Список тригонометричних тотожностей

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Тригонометричні тотожності — математичні вирази з тригонометричними функціями, що виконуються для всіх значень аргумента зі спільної області визначення.

Зміст

Основні позначення[ред.ред. код]

Кути[ред.ред. код]

В цій статті кути позначаються грецькими буквами \alpha, \beta, \gamma і т. д. Величину кута найчастіше задають в градусах або радіанах:

1 повне коло  = 360 градусів = 2\pi радіан  

В наступній таблиці наведено спвівідношення між значеннями в градусах і радіанах для деяких кутів

Градуси 30° 60° 120° 150° 210° 240° 300° 330°
Радіани \frac\pi6\! \frac\pi3\! \frac{2\pi}3\! \frac{5\pi}6\! \frac{7\pi}6\! \frac{4\pi}3\! \frac{5\pi}3\! \frac{11\pi}6\!
Градуси 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°
Радіани \frac\pi4\! \frac\pi2\! \frac{3\pi}4\! \pi\! \frac{5\pi}4\! \frac{3\pi}2\! \frac{7\pi}4\! 2\pi\!

Якщо не сказано інакше, то всі кути вважаються заданими у радіанах, а кути, що закінчуються символом (°) — в градусах.

Тригонометричні функції[ред.ред. код]

У статті будуть наведені співвідношення та тотожності для шести основних тригонометричних функцій:

  • синус \sin \alpha,
  • косинус \cos \alpha,
  • тангенс \mathrm{tg}\alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos\alpha},\quad \alpha\neq\frac{\pi}{2}+\pi n,\,n\in\mathbb{Z},


  • котангенс \mathrm{ctg}\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha},\quad \alpha\neq \pi n,\,n\in\mathbb{Z},


  • секанс \mathrm{sec}\alpha=\frac{1}{\cos\alpha},\quad \alpha\neq \frac{\pi}{2}+\pi n,\,n\in\mathbb{Z},


  • косеканс \mathrm{csc}\alpha=\frac{1}{\sin\alpha},\quad \alpha\neq \pi n,\,n\in\mathbb{Z},

В англомовній літературі тангенс та котангенс зазвичай позначають \tan \alpha та \cot \alpha, відповідно.

Обернені тригонометричні функції[ред.ред. код]

Обернені тригонометричніи функції це такі функції композиція яких зі звичайними тригонометричними функціями дає тотожне відображення. Наприклад, функція обернена до синуса, відома як обернений синус (sin−1) чи арксинус (arcsin or asin), задовольняє співвідношення

\sin(\arcsin x) = x,\quad \quad |x| \leq 1

та

\arcsin(\sin x) = x,\quad\quad |x| \leq \frac{\pi}{2}.

Тригонометричні функції та обернені до них наведені в наступній таблиці:

Функція sin cos tg ctg sec csc
Обернена arcsin arccos arctg arcctg arcsec arccsc

Екзотичні тригонометричні функції[ред.ред. код]

Крім основних шести, також використовуються інші тригонометричні функції кута. Їх використовували раніше при розв'язуванні різних навігаційних задач, однак з розвитком обчислювальної техніки вони втратили свою актуальність.

Назва Скорочене позн. Значення
синус-верзус \operatorname{versin}(\theta)
\operatorname{vers}(\theta)
\operatorname{ver}(\theta)
1 - \cos (\theta)
косинус-верзус \operatorname{vercosin}(\theta) 1 + \cos (\theta)
коверсинус \operatorname{coversin}(\theta)
\operatorname{cvs}(\theta)
1 - \sin(\theta)
коверкосинус \operatorname{covercosin}(\theta) 1 + \sin(\theta)
гаверсинус \operatorname{haversin}(\theta) \frac{1 - \cos (\theta)}{2}
гаверкосинус \operatorname{havercosin}(\theta) \frac{1 + \cos (\theta)}{2}
когаверсинус \operatorname{hacoversin}(\theta) \frac{1 - \sin (\theta)}{2}
когаверкосинус \operatorname{hacovercosin}(\theta) \frac{1 + \sin (\theta)}{2}
ексеканс \operatorname{exsec}(\theta) \sec(\theta) - 1
екскосеканс \operatorname{excsc}(\theta) \csc(\theta) - 1
хорда \operatorname{crd}(\theta) 2\sin\frac{\theta}{2}

Таблиці значень тригонометричних функцій[ред.ред. код]

Значення тригонометричних функцій для найпоширеніших значень кутів (в радіанах)
 0  \frac{\pi}{6}  \frac{\pi}{4}  \frac{\pi}{3}  \frac{\pi}{2}  \frac{2\pi}{3}  \frac{3\pi}{4}  \frac{5\pi}{6}  \pi  \frac{3\pi}{2}
   \sin \alpha =    0  \frac{1}{2}  \frac{\sqrt{2}}{2}  \frac{\sqrt{3}}{2}  1   \frac{\sqrt{3}}{2}  \frac{\sqrt{2}}{2}  \frac{1}{2}  0 -1
    \cos \alpha =  1   \frac{\sqrt{3}}{2}  \frac{\sqrt{2}}{2}  \frac{1}{2}  0 - \frac{1}{2}  -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}  -1   0
   \mathrm{tg} \alpha =  0   \frac{\sqrt{3}}{3}  1  \sqrt{3}  \pm\infty  - \sqrt{3}  - 1  - \frac{\sqrt{3}}{3}  0   \pm\infty
   \mathrm{ctg} \alpha =\!  \pm\infty   \sqrt{3}   1   \frac{\sqrt{3}}{3}  0   -\frac{\sqrt{3}}{3}  -1  -\sqrt{3}  \pm\infty  0

В тих точках, де значення тангенса та котангенса прямують до нескінченності знак залежить від того з якого боку до цієї точки ми підходимо.

Для тангенса — якщо справа, то  +\infty , а якщо зліва, то -\infty . Для котангенса навпаки.

Значення тригонометричних функцій для деяких кутів
 \frac{\pi}{16}  \frac{\pi}{15}  \frac{\pi}{12}  \frac{\pi}{10}  \frac{\pi}{8}  \frac{\pi}{5}
   \sin \alpha =  \frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}  \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{3}(1-\sqrt{5})}{8}  \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}  \frac{\sqrt{5}-1}{4}   \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}  \frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8}
    \cos \alpha =  \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}   \frac{\sqrt{3}\sqrt{10+2\sqrt{5}}+\sqrt{5}-1}{8}  \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}  \frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{8}  \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}  \frac{\sqrt{5}+1}{4}

Основні тригонометричні формули[ред.ред. код]

Основні формули
~ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 (1)
 \mathrm{tg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \operatorname{sec}^2 \alpha (2)
 \mathrm{ctg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \operatorname{csc}^2 \alpha (3)

Формула (1) є наслідком теореми Піфагора (Тригонометрична тотожність Піфагора). Формули (2) і (3) добуваються діленням формули (1) на  \cos^2 \alpha та  \sin^2 \alpha відповідно.

