Таблиця похідних

Вибрані статті із
Числення
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Лагранжа Теорема Ролля Теорема про обернену функцію
Диференціальне Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Нотація Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Частка Степінь Складена функція Обернена функція Формула Фаа ді Бруно
Інтегральне Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний Рімана Лебега Стілтьєса Даніелла) Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Рядів Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Ліміт сумування д'Аламбера Радикальна Інтегральна Теорема Лейбніца Діріхле Абеля
Векторів Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Градієнтна Гріна Остроградського Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізоване Дробове Стохастичне Варіаційне
інше Історія Математичний аналіз Нестандартний аналіз

Знаходження похідної є найважливішою операцією у диференціальному численні.

У цій статті наведені правила диференціювання та список похідних основних функцій, яких достатньо для диференціювання будь-якої елементарної функції.

У нижчеподаних формулах

$x$ — змінна,

$f$ — функція цієї змінної,

$u$ і $v$ — довільні функції, що диференціюються,

$c$ — константа.

Загальні правила

Константа

$\left({c\cdot f}\right)^{\prime }=c\cdot f^{\prime }$, де $c={\text{const}}\,$

Похідна суми й різниці функцій

$\left({u+v}\right)'=u'+v'$

$\left({u-v}\right)'=u'-v'$

Похідна добутку й частки функцій

$\left({u\cdot v}\right)'={u'v+uv'}$

$\left({u \over v}\right)'={{u'v-uv'} \over {v^{2}}}\,,\qquad v\neq 0$

Похідна складеної функції

${\Big (}{u{\big (}v(x){\big )}}{\Big )}'={u_{v}'(v)\cdot v_{x}'(x)}$

Похідна оберненої функції

$(f^{-1})'={\frac {1}{f'\circ f^{-1}}}$

Список

Похідні простих функцій

$\left(c\right)'=0$

$\left(x\right)'=1$

$\left(cx\right)'=c$

$|x|'={x \over |x|}=\operatorname {sgn} x,\qquad x\neq 0$

$\left(x^{c}\right)'=cx^{c-1}$, де $\left(x^{c}\right)$ та $\left(x^{c-1}\right)$ — визначені

Зокрема:

$\left({1 \over x^{c}}\right)'={d \over dx}\left(x^{-c}\right)=-{c \over x^{c+1}}$

$\left({1 \over x}\right)'={d \over dx}\left(x^{-1}\right)=-{1 \over x^{2}}$

$\left({\sqrt {x}}\right)'={d \over dx}x^{1 \over 2}={1 \over 2}x^{-{1 \over 2}}={1 \over 2{\sqrt {x}}},\qquad x>0$

Похідні від показникових і логарифмічних функцій

$\left(e^{x}\right)'=e^{x}$	$\left(\ln x\right)'={1 \over x}$
$\left(a^{x}\right)'={a^{x}\ln a},\quad a>0$	$\left(\log _{a}x\right)'={1 \over x\ln a},\quad a>0,a\neq 1$
$\left(e^{ax}\right)'=ae^{ax}$

Похідні від тригонометричних функцій

Прямих	Обернених
$\left(\sin x\right)'=\cos x$	$\left(\operatorname {arcsin} x\right)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\left(\cos x\right)'=-\sin x$	$\left(\operatorname {arccos} x\right)'={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\left(\operatorname {tg} x\right)'={1 \over \cos ^{2}x}$	$\left(\operatorname {arctg} x\right)'={1 \over 1+x^{2}}$
$\left(\sec x\right)'={\sin x \over \cos ^{2}x}=\operatorname {tg} x\sec x$	$\left(\operatorname {arcsec} x\right)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$
$\left(\operatorname {ctg} x\right)'={-1 \over \sin ^{2}x}$	$\left(\operatorname {arcctg} x\right)'={-1 \over 1+x^{2}}$
$\left(\operatorname {cosec} x\right)'=-{\cos x \over \sin ^{2}x}=-\operatorname {ctg} x\operatorname {cosec} x$	$\left(\operatorname {arccosec} x\right)'={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$

Похідні від гіперболічних функцій

Прямих	Обернених
$\left(\operatorname {sh} x\right)'=\operatorname {ch} x$	$\left(\operatorname {arsh} x\right)'={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}$
$\left(\operatorname {ch} x\right)'=\operatorname {sh} x$	$\left(\operatorname {arch} x\right)'={-1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}$
$\left(\operatorname {th} x\right)'=\operatorname {sch} ^{2}x$	$\left(\operatorname {arth} x\right)'={1 \over 1-x^{2}}$
$\left(\operatorname {sech} x\right)'=-\operatorname {th} x\,\operatorname {sech} x$	$\left(\operatorname {arsech} x\right)'={1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\left(\operatorname {cth} x\right)'=-\operatorname {csch} ^{2}x$	$\left(\operatorname {arcth} x\right)'={1 \over 1-x^{2}}$
$\left(\operatorname {csch} x\right)'=-\operatorname {cth} x\,\operatorname {csch} x$	$\left(\operatorname {arcsch} x\right)'={-1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}$

Див. також

• Таблиця інтегралів

Джерела

• Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы / пер. с англ. Н. В. Леви ; под ред. К. А. Семендяева. — М. : Наука, 1978. — 228 с. (рос.)
• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — 13-е изд., исправленное. — М. : Наука, 1986. — 544 с. (рос.)
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)

Посилання

• Основні правила та формули диференціювання // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 240-242. — 594 с.