Таблиця похідних

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Розділи в Математичному аналізі
Фундаментальна теорема
Границя функції
Неперервність
Теорема Лагранжа

Знаходження похідної є найважливішою операцією у диференційному численні. У цій статті наведено загальні правила диференціювання та список похідних основних функцій.

У нижчеподаних формулах x — змінна, f — функція цієї змінної. u і v — довільні функції, що диференціюються, а c — константа. Цих правил і формул достатньо для диференціювання будь-якої елементарної функції.

Загальні правила[ред.ред. код]

Константа[ред.ред. код]

\left({c \cdot f}\right)^\prime = c \cdot f^\prime , де c = \text{const} \,

Сума і різниця похідних[ред.ред. код]

\left({u + v}\right)' = u' + v'
\left({u - v}\right)' = u' - v'

Похідна від добутку і частки[ред.ред. код]

\left({u*v}\right)' = {u'v+uv'}
\left({u \over v}\right)' = {{u'v-uv'} \over {v^2}}\,, \qquad v \ne 0

Похідна від складної функції[ред.ред. код]

Докладніше у статті Диференціювання складної функції
\left({u(v(x))}\right)' = {u_v'(v) \cdot v_x'(x)}

Похідна від оберненої функції[ред.ред. код]

(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}}

Список[ред.ред. код]

Похідні від простих функцій[ред.ред. код]

 \left (c\right )' = 0
 \left (x\right )' = 1
 \left (cx\right)' = c
 |x|' = {x \over |x|} = \sgn x,\qquad x \ne 0
 \left(x^c\right)' = cx^{c-1}, де \left(x^c\right) та \left(x^{c-1}\right) — визначені

Зокрема:

 \left({1 \over x^c}\right)' = {d \over dx} \left(x^{-c}\right) = -{c \over x^{c+1}}
 \left({1 \over x}\right)' = {d \over dx} \left(x^{-1}\right) = -{1 \over x^2}
 \left(\sqrt{x}\right)' = {d \over dx} x^{1\over 2} = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}}  = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x > 0

Похідні від експоненціальних і логарифмічних функцій[ред.ред. код]

 \left (e^x\right)' = e^x  \left (\ln x\right)' = {1 \over x}
 \left (a^x\right)' = {a^x \ln a},\quad a > 0  \left (\log_a x\right)' = {1 \over x \ln a},\quad a > 0, a \ne 1
 \left (e^{ax}\right)' = ae^{ax}

Похідні від тригонометричних функцій[ред.ред. код]

Прямих Обернених
 \left (\sin x\right)' = \cos x  \left (\text{arcsin}\, x\right)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}}
 \left (\cos x\right)' = -\sin x  \left (\text{arccos}\, x\right)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}}
 \left (\text{tg}\, x\right)' = { 1 \over \cos^2 x}  \left (\text{arctg}\, x\right)' = { 1 \over 1 + x^2}
 \left (\sec x\right)' = {\sin x \over \cos^2 x} = \text{tg}\, x \sec x  \left (\text{arcsec}\, x\right)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}
 \left (\text{ctg}\, x\right)' = { -1 \over \sin^2 x}  \left (\text{arcctg}\, x\right)' = {-1 \over 1 + x^2}
 \left (\csc x\right)' = - {\cos x \over \sin^2 x} = -\text{ctg}\, x \csc x  \left (\arccsc x\right)' = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}

Похідні від гіперболічних функцій[ред.ред. код]

Прямих Обернених
 \left (\sinh x\right)' = \cosh x  \left (\mbox{arcsinh}\, x\right)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}
 \left (\cosh x\right)' = \sinh x  \left (\mbox{arccosh}\, x\right)' = {-1 \over \sqrt{x^2 - 1}}
 \left (\tanh x\right)' = \mbox{sech}^2 x  \left (\mbox{arctanh}\, x\right)' = { 1 \over 1 - x^2}
 \left (\mbox{sech}\, x\right)' = - \tanh x\, \mbox{sech}\, x  \left (\mbox{arcsech}\, x\right)' = { 1 \over x\sqrt{1 - x^2}}
 \left (\mbox{coth}\, x\right)' = - \mbox{csch}^2 x  \left (\mbox{arccoth}\, x\right)' = { 1 \over 1 - x^2}
 \left (\mbox{csch}\, x\right)' = - \mbox{coth}\, x\, \mbox{csch}\, x  \left (\mbox{arccsch}\, x\right)' = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Пер. с англ. Н. В. Леви, под ред. К. А. Семендяева. — М.: Наука, 1978. — 228 с. (рос.)
  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — 13-е изд., исправленное. — М.: Наука, 1986. — 544 с. (рос.)