Співвідношення між основними тригонометричними функціями[ред.ред. код]

Кожна з тригонометричних функцій виражена через п'ять інших.
 \sin \alpha\!  \cos \alpha\!  \mathrm{tg} \alpha\!  \csc \alpha\!  \sec \alpha\!  \mathrm{ctg} \alpha\!
   \sin \alpha =\!    \sin \alpha\ \pm\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}\! \pm\frac{\mathrm{tg} \alpha}{\sqrt{1 + \mathrm{tg}^2 \alpha}}\!    \frac{1}{\csc \alpha}\! \pm\frac{\sqrt{\sec^2 \alpha - 1}}{\sec \alpha}\! \pm\frac{1}{\sqrt{1 + \mathrm{ctg}^2 \alpha}}\!
   \cos \alpha =\! \pm\sqrt{1 - \sin^2\alpha}\!    \cos \alpha\! \pm\frac{1}{\sqrt{1 + \mathrm{tg}^2 \alpha}}\! \pm\frac{\sqrt{\csc^2\alpha - 1}}{\csc \alpha}\!    \frac{1}{\sec \alpha}\! \pm\frac{\mathrm{ctg} \alpha}{\sqrt{1 + \mathrm{ctg}^2 \alpha}}\!
   \mathrm{tg} \alpha =\! \pm\frac{\sin \alpha}{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}}\! \pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}}{\cos \alpha}\!    \mathrm{tg} \alpha\! \pm\frac{1}{\sqrt{\csc^2 \alpha - 1}}\! \pm\sqrt{\sec^2 \alpha - 1}\!    \frac{1}{\mathrm{ctg} \alpha}\!
   \csc \alpha=\!    \frac{1}{\sin \alpha}\! \pm\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}}\! \pm\frac{\sqrt{1 + \mathrm{tg}^2 \alpha}}{\mathrm{tg} \alpha}\!    \csc \alpha\! \pm\frac{\sec\alpha}{\sqrt{\sec^2 \alpha - 1}}\! \pm\sqrt{1 + \mathrm{ctg}^2 \alpha}\!
   \sec \alpha =\! \pm\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}}\!    \frac{1}{\cos\alpha}\! \pm\sqrt{1 + \mathrm{tg}^2 \alpha}\! \pm\frac{\csc \alpha}{\sqrt{\csc^2 \alpha - 1}}\!    \sec \alpha\! \pm\frac{\sqrt{1 + \mathrm{ctg}^2\alpha}}{\mathrm{ctg}\alpha}\!
   \mathrm{ctg} \alpha =\! \pm\frac{\sqrt{1 - \sin^2 \alpha}}{\sin\alpha}\! \pm\frac{\cos \alpha}{\sqrt{1 - \cos^2 \alpha}}\!    \frac{1}{\mathrm{tg} \alpha}\! \pm\sqrt{\csc^2 \alpha - 1}\! \pm\frac{1}{\sqrt{\sec^2\alpha - 1}}\!    \mathrm{ctg} \alpha\!

Формули зведення[ред.ред. код]

Сукупність формул, що відображають симетрію тригонометричних функцій відносно певних значень кутів, перетоворення при зсуві аргумента на деякий кут, а також періодичність тригонометричних функцій.

Симетрія[ред.ред. код]

Виконуються наступні співвідношення:

Симетрія відносно кута \alpha=0 Симетрія відносно \alpha= \pi/2
(співвідношення між ко-функціями)
Симетрія відносно \alpha= \pi

\begin{align}
\sin(-\alpha) &= -\sin \alpha \\
\cos(-\alpha) &= +\cos \alpha \\
\mathrm{tg}\,(-\alpha) &= -\mathrm{tg} \alpha \\
\csc(-\alpha) &= -\csc \alpha \\
\sec(-\alpha) &= +\sec \alpha \\
\mathrm{ctg}(-\alpha) &= -\mathrm{ctg} \alpha \\
\end{align}

\begin{align}
\sin(\tfrac{\pi}{2} - \alpha) &= +\cos \alpha \\
\cos(\tfrac{\pi}{2} - \alpha) &= +\sin \alpha \\
\mathrm{tg}(\tfrac{\pi}{2} - \alpha) &= +\mathrm{ctg} \alpha \\
\csc(\tfrac{\pi}{2} - \alpha) &= +\sec \alpha \\
\sec(\tfrac{\pi}{2} - \alpha) &= +\csc \alpha \\
\mathrm{ctg}(\tfrac{\pi}{2} - \alpha) &= +\mathrm{tg} \alpha \\
\end{align}

\begin{align}
\sin(\pi - \alpha) &= +\sin \alpha \\
\cos(\pi - \alpha) &= -\cos \alpha \\
\mathrm{tg}(\pi - \alpha) &= -\mathrm{tg} \alpha \\
\csc(\pi - \alpha) &= +\csc \alpha \\
\sec(\pi - \alpha) &= -\sec \alpha \\
\mathrm{ctg}(\pi - \alpha) &= -\mathrm{ctg} \alpha \\
\end{align}

Зсув та періодичність[ред.ред. код]

Співвідношення часто використовуються для спрощення обчислень.

Зсув на π/2 Зсув на π
Період tg і ctg
Зсув на 2π
Період sin, cos, csc і sec

\begin{align}
\sin(\alpha + \tfrac{\pi}{2}) &= +\cos \alpha \\
\cos(\alpha + \tfrac{\pi}{2}) &= -\sin \alpha \\
\mathrm{tg}(\alpha + \tfrac{\pi}{2}) &= -\mathrm{ctg} \alpha \\
\csc(\alpha + \tfrac{\pi}{2}) &= +\sec \alpha \\
\sec(\alpha + \tfrac{\pi}{2}) &= -\csc \alpha \\
\mathrm{ctg}(\alpha + \tfrac{\pi}{2}) &= -\mathrm{tg} \alpha
\end{align}

\begin{align}
\sin(\alpha + \pi) &= -\sin \alpha \\
\cos(\alpha + \pi) &= -\cos \alpha \\
\mathrm{tg}(\alpha + \pi) &= +\mathrm{tg} \alpha \\
\csc(\alpha + \pi) &= -\csc \alpha \\
\sec(\alpha + \pi) &= -\sec \alpha \\
\mathrm{ctg}(\alpha + \pi) &= +\mathrm{ctg} \alpha \\
\end{align}

\begin{align}
\sin(\alpha + 2\pi) &= +\sin \alpha \\
\cos(\alpha + 2\pi) &= +\cos \alpha \\
\mathrm{tg}(\alpha + 2\pi) &= +\mathrm{tg} \alpha \\
\csc(\alpha + 2\pi) &= +\csc \alpha \\
\sec(\alpha + 2\pi) &= +\sec \alpha \\
\mathrm{ctg}(\alpha + 2\pi) &= +\mathrm{ctg} \alpha
\end{align}

Формули для суми аргументів[ред.ред. код]

Формули для суми аргументів
 \sin \left( \alpha \pm \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta  (5)
 \cos \left( \alpha \pm \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta  (6)
 \mathop{\mathrm{tg}} \left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{ \mathop{\mathrm{tg}} \alpha \pm \mathop{\mathrm{tg}} \beta}{1 \mp \mathop{\mathrm{tg}} \alpha \mathop{\mathrm{tg}}\beta} (7)
 \mathrm{ctg} \left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{ \mathop{\mathrm{ctg}} \alpha \mathop{\mathrm{ctg}} \beta \mp 1}{\mathop{\mathrm{ctg}} \alpha \pm \mathop{\mathrm{ctg}}\beta}

Формула (7) отримується діленням (5) на (6).

