Теорема тангенсів

Теорема тангенсів - тригонометричне твердження, що описує властивості довільного трикутника на площині. Нехай відомі дві сторони a і b довільного трикутника і протилежні їм кути A і B, тоді теорема тангенсів стверджує, що

$\frac{a+b}{a-b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(A+B)]}{\tan[\frac{1}{2}(A-B)]}$

Доведення

Почнемо із (a + b)/(a - b). ((sin A)/a = (sin B)/b із теореми синусів):

$\frac{a+b}{a-b} = \frac{a\cdot\frac{\sin A}{a} + b\cdot\frac{\sin B}{b}}{a\cdot\frac{\sin A}{a} - b\cdot\frac{\sin B}{b}}$

$\frac{a+b}{a-b} = \frac{\sin(A) + \sin(B)}{\sin(A) - \sin(B)} = \frac{2\sin[\frac{1}{2}(A+B)] \cdot \cos[\frac{1}{2}(A-B)]}{2\cos[\frac{1}{2}(A+B)] \cdot \sin[\frac{1}{2}(A-B)]}$

(Дивись: Тригонометричні функції)

$\frac{a+b}{a-b} = \frac{\sin[\frac{1}{2}(A+B)]}{\cos[\frac{1}{2}(A+B)]} \cdot \frac{\cos[\frac{1}{2}(A-B)]}{\sin[\frac{1}{2}(A-B)]}$

$\frac{a+b}{a-b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(A+B)]}{\tan[\frac{1}{2}(A-B)]}$

Див. також

• Теорема синусів
• Теорема косинусів