логіка
• Металогіка

Література

• Ивлев Ю. В. Учебник логики: Семестровый курс: Учебник. — М.: Дело, 2003. — 208 с. — ISBN 5-7749-0317-6
• Бочаров В. А., Маркин В. И. Основы логики: Учебник. — М.: ИНФРА-М, 2001. — 296 с. — ISBN 5-16-000496-3
• Ивин А. А. Логика: Учебное пособие. — Изд. 2-е. — М.: Знание, 1998. — (На портале «Философия в России»; на сайте Славы Янко)
• Ивин А. А., Никифоров А. Л. Словарь по логике — М.: Туманит, ВЛАДОС, 1997. — 384 с. — ISBN 5-691-00099-3.
• Горский Д. П. — Логика: Учебное пособие для педагогических училищ. — Изд. 3-е. — М.: Учпедгиз, 1961. — 160 с.
• Вольфенгаген В. Э. Логика. Конспект лекций: техника рассуждений. 2-е изд., дополн. и перераб. — М: АО «Центр ЮрИнфоР», 2004. — 229 с. ISBN 5-89158-135-3.

• «Філософський словник» / За ред. В. І. Шинкарука. — 2.вид., перероб. і доп. — К.: Голов. Ред. УРЕ, 1986.

Література з історії логіки

• Маковельский А. О. История логики. — М., 1967. — 504 с.
• Попов П. С. История логики нового времени. М., Издательство МГУ, 1960.
• Шольц, Генрих. Geschichte der Logik, 1931. (Concise History of Logic. — New York, 1961).
• Бажанов В. А. История логики в России и СССР. — М.: Канон+, 2007. — 336 с. — ISBN 5-88373-032-9
• Дуцяк І. З. Логіка. Львів: Просвіта, 1996. — 128 с.