Синус і косинус від нескінченної суми[ред.ред. код]

 \sin\left(\sum_{i=1}^\infty \alpha_i\right)
=\sum_{  k =0}^\infty (-1)^{k}
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = 2k+1\end{smallmatrix}}
\left(\prod_{i \in A} \sin\alpha_i \prod_{i \not \in A} \cos\alpha_i\right),
 \cos\left(\sum_{i=1}^\infty \alpha_i\right)
=\sum_{  k =0}^\infty ~ (-1)^{k} ~~
\sum_{\begin{smallmatrix} A \subseteq \{\,1,2,3,\dots\,\} \\ \left|A\right| = 2k\end{smallmatrix}}
\left(\prod_{i \in A} \sin\alpha_i \prod_{i \not \in A} \cos\alpha_i\right).

У правих частинах рівності сума береться по всіх підмножинах натуральних чисел з 2k+1 чи 2k елементів відповідно.

Тангенси від сум аргументів[ред.ред. код]

Нехай e_k=e_k(x_1,\ldots,x_n), \, k=0,1,2,\ldots, n=1,2,3\ldots, — елементарні симетричні многочлени степеня k від n змінних

x_i = \mathrm{tg} \,\alpha_i\quad i=1,2,\ldots,n.

Наприклад:

e_0  = 1 ,
e_1  = \sum_{i=1}^n  x_i  = \sum_i  \mathrm{tg} \alpha_i,
e_2  = \sum_{1\leq i < j\leq n} x_i x_j  = \sum_{i < j} \mathrm{tg} \alpha_i \mathrm{tg} \alpha_j,
e_3  = \sum_{1\leq i < j < k\leq n} x_i x_j x_k  = \sum_{i < j < k} \mathrm{tg} \alpha_i \mathrm{tg} \alpha_j \mathrm{tg} \alpha_k.

Тоді

\mathrm{tg}\left(\sum_{i=1}^{2k} \alpha_i\right) = \frac{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots+(-1)^{k+1}e_{2k-1}}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots+(-1)^ke_{2k}}=\frac{\sum_{i=1}^{k}(-1)^{i+1}e_{2i-1}}{\sum_{i=0}^{k}(-1)^ie_{2i}},\!
\mathrm{tg}\left(\sum_{i=1}^{2k+1} \alpha_i\right) = \frac{e_1 - e_3 + e_5 -\cdots+(-1)^{k}e_{2k+1}}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots+(-1)^ke_{2k}}=\frac{\sum_{i=1}^{k}(-1)^{i}e_{2i+1}}{\sum_{i=0}^{k}(-1)^ie_{2i}}.\!

Наприклад:

 \begin{align}
\mathrm{tg}(\alpha_1 + \alpha_2) &
= \frac{ e_1 }{ e_0 - e_2 }
= \frac{ x_1 + x_2 }{ 1 \ - \ x_1 x_2 }
= \frac{ \mathrm{tg}\,\alpha_1 + \mathrm{tg}\,\alpha_2 }{ 1 \ - \ \mathrm{tg}\,\alpha_1 \mathrm{tg}\,\alpha_2 }
,
\\[8pt]
\mathrm{tg}(\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3) &
= \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 }
= \frac{ (x_1 + x_2 + x_3) \ - \ (x_1 x_2 x_3) }{ 1 \ - \ (x_1x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) }=\frac{ \mathrm{tg}\,\alpha_1 + \mathrm{tg}\,\alpha_2 + \mathrm{tg}\,\alpha_3  -  \mathrm{tg}\,\alpha_1 \mathrm{tg}\,\alpha_2 \mathrm{tg}\,\alpha_3 }{ 1  -  (\mathrm{tg}\,\alpha_1\,\mathrm{tg}\,\alpha_2 + \mathrm{tg}\,\alpha_1 \,\mathrm{tg}\,\alpha_3 + \mathrm{tg}\,\alpha_2 \mathrm{tg}\,\alpha_3) },
\\[8pt]
\mathrm{tg}(\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4) &
= \frac{ e_1 - e_3 }{ e_0 - e_2 + e_4 } \\[8pt] &
= \frac{ (x_1 + x_2 + x_3 + x_4) \ - \ (x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4) }{ 1 \ - \ (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4) \ + \ (x_1 x_2 x_3 x_4) }
\end{align}

і так далі.

Секанс і косеканс від суми аргументів[ред.ред. код]


\begin{align}
\sec\left(\sum_i^n \alpha_i\right) & = \frac{\displaystyle\prod_i^n \sec\alpha_i}{e_0 - e_2 + e_4 - \cdots} = 
\frac{\displaystyle\prod_i^n \sec\alpha_i}{\displaystyle\sum_{0\leq 2k\leq n}(-1)^{k}e_{2k}}\\[8pt]
\csc\left(\sum_i^n \alpha_i \right) & = \frac{\displaystyle\prod_i^n \sec\alpha_i }{e_1 - e_3 + e_5 - \cdots}=\frac{\displaystyle\prod_i^n \sec\alpha_i}{\displaystyle\sum_{1\leq 2k+1\leq n}(-1)^{k}e_{2k+1}}\end{align}

де ek — елементарні симетричні многочлени степеня k від n змінних (дивись пункт тангенси від сум аргументів)

x_i = \mathrm{tg} \alpha_i\quad i=1,2,\ldots,n.

