Список тригонометричних тотожностей

Тригонометричні тотожності — математичні вирази з тригонометричними функціями, що виконуються для всіх значень аргумента.

Основні тригонометричні формули

Основні формули
$~ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$	(1)
$\mathop{\mathrm{tg}}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \operatorname{sec}^2 \alpha$	(2)
$\mathop{\mathrm{ctg}}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \operatorname{cosec}^2 \alpha$	(3)

Формула (1) є наслідком теореми Піфагора (Тригонометрична тотожність Піфагора). Формули (2) і (3) добуваються діленням формули (1) на cos² θ та sin² θ відповідно.

Формули для суми аргументів

Формули для суми аргументів
$\sin \left( \alpha \pm \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$	(5)
$\cos \left( \alpha \pm \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$	(6)
$\mathop{\mathrm{tg}} \left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{ \mathop{\mathrm{tg}} \alpha \pm \mathop{\mathrm{tg}} \beta}{1 \mp \mathop{\mathrm{tg}} \alpha \mathop{\mathrm{tg}}\beta}$	(7)

Формула (7) отримується діленням (5) на (6).

Формули подвійного кута

Формули подвійного кута виводяться із формул (5), (6) і (7), якщо прийняти, що кут β рівний α:

Формули подвійного кута
$\mathop{\mathrm{sin}} 2 \alpha = 2 {\sin \alpha}{\cos \alpha}$	(23)
$\mathop{\mathrm{cos}} 2 \alpha = {\cos^2 \alpha} - {\sin^2 \alpha} = 2 {\cos^2 \alpha} - 1 = 1 - 2 {\sin^2 \alpha}$	(24)
$\mathop{\mathrm{tg}} 2 \alpha = \frac{2 \mathop{\mathrm{tg}} \alpha}{1 - \mathop{\mathrm{tg}}^2 \alpha}$	(25)
$\mathop{\mathrm{ctg}} 2 \alpha = \frac{\mathop{\mathrm{ctg}}^2 \alpha - 1}{2 \mathop{\mathrm{ctg}} \alpha}$

Формули пониження степеня

Формули пониження степеня виводяться з формул (24):

Синус		Косинус		Інше
$\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$	(26)	$\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$	(27)	$\sin^2\alpha \cos^2\alpha = \frac{1 - \cos 4\alpha}{8}$
$\sin^3\alpha = \frac{3 \sin\alpha - \sin 3\alpha}{4}$		$\cos^3\alpha = \frac{3 \cos\alpha + \cos 3\alpha}{4}$		$\sin^3\alpha \cos^3\alpha = \frac{3\sin 2\alpha - \sin 6\alpha}{32}$
$\sin^4\alpha = \frac{3 - 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha}{8}$		$\cos^4\alpha = \frac{3 + 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha}{8}$		$\sin^4\alpha \cos^4\alpha = \frac{3-4\cos 4\alpha + \cos 8\alpha}{128}$
$\sin^5\alpha = \frac{10 \sin\alpha - 5 \sin 3\alpha + \sin 5\alpha}{16}$		$\cos^5\alpha = \frac{10 \cos\alpha + 5 \cos 3\alpha + \cos 5\alpha}{16}$		$\sin^5\alpha \cos^5\alpha = \frac{10\sin 2\alpha - 5\sin 6\alpha + \sin 10\alpha}{512}$

Формули перетворення добутків функцій

Формули перетворення добутків функцій
$\sin \alpha \sin \beta = \frac{ \cos ( \alpha - \beta) - \cos ( \alpha + \beta)}{2}$	(28)
$\sin \alpha \cos \beta = \frac{ \sin ( \alpha + \beta) + \sin ( \alpha - \beta)}{2}$	(29)
$\cos \alpha \cos \beta = \frac{ \cos ( \alpha + \beta) + \cos ( \alpha - \beta)}{2}$	(30)

Формули перетворення суми функцій

Формули перетворення суми функцій
$\sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \frac{ \alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{ \alpha \mp \beta}{2}$	(31)
$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{ \alpha + \beta}{2} \cos \frac{ \alpha - \beta}{2}$	(32)
$\cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin \frac{ \alpha + \beta}{2} \sin \frac{ \alpha - \beta}{2}$	(33)
$\mathop{\mathrm{tg}} \alpha \pm \mathop{\mathrm{tg}} \beta = \frac{ \sin ( \alpha \pm \beta)}{ \cos \alpha \cos \beta}$	(34)
$\mathop{\mathrm{ctg}} \alpha \pm \mathop{\mathrm{ctg}} \beta = \frac{ \pm \sin ( \alpha \pm \beta)}{ \sin \alpha \sin \beta}$	(35)

Обернені тригонометричні функції

$\arcsin(x)+\arccos(x)=\pi/2\;$

$\arctan(x)+\arccot(x)=\pi/2.\;$

$\arctan(x)+\arctan(1/x)=\left\{\begin{matrix} \pi/2, & \mbox{if }x > 0 \\ -\pi/2, & \mbox{if }x < 0 \end{matrix}\right.$

Поєднання тригонометричних та обернених їм функцій

Поєднання тригонометричних та обернених їм функцій
$\sin[\arccos(x)]=\sqrt{1-x^2} \,$	$\tan[\arcsin (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$
$\sin[\arctan(x)]=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$	$\tan[\arccos (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$
$\cos[\arctan(x)]=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$	$\cot[\arcsin (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$
$\cos[\arcsin(x)]=\sqrt{1-x^2} \,$	$\cot[\arccos (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$

Розв’язок найпростіших тригонометричних рівнянь

• $\operatorname{sin} x = a$.

Якщо $|a|>1$ — дійсних розв’язків не існує.

Якщо $|a| \le 1$ — роз’язком є число виду $x=(-1)^n \arcsin a + \pi n; n \in \mathbb Z$.

• $\operatorname{cos} x = a$.

Якщо $|a|>1$ — розв’язків нема.

Якщо $|a| \le 1$ — роз’язком є число виду $x=\pm \arccos a + 2 \pi n; n \in \mathbb Z$.

• $\operatorname{tg} x = a$.

Розв’язком є число виду $x=\operatorname{arctg} a + \pi n; n \in \mathbb Z$.

• $\operatorname{ctg} x = a$.

Розв’язком є число виду $x=\operatorname{arcctg} a + \pi n; n \in \mathbb Z$.

Універсальна тригонометрична підстановка

Тотожності мають зміст лише тоді, коли існують обидві частини (тобто при $\alpha\neq \pi +2 \pi n$).

• $\operatorname{sin} \alpha = \frac{2 {tg} \frac {\alpha}{2}} {\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2} +1}$

• $\operatorname{cos} \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^{2}\frac{\alpha}{2}}$

• $\operatorname{tg} \alpha = \frac{2 {tg} \frac {\alpha}{2}} {1-\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}}$

Допоміжний аргумент (метод Юніса)

$a \sin x \pm b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin (x \pm \arcsin{\frac{b} \sqrt{a^2 + b^2}})$

$a \cos x \pm b \sin x = \sqrt{a^2 + b^2} \cos (x \mp \arccos{\frac{a} \sqrt{a^2 + b^2}})$

Дивись також

• Тригонометричні функції
• Таблиця інтегралів тригонометричних функцій