Перетворення Лоренца

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Дві системи відліку, одна з яких рухається зі швидкістю  \vec{v} відносно іншої

Перетворення Лоренца це лінійні перетворення координат, що залишають незмінним просторово-часовий інтервал. Перетворення Лоренца зв’язують координати подій в різних інерціальних системах відліку та мають фундаментальне значення в фізиці. Інваріантність фізичної теорії відносно перетворень Лоренца, або загальна коваріантність, є необхідною умовою достовірності цієї теорії.

Формулювання[ред.ред. код]

Найбільш розповсюджена форма запису перетворень Лоренца зв’язує координати події в інерціальній системі відліку K з координатами тієї ж події в системі K′, яка рухається відносно K зі швидкістю V вздовж осі x:

x' = \frac{x-Vt}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}},\quad y' = y,\quad z' = z,\quad t' = \frac{t-(V/c^2)x}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}},
де x, y, z, t – координати події в системі K; x′, y′, z′, t′ – координати тієї ж події в системі K′; V – відносна швидкість двох систем; cшвидкість світла.

Зворотні формули (перехід від системи K′ до K) можна отримати заміною V → -V:

x = \frac{x'+Vt'}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}},\quad y = y',\quad z = z',\quad t = \frac{t'+(V/c^2)x'}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}.

Властивості перетворень Лоренца[ред.ред. код]

З формул перетворень легко побачити, що при граничному переході c→∞ до класичної механіки або — що те ж саме — при швидкостях значно менших швидкості світла формули перетворення Лоренца переходять в перетворення Галілея за принципом відповідності.

При V > c координати x, t стають уявними, що означає той факт, що рух зі швидкістю, більшою за швидкість світла в вакуумі, неможливий. Неможливо навіть використовувати систему відліку, яка б рухалась зі швидкістю світла, бо тоді знаменники у формулах дорівнювали би нулю.

На відміну від перетворень Галілея перетворення Лоренца некомутативні: результат двох послідовних перетворень Лоренца залежить від їх порядку. Математично це можна побачити з формального тлумачення перетворень Лоренца як обертань чотиривимірної системи координат