Наприклад,


\begin{align}
\sec(\alpha+\beta+\gamma) & = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{1 - \mathrm{tg}\,\alpha\,\mathrm{tg}\,\beta - \mathrm{tg}\,\alpha\,\mathrm{tg}\,\gamma - \mathrm{tg}\,\beta\,\mathrm{tg}\,\gamma } ,\\[8pt]
\csc(\alpha+\beta+\gamma) & = \frac{\sec\alpha \sec\beta \sec\gamma}{\mathrm{tg}\,\alpha + \mathrm{tg}\,\beta + \mathrm{tg}\,\gamma - \mathrm{tg}\,\alpha\,\mathrm{tg}\,\beta\,\mathrm{tg}\gamma}.
\end{align}

Формули подвійного кута[ред.ред. код]

Формули подвійного кута виводяться із формул (5), (6) і (7), якщо прийняти, що кут β рівний α:

Формули подвійного кута
 \mathop{\mathrm{sin}} 2 \alpha = 2 {\sin \alpha}{\cos \alpha} (23)
 \mathop{\mathrm{cos}} 2 \alpha = {\cos^2 \alpha} - {\sin^2 \alpha} = 2 {\cos^2 \alpha} - 1 = {1 - 2{\mathrm{sin}}^2 \alpha} = \frac{1 - \mathop{\mathrm{tg}}^2 \alpha}{1 + \mathop{\mathrm{tg}}^2 \alpha} (24)
 \mathop{\mathrm{tg}} \,2 \alpha = \frac{2 \mathop{\mathrm{tg}} \alpha}{1 - \mathop{\mathrm{tg}}^2 \alpha} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\, \alpha - \operatorname{tg} \,\alpha} (25)
 \mathop{\mathrm{ctg}}\, 2 \alpha = \frac{\mathop{\mathrm{ctg}}^2 \alpha - 1}{2 \mathop{\mathrm{ctg}} \,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\, \alpha - \operatorname{tg}\, \alpha}{2}

Формули потрійного кута[ред.ред. код]

Формули потрійного кута
\sin 3\alpha = 3 \sin \alpha - 4 \sin^3\alpha =4\sin\alpha\sin\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)\,
\cos 3\alpha = 4 \cos^3\alpha - 3 \cos \alpha =4\cos \alpha\cos \left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)\cos \left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)\,
\operatorname{tg} 3\alpha = \frac{3 \operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}^3\alpha}{1 - 3 \operatorname{tg}^2\alpha}=\mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha\,\mathrm{tg} \left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)\mathrm{tg} \left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)
\operatorname{ctg} 3\alpha = \frac{3 \operatorname{ctg}\alpha - \operatorname{ctg}^3\alpha}{1 - 3 \operatorname{ctg}^2\alpha}=\mathrm{ctg} \,\alpha\, \mathrm{ctg}\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right) \mathrm{ctg}\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)

Формули кратних кутів[ред.ред. код]

Формули кратних кутів
\sin(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\cos^{n-2k-1}\alpha\,\sin^{2k+1}\alpha
\cos(n\alpha)=\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\cos^{n-2k}\alpha\,\sin^{2k}\alpha
\mathrm{tg}(n\alpha)=\frac{\sin(n\alpha)}{\cos(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{tg}^{2k+1}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{tg}^{2k}\alpha}}
\mathrm{ctg}(n\alpha)=\frac{\cos(n\alpha)}{\sin(n\alpha)}=\dfrac{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k}\mathrm{ctg}^{n-2k}\alpha}}{\displaystyle{\sum\limits_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\binom{n}{2k+1}\mathrm{ctg}^{n-2k-1}\alpha}}

де [n] — ціла частина числа n, \binom{n}{k} — біноміальний коефіцієнт.

Ітераційні формули[ред.ред. код]

\sin (n+1)\alpha=2\sin \alpha\cos n\alpha+\sin(n-1)\alpha,
\cos (n+1)\alpha=2\cos \alpha\cos n\alpha+\cos(n-1)\alpha.
\mathrm{tg}\,(n{+}1)\alpha = \frac{\mathrm{tg} (n\alpha) + \mathrm{tg} \alpha}{1 - \mathrm{tg}( n\alpha)\,\mathrm{tg} \alpha}.
\mathrm{ctg}\,(n{+}1)\alpha = \frac{\mathrm{ctg} (n\alpha)\,\mathrm{ctg} \alpha - 1}{\mathrm{ctg} (n\alpha) + \mathrm{ctg} \alpha}.

З використанням спеціальних многочленів[ред.ред. код]

Мають місце такі співвідношення:

\cos n\alpha=T_n(\cos \alpha), \quad \sin^2 n\alpha=\frac{1-T_n(1-2\sin^2 \alpha)}{2},

де T_n(x) — поліном Чебишова першого роду степеня n.

Представлення у вигляді скінченних добутків[ред.ред. код]

\sin 2m\alpha=2m\sin\alpha\cos\alpha\prod_{k=1}^{m-1}\left(1-\frac{\sin^2\alpha}{\displaystyle\sin\frac{\pi k}{2m}} \right),\quad \cos 2m\alpha=\prod_{k=1}^{m}\left(1-\frac{\sin^2\alpha}{\displaystyle\sin\frac{\pi (2k-1)}{4m}} \right),\quad m\in\mathbb{N},


\sin (2m-1)\alpha=(2m-1)\sin\alpha\prod_{k=1}^{m-1}\left(1-\frac{\sin^2\alpha}{\displaystyle\sin\frac{\pi k}{2m-1}} \right),\quad \cos (2m-1)\alpha=\cos\alpha\prod_{k=1}^{m}\left(1-\frac{\sin^2\alpha}{\displaystyle\sin\frac{\pi (2k-1)}{2(2m-1)}} \right),\quad m\in\mathbb{N},


\sin n\alpha=2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1}\sin\left(\alpha+\frac{k\pi}{n}\right),\quad \cos n\alpha=2^{n-1}\prod_{k=1}^{n}\sin\left(\alpha+\frac{(2k-1)\pi}{2n}\right).

Формули половинного кута[ред.ред. код]

Формули половинного кута
\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}\,
\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\,
\operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}\,
\operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}\,

Знак перед виразом обирається у відповідності з тим, до якого квадранту належить кут \frac{\alpha}{2}.

Формули пониження степеня[ред.ред. код]

Формули пониження степеня виводяться з формул подвійного кута:

Синус Косинус Інше
\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} \sin^2\alpha \cos^2\alpha = \frac{1 - \cos 4\alpha}{8}
\sin^3\alpha = \frac{3 \sin\alpha - \sin 3\alpha}{4} \cos^3\alpha = \frac{3 \cos\alpha + \cos 3\alpha}{4} \sin^3\alpha \cos^3\alpha = \frac{3\sin 2\alpha - \sin 6\alpha}{32}
\sin^4\alpha = \frac{3 - 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha}{8} \cos^4\alpha = \frac{3 + 4 \cos 2\alpha + \cos 4\alpha}{8} \sin^4\alpha \cos^4\alpha = \frac{3-4\cos 4\alpha + \cos 8\alpha}{128}
\sin^5\alpha = \frac{10 \sin\alpha - 5 \sin 3\alpha + \sin 5\alpha}{16} \cos^5\alpha = \frac{10 \cos\alpha + 5 \cos 3\alpha + \cos 5\alpha}{16} \sin^5\alpha \cos^5\alpha = \frac{10\sin 2\alpha - 5\sin 6\alpha + \sin 10\alpha}{512}

Загальні формули пониження степеня[ред.ред. код]

Загальні формули пониження степеня
\sin^{2n}\alpha=\frac{1}{2^{2n-1}}\left(\binom{2n}{n}+\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n+k}\binom{2n}{k}\cos2(n-k)\alpha\right)\,
\sin^{2n+1}\alpha=\frac{1}{2^{2n-1}}\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n+k}\binom{2n+1}{k}\cos(2(n-k)+1)\alpha
\cos^{2n}\alpha=\frac{1}{2^{2n-1}}\left(\binom{2n}{n}+\sum_{k=0}^{n}\binom{2n}{k}\cos2(n-k)\alpha\right)
\cos^{2n+1}\alpha=\frac{1}{2^{2n-1}}\sum_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{k}\cos(2(n-k)+1)\alpha

де \binom{n}{k} — біноміальний коефіцієнт.

