Таблиця похідних

Розділи в Математичному аналізі

Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Лагранжа Диференціальне числення  Диференціал Похідна Теорема Тейлора Таблиця похідних Диференціювання складної функції Інтегральне числення  Інтеграл Таблиця інтегралів Невластивий інтеграл Методи інтегрування Векторне числення  Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Теорема Гріна Теорема Стокса Формула Остроградського Аналіз функцій багатьох змінних  Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан

Знаходження похідної є найважливішою операцією у диференційному численні. У цій статті міститься список похідних багатьох функцій.

У нижчеподаних формулах х - змінна, f - функція цієї змінної. u і v — довільні функції, що диференціюються, а с — константа. Цих правил і формул достатньо для диференціювання будь-якої елементарної функції.

Загальні правила

Константа

$\left({c \cdot f}\right)^\prime = c \cdot f^\prime$, де $c = \text{const} \,$

Сума і різниця похідних

$\left({u + v}\right)' = u' + v'$

$\left({u - v}\right)' = u' - v'$

Похідна від добутку і частки

$\left({u*v}\right)' = {u'v+uv'}$

$\left({u \over v}\right)' = {{u'v-uv'} \over {v^2}}, \qquad v \ne 0$

Похідна від складної функції

$\left({u(v(x))}\right)' = {u_v'(v) \cdot v_x'(x)}$

Похідна від оберненої функції

$(f^{-1})' =\frac{1}{f' \circ f^{-1}}$

Список

Похідні від простих функцій

$\left (c\right )' = 0$

$\left (x\right )' = 1$

$\left (cx\right)' = c$

$|x|' = {x \over |x|} = \sgn x,\qquad x \ne 0$

$\left(x^c\right)' = cx^{c-1}$, де $\left(x^c\right)$ та $\left(x^{c-1}\right)$ - визначені

Зокрема:

$\left({1 \over x^c}\right)' = {d \over dx} \left(x^{-c}\right) = -{c \over x^{c+1}}$

$\left({1 \over x}\right)' = {d \over dx} \left(x^{-1}\right) = -{1 \over x^2}$

$\left(\sqrt{x}\right)' = {d \over dx} x^{1\over 2} = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}} = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x > 0$

Похідні від експоненціальних і логарифмічних функцій

$\left (a^x\right)' = {a^x \ln a},\qquad a > 0$

$\left (e^x\right)' = e^x$

$\left (e^{ax}\right)' = ae^{ax}$

$\left (\log_a x\right)' = {1 \over x \ln a},\qquad a > 0, a \ne 1$

$\left (\ln x\right)' = {1 \over x}$

Похідні від тригонометричних функцій

$\left (\sin x\right)' = \cos x$

$\left (\cos x\right)' = -\sin x$

$\left (\text{tg} x\right)' = { 1 \over \cos^2 x}$

$\left (\sec x\right)' = \tan x \sec x$

$\left (\text{ctg} x\right)' = { -1 \over \sin^2 x}$

$\left (\csc x\right)' = -\cot x \csc x$

$\left (\text{arcsin} x\right)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}}$

$\left (\text{arccos} x\right)' = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}}$

$\left (\text{arctg} x\right)' = { 1 \over 1 + x^2}$

$\left (\text{arcsec} x\right)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}$

$\left (\text{arcctg} x\right)' = {-1 \over 1 + x^2}$

$\left (\arccsc x\right)' = {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}$

Похідні від гіперболічних функцій

$\left (\sinh x\right)' = \cosh x$

$\left (\cosh x\right)' = \sinh x$

$\left (\tanh x\right)' = \mbox{sech}^2 x$

$\left (\mbox{sech} x\right)' = - \tanh x \mbox{sech} x$

$\left (\mbox{coth} x\right)' = - \mbox{csch}^2 x$

$\left (\mbox{csch} x\right)' = - \mbox{coth} x \mbox{csch} x$

$\left (\mbox{arcsinh} x\right)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}$

$\left (\mbox{arccosh} x\right)' = {-1 \over \sqrt{x^2 - 1}}$

$\left (\mbox{arctanh} x\right)' = { 1 \over 1 - x^2}$

$\left (\mbox{arcsech} x\right)' = { 1 \over x\sqrt{1 - x^2}}$

$\left (\mbox{arccoth} x\right)' = { 1 \over 1 - x^2}$

$\left (\mbox{arccsch} x\right)' = {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}$

Див. також

• Таблиця інтегралів.