Формули перетворення добутків функцій[ред.ред. код]

Формули перетворення добутків функцій
 \sin  \alpha  \sin  \beta = \frac{ \cos ( \alpha - \beta) -  \cos ( \alpha + \beta)}{2} (28)
 \sin  \alpha  \cos  \beta = \frac{ \sin ( \alpha + \beta) +  \sin ( \alpha - \beta)}{2} (29)
 \cos  \alpha  \cos  \beta = \frac{ \cos ( \alpha + \beta) +  \cos ( \alpha - \beta)}{2} (30)
 \mathrm{tg}  \alpha  \, \mathrm{tg}  \beta = \frac{ \cos ( \alpha - \beta) -  \cos ( \alpha + \beta)}{\cos ( \alpha + \beta) +  \cos ( \alpha - \beta)}
 \cos  \alpha  \cos  \beta \cos\gamma= \frac{ \cos ( \alpha + \beta+\gamma) +  \cos ( \alpha - \beta+\gamma)+\cos ( \alpha + \beta-\gamma) +  \cos ( \beta+\gamma-\alpha)}{4} (31)
 \sin \alpha  \cos  \beta \cos\gamma= \frac{ \sin ( \alpha + \beta+\gamma) +  \sin ( \alpha - \beta+\gamma)+\sin( \alpha + \beta-\gamma) -  \sin ( \beta+\gamma-\alpha)}{4} (32)
 \,\sin \alpha  \sin  \beta \cos\gamma= \frac{ -\cos ( \alpha + \beta+\gamma) +  \cos ( \alpha - \beta+\gamma)-\cos ( \alpha + \beta-\gamma)-  \cos ( \beta+\gamma-\alpha)}{4} (33)
 \sin \alpha  \sin \beta \sin\gamma= \frac{- \sin ( \alpha + \beta+\gamma) +  \sin ( \alpha - \beta+\gamma)+\sin ( \alpha + \beta-\gamma) +  \sin ( \beta+\gamma-\alpha)}{4} (34)

Формули перетворення суми функцій[ред.ред. код]

Формули перетворення суми функцій
 \sin  \alpha \pm  \sin  \beta = 2 \sin \frac{ \alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{ \alpha \mp \beta}{2} (35)
 \cos  \alpha + \cos  \beta = 2 \cos \frac{ \alpha + \beta}{2} \cos \frac{ \alpha - \beta}{2} (36)
 \cos  \alpha - \cos  \beta = - 2 \sin \frac{ \alpha + \beta}{2} \sin \frac{ \alpha - \beta}{2} (37)
 \mathop{\mathrm{tg}}  \alpha \pm \mathop{\mathrm{tg}}  \beta = \frac{ \sin ( \alpha \pm \beta)}{ \cos  \alpha \cos  \beta} (38)
 \mathop{\mathrm{ctg}}  \alpha \pm \mathop{\mathrm{ctg}}  \beta = \frac{  \sin ( \alpha \pm \beta)}{ \sin  \alpha \sin  \beta} (39)
 \mathop{\mathrm{tg}}  \alpha \pm \mathop{\mathrm{ctg}}  \beta = \frac{ \pm \cos( \alpha \mp \beta)}{ \cos  \alpha \sin  \beta} (40)
 \mathop{\mathrm{tg}}  \alpha + \mathop{\mathrm{ctg}}  \alpha = \frac{ 1}{ \cos  \alpha \sin  \alpha} =2\csc 2\alpha (41)
 \mathop{\mathrm{tg}}  \alpha - \mathop{\mathrm{ctg}}  \alpha =  -2\mathop{\mathrm{ctg}}  2\alpha (42)
 \cos  \alpha - \sin  \alpha =  \sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right) (43)
 \cos  \alpha +\sin  \alpha =  \sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right) (43)

Загальні суми[ред.ред. код]

  • \sum_{k=1}^n\cos(2k-1)\alpha = \cos  \alpha + \cos  3\alpha + \cos  5\alpha +\ldots+ \cos (2n-1) \alpha = \frac{\sin 2n\alpha}{2\sin\alpha}, \quad n\geq 1,


  • \sum_{k=0}^n\sin(2k-1)\alpha = \sin \alpha + \sin  3\alpha + \sin 5\alpha +\ldots+ \sin (2n-1) \alpha = \frac{\sin^2 n\alpha}{\sin\alpha}, \quad n\geq 1,


  •  \sum_{k=0}^n\cos(\varphi+k\alpha)= \cos \varphi + \cos (\varphi+\alpha) + \cos  (\varphi+2\alpha)  +\ldots+ \cos (\varphi+n\alpha) = \frac{\displaystyle\cos\left( \varphi+\frac{n\alpha}{2}\right)\sin \frac{(n+1)\alpha}{2}}{\displaystyle \sin \frac{\alpha}{2}}, \quad \alpha\neq 0, n \geq 1,


  •  \sum_{k=0}^n\sin(\varphi+k\alpha)= \sin \varphi +\sin (\varphi+\alpha) + \sin  (\varphi+2\alpha)  +\ldots+ \sin (\varphi+n\alpha)= \frac{\displaystyle\sin \left( \varphi+\frac{n\alpha}{2}\right)\sin \frac{(n+1)\alpha}{2}}{\displaystyle\sin \frac{\alpha}{2}}, \quad \alpha\neq 0, n\geq 1.


  •  \sum_{k=0}^n\cos^2(k\alpha)=  \frac{\displaystyle 3+2n+\csc\alpha\sin(2n+1)\alpha}{4}, \quad \sum_{k=0}^n\sin^2(k\alpha)=  \frac{\displaystyle 1+2n-\csc\alpha\sin(2n+1)\alpha}{4}, \quad  n \geq 1,


  •  \sum_{k=1}^{n-1}k\cos(k\alpha)=  \frac{n\displaystyle\sin \frac{2n-1}{2}\alpha}{2\displaystyle\sin \frac{\alpha}{2}}-\frac{1-\cos n\alpha}{4\displaystyle\sin^2 \frac{\alpha}{2}}, \quad   \sum_{k=1}^{n-1}k\sin(k\alpha)=  \frac{\sin n\alpha}{4\displaystyle\sin^2 \frac{\alpha}{2}}-\frac{n\displaystyle\cos \frac{2n-1}{2}\alpha}{2\displaystyle\sin \frac{\alpha}{2}}, \quad n \geq 2,


  •  \sum_{k=0}^n p^k\cos(k\alpha)=  \frac{1-p\cos\alpha-p^{n+1}\cos(n+1)\alpha-p^{n+2}\cos n\alpha}{1-2p\cos\alpha+p^2}, \quad  n \geq 1,
  •  \sum_{k=0}^n p^k\sin(k\alpha)=  \frac{p\sin\alpha-p^{n+1}\sin(n+1)\alpha-p^{n+2}\sin n\alpha}{1-2p\cos\alpha+p^2}, \quad  n \geq 1.


Якщо ж p таке, що |p|<1, то при n\rightarrow \infty отримуємо

  •  \sum_{k=0}^\infty p^k\cos(k\alpha)=  \frac{1-p\cos\alpha}{1-2p\cos\alpha+p^2}, \quad \sum_{k=0}^\infty p^k\sin(k\alpha)=  \frac{p\sin\alpha}{1-2p\cos\alpha+p^2}.

Ядро Діріхле та ядро Фейєра[ред.ред. код]

Сума виду

D_n(x)=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n\cos(kx)=\frac{\sin\left(\left(n +\displaystyle\frac{1}{2}\right)x\right)}{2\sin\left(\displaystyle\frac{x}{2}\right)}.

називається ядром Діріхле.

А функція

\Phi_n(x) = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n}D_k(x),

називається ядром Фейєра

\Phi_{n}(x) = \frac{1}{2(n+1)} \left(\frac{\sin \displaystyle\frac{n+1}{2}x}{\sin \displaystyle\frac{x}{2}}\right)^2=\frac{1}{2(n+1)} \frac{1 - \cos((n+1)x)}{1 - \cos x},

Вони використовуються при сумуванні рядів Фур'є.

Представлення через нескінченні добутки[ред.ред. код]

\sin x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right), \qquad \cos x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \displaystyle\frac{x^2}{\pi^2\left(n - \displaystyle\frac{1}{2}\right)^2}\right),

Співвдношення за додаткових обмежень на значення кутів[ред.ред. код]

  • Нехай
\alpha + \beta + \gamma = \pi,

тоді

\sin2\alpha + \sin2\beta + \sin2\gamma = 4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma,\,
\sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma = 4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2},\,
\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2 ,\,


\cos2\alpha + \cos2\beta + \cos2\gamma = -4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-1,\,
 \cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2}+1,
\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1, \,


\mathrm{tg}\,\alpha + \mathrm{tg}\,\beta + \mathrm{tg}\,\gamma = \mathrm{tg}\,\alpha\,\mathrm{tg}\,\beta\,\mathrm{tg}\,\gamma,\,
\mathrm{tg}\, \frac{\beta }{2}\mathrm{tg}\, \frac{\gamma }{2}+\mathrm{tg}\, \frac{\gamma }{2}\mathrm{tg}\, \frac{\alpha }{2}+\mathrm{tg}\, \frac{\alpha }{2}\mathrm{tg}\, \frac{\beta }{2}=1,


\mathrm{ctg}\, \frac{\alpha }{2}+ \mathrm{ctg}\, \frac{\beta }{2}+ \mathrm{ctg}\, \frac{\gamma }{2}= \mathrm{ctg}\, \frac{\alpha }{2} \cdot \mathrm{ctg}\, \frac   {\beta }{2} \cdot \mathrm{ctg}\, \frac{\gamma }{2},
\mathrm{ctg}\,\alpha\,\mathrm{ctg}\,\beta + \mathrm{ctg}\,\beta\,\mathrm{ctg}\,\gamma + \mathrm{ctg}\,\gamma\,\mathrm{ctg}\,\alpha = 1.\,


Зауважимо, що наведені вище співвідношення справджуються, якщо \alpha, \beta, \gamma   — кути деякого трикутника.


  • Нехай
\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2},

тоді

\mathrm{ctg}(\alpha) + \mathrm{ctg}(\beta) + \mathrm{ctg}(\gamma) = \mathrm{ctg}(\alpha)\,\mathrm{ctg}(\beta)\,\mathrm{ctg}(\gamma).


  • Нехай
\alpha + \beta + \gamma +\theta = \pi,

тоді

 \begin{align} \sin(\theta + \alpha)\sin(\alpha + \beta) & =  \sin(\alpha + \beta)\sin(\beta + \gamma)\\
& = \sin(\beta + \gamma)\sin(\gamma + \theta) \\ & = \sin(\gamma + \theta)\sin(\theta + \alpha)  \\ & = \sin(\theta)\sin(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\gamma).
\end{align}

Обернені тригонометричні функції[ред.ред. код]

\arcsin(-x)=-\arcsin(x),\quad \arccos(-x)=\pi-\arccos(x),\quad \arcsin(x)+\arccos(x)=\pi/2\;
 \mathrm{arctg}(-x)=-\mathrm{arctg}(x),\quad \mathrm{arcctg}(-x)=\pi-\mathrm{arcctg}(x), \quad \mathrm{arctg}(x)+\mathrm{arcctg}(x)=\pi/2.\;
\mathrm{arctg}(x)+\mathrm{arctg}(1/x)=\left\{\begin{matrix} \pi/2, & x > 0, \\  -\pi/2, & x < 0. \end{matrix}\right.
Зв'язок між оберненими тригонометричними функціями для x>0
 \arccos   \arcsin   \mathrm{arctg}\,   \mathrm{arcctg}\,
 \arccos x =  \arccos x  \frac\pi2-\arcsin x  \mathrm{arctg}\, \frac {\sqrt{1-x^2}}x  \mathrm{arcctg}\,\frac x{\sqrt{1-x^2}}
\arcsin x = \frac\pi2-\arccos x \arcsin x  \mathrm{arctg} \,\frac x{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{arcctg} \,\frac {\sqrt{1-x^2}}x
\mathrm{arctg}\, x=   \arccos \frac 1{\sqrt{1+x^2}}  \arcsin \frac x{\sqrt{1+x^2}}  \mathrm{arctg}\, x  \mathrm{arcctg}\, \frac 1x
\mathrm{arcctg}\, x= \arccos \frac x{\sqrt{1+x^2}}  \arcsin \frac1 {\sqrt{1+x^2}}  \mathrm{arctg}\,\frac 1x \mathrm{arcctg}\, x


Поєднання тригонометричних та обернених їм функцій[ред.ред. код]

Поєднання тригонометричних та обернених їм функцій
\sin[\arccos(x)]=\sqrt{1-x^2} \, \mathrm{tg}[\arcsin (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}
\sin[\mathrm{arctg}(x)]=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \mathrm{tg}[\arccos (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}
\cos[\mathrm{arctg}(x)]=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \mathrm{ctg}[\arcsin (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}
\cos[\arcsin(x)]=\sqrt{1-x^2} \, \mathrm{ctg}[\arccos (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}

Додавання обернених тригонометричних функцій[ред.ред. код]

Нехай x, y такі, що |x|\leq 1, |y|\leq 1, тоді

\arcsin(x)+\arcsin(y)=(-1)^\varepsilon\arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\right)+\varepsilon\pi, \quad \varepsilon=\left\{\begin{matrix} 0, & xy \leq 0, \\  \sgn x, & xy > 0,\end{matrix}\right.
\quad
\arccos(x)+\arccos(y)=(-1)^\varepsilon\arccos\left(xy-\sqrt{1-y^2}\sqrt{1-x^2}\right)+\varepsilon\pi, \quad \varepsilon=\left\{\begin{matrix} 0, & x+y \geq 0, \\  1, & x+y < 0,\end{matrix}\right.
\quad
\mathrm{arctg}(x)+\mathrm{arctg}(y)=\mathrm{arctg}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)+\varepsilon\pi, \quad \varepsilon=\left\{\begin{array}{ll} -1, & xy <1, \\  0, & xy =1,\\ 1, & xy>1. \end{array}\right.

Розв'язок найпростіших тригонометричних рівнянь[ред.ред. код]

  •  \operatorname{sin} x = a .
Якщо |a|>1 — дійсних розв'язків не існує.
Якщо |a| \le 1 — роз'язком є число виду x=(-1)^n \arcsin a + \pi n; n \in \mathbb Z.
  •  \operatorname{cos} x = a.
Якщо |a|>1 — розв'язків нема.
Якщо |a| \le 1 — роз'язком є число виду x=\pm \arccos a + 2 \pi n; n \in \mathbb Z.
  •  \operatorname{tg} x = a.
Розв'язком є число виду x=\operatorname{arctg} a + \pi n; n \in \mathbb Z.
  •  \operatorname{ctg} x = a.
Розв'язком є число виду x=\operatorname{arcctg} a + \pi n; n \in \mathbb Z.

Розв'язок найпростіших тригонометричних нерівностей[ред.ред. код]

Вид нерівності Множина розв'язків, n\in\mathbb{Z}
\sin x>a \quad (|a|\leqslant 1) x\in (\arcsin a+2\pi n, \, \pi-\arcsin a+2\pi n)
\sin x<a \quad (|a|\leqslant 1) x\in (-\pi-\arcsin a+2\pi n, \, \arcsin a+2\pi n)
\cos x>a \quad (|a|\leqslant 1) x\in (-\arccos a+2\pi n, \, \arccos a+2\pi n)
\cos x<a \quad (|a|\leqslant 1) x\in (\arccos a+2\pi n, \, 2\pi-\arccos a+2\pi n)
\mathrm{tg}\, x>a x\in \left(\mathrm{arctg}\,a+\pi n, \, \frac{\pi}{2}+\pi n\right)
\mathrm{tg}\, x<a x\in \left(-\frac{\pi}{2}+\pi n, \, \mathrm{arctg}\,a+\pi n\right)
\mathrm{ctg}\, x>a x\in (\pi n, \, \mathrm{arcctg}\,a+\pi n)
\mathrm{ctg}\, x<a x\in (\mathrm{arctg}\,a+\pi n, \, \pi n)

Універсальна тригонометрична підстановка[ред.ред. код]

Тотожності мають зміст лише тоді, коли існують обидві частини (тобто при \alpha\neq \pi +2 \pi n).

  •  \operatorname{sin} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \displaystyle\frac {\alpha}{2}} {1+\operatorname{tg}^{2} \displaystyle\frac{\alpha}{2} }, \qquad \operatorname{cos} \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^{2} \displaystyle\frac{\alpha}{2}}{1 + \operatorname{tg}^{2}\displaystyle\frac{\alpha}{2}}, \qquad \sec\alpha = \frac{1 + \displaystyle\operatorname{tg}^{2}\frac{\alpha}{2}}{1 - \displaystyle\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}};


  •  \operatorname{tg} \alpha = \frac{2 \operatorname{tg}\displaystyle \frac {\alpha}{2}} {1-\operatorname{tg}^{2}\displaystyle \frac{\alpha}{2}}, \qquad 
 \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1-\operatorname{tg}^{2}\displaystyle \frac{\alpha}{2}} {2 \operatorname{tg}\displaystyle \frac {\alpha}{2}},\qquad \csc \alpha = \frac{1 + \displaystyle\operatorname{tg}^{2} \frac{\alpha}{2}} {\displaystyle 2 \,{\operatorname{tg}}\, \frac {\alpha}{2}} .

Допоміжний аргумент (метод Юніса)[ред.ред. код]

 a \sin x \pm b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin \left(x \pm \arcsin{\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}}\right),

 a \cos x \pm b \sin x = \sqrt{a^2 + b^2} \cos \left(x \mp \arccos{\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}}\right),

b+a\mathrm{tg}(x)=\frac{\sqrt{a^2 + b^2}\sin(x+\mathrm{arctg}(b/a))}{\cos x},

a+b\mathrm{ctg}(x)=\frac{\sqrt{a^2 + b^2}\sin(x+\mathrm{arctg}(b/a))}{\sin x}.

Перші дві формули можуть бути узагальненими

\sum_{i=1}^n a_i \sin(x+\delta_i)= a \sin(x+\delta),

де

a^2=\sum_{i,j=1}^na_i a_j \cos(\delta_i-\delta_j), \qquad \delta=\mathrm{arctg}\,\frac{\sum_{i=1}^n a_i \sin\delta_i}{\sum_{i=1}^n  a_i \cos\delta_i}.

Зв'язок з комплексною екпонентою[ред.ред. код]

e^{ix} = \cos(x) + 
i\sin(x),\,\, i^2=-1, — формула Ейлера,

Експоненційне представлення тригонометричних функцій та обернених їм[ред.ред. код]

Функція Обернена функція
\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \, \arcsin x = -i \ln \left(ix + \sqrt{1 - x^2}\right) \,
\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \, \arccos x = i\,\ln\left(x-i\,\sqrt{1-x^2}\right) \,
\mathrm{tg} \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})} \, \mathrm{arctg} x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{i + x}{i - x}\right) \,
\csc \theta = \frac{2i}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}} \, \arccsc x = -i \ln \left(\displaystyle\frac{i}{x} + \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}\right) \,
\sec \theta = \frac{2}{e^{i\theta} + e^{-i\theta}} \, \arcsec x = -i \ln \left(\displaystyle\frac{1}{x} + \sqrt{1 - \displaystyle\frac{i}{x^2}}\right) \,
\mathrm{ctg}\theta = \frac{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})}{e^{i\theta} - e^{-i\theta}} \, \mathrm{arcctg} x = \frac{i}{2} \ln \left(\frac{x - i}{x + i}\right) \,

Числові співвідношення[ред.ред. код]

\sin^2(18^\circ)+\sin^2(30^\circ)=\sin^2(36^\circ), \,
\sin 20^\circ\cdot\sin 40^\circ\cdot\sin 80^\circ=\frac{\sqrt{3}}{8},
\cos 36^\circ+\cos 108^\circ=\frac12,
\cos 24^\circ+\cos 48^\circ+\cos 96^\circ+\cos 168^\circ=\frac12,

\begin{align}
& \cos\left( \frac{2\pi}{21}\right)
  + \cos\left(2\cdot\frac{2\pi}{21}\right)   
  + \cos\left(4\cdot\frac{2\pi}{21}\right) \\[10pt]
& {} \qquad {} + \cos\left( 5\cdot\frac{2\pi}{21}\right)
  + \cos\left( 8\cdot\frac{2\pi}{21}\right)
  + \cos\left(10\cdot\frac{2\pi}{21}\right)=\frac{1}{2},
\end{align}
\cos 20^\circ\cdot\cos 40^\circ\cdot\cos 80^\circ=\frac{1}{8},
 \prod_{k=1}^{n-1} \sin\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{n}{2^{n-1}},


 \prod_{k=1}^{n-1} \cos\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{\sin(\pi n/2)}{2^{n-1}} ,


 \prod_{k=1}^{n-1} \mathrm{tg}\,\left(\frac{k\pi}{n}\right) = \frac{n}{\sin(\pi n/2)},


 \prod_{k=1}^{m} \mathrm{tg}\,\left(\frac{k\pi}{2m+1}\right) = \sqrt{2m+1},


 \prod_{k=1}^{n} \sin\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n}\right) = \prod_{k=1}^{n} \cos\left(\frac{\left(2k-1\right)\pi}{4n}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2^{n}},


\frac{\pi}{4} = 4 \mathrm{arctg}\,\frac{1}{5} - \mathrm{arctg}\,\frac{1}{239},


\frac{\pi}{4} = 5 \mathrm{arctg}\,\frac{1}{7} + 2 \mathrm{arctg}\,\frac{3}{79}.

Різне[ред.ред. код]

\sin \left (\frac {\pi}{4}+\alpha \right )=\cos \left (\frac {\pi}{4}-\alpha \right ),
\sin \left (\frac {\pi}{4}-\alpha \right )=\cos \left (\frac {\pi}{4}+\alpha \right ),
 \mathrm{tg}\left( \frac{\alpha+\beta}{2} \right)
= \frac{\sin\alpha + \sin\beta}{\cos\alpha + \cos\beta}
= -\,\frac{\cos\alpha - \cos\beta}{\sin\alpha - \sin\beta},


1\pm \mathrm{tg} \alpha =\frac{\sqrt{2} \sin \left (\displaystyle\frac{\pi}{4}\pm \alpha \right )}{\cos \alpha },
1\pm \mathrm{ctg}\alpha =\frac{\sqrt{2} \sin \left (\displaystyle\frac{\pi}{4}\pm \alpha \right )}{\sin \alpha },
 \mathrm{tg}(\alpha) + \sec(\alpha) =  \mathrm{tg}\left({\alpha \over 2} + {\pi \over 4}\right).
 \mathrm{ctg}(\alpha) + \mathrm{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\csc(\alpha),


 \mathrm{tg} \alpha =\frac{\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha+1},
\operatorname{tg} 5\alpha =\operatorname{tg} \alpha  \cdot \operatorname{tg}\left (\frac{\pi}{5}+\alpha\right )\cdot \operatorname{tg}\left (\frac{\pi}{5}-\alpha\right ) \cdot \operatorname{tg}\left (\frac{2\pi}{5}+\alpha\right )\cdot \operatorname{tg}\left (\frac{2\pi}{5}-\alpha\right ).
\operatorname{tg} 7\alpha =\operatorname{tg} \alpha  \cdot \operatorname{tg}\left (\frac{\pi}{7}+\alpha\right )\cdot \operatorname{tg}\left (\frac{\pi}{7}-\alpha\right ) \cdot \operatorname{tg}\left (\frac{2\pi}{7}+\alpha\right )\cdot \operatorname{tg}\left (\frac{2\pi}{7}-\alpha\right ) \cdot \operatorname{tg}\left (\frac{3\pi}{7}+\alpha\right )\cdot \operatorname{tg}\left (\frac{3\pi}{7}-\alpha\right ).


\cos(\alpha)+2\cos(2\alpha)+3\cos(3\alpha)+\cdots=\sum_{k=1}^nk\cos(k\alpha)=\frac{\displaystyle n\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{(2n+1)\alpha}{2}\right)-2\sin^2\left(\frac{n\alpha}{2}\right)}{\displaystyle 2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}
\sum_{k=1}^n\frac{1}{2^k}\mathrm{tg}\left(\frac{\alpha}{2^k}\right)=\frac{1}{2^n}\mathrm{ctg}\left(\frac{\alpha}{2^n}\right)-\mathrm{ctg}\alpha


\cos (\alpha)\cos\left({\alpha \over 2}\right) \cdot \cos\left({\alpha \over 4}\right)
\cdots=\prod \limits _{n=0}^{\infty} \cos \left (\frac{\alpha}{2^n}\right )=\frac{\sin 2\alpha }{2\alpha}.
 \cos\left({\alpha \over 2}\right) \cdot \cos\left({\alpha \over 4}\right)
\cdot \cos\left({\alpha \over 8}\right)\cdots = \prod_{n=1}^\infty \cos\left({\alpha \over 2^n}\right)
= {\sin \alpha \over \alpha}
\prod \limits _{k=0}^n \cos \left (2^k \alpha \right )=\frac{\sin \left ( 2^{n+1} \alpha \right )}{2^{n+1} \sin \alpha }.
\prod \limits _{k=0}^n \cos \left (\frac{\alpha}{2^k}\right )=\frac{\sin 2\alpha }{2^{n+1} \sin \left (\displaystyle\frac{\alpha}{2^n}\right )}.
\prod \limits _{k=1}^n \cos \left (\frac{\alpha}{2^k}\right )=\frac{\sin \alpha }{2^{n} \sin \left (\displaystyle\frac{\alpha}{2^n}\right )}.
 |\sin x| = \frac1{2}\prod_{n = 0}^\infty \sqrt[2^{n+1}]{\left|\mathrm{tg}\,\left(2^n x\right)\right|}.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. — Москва: Наука, 1979. — 832 с.
  • Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — Москва: Физматгиз, 1963. — 1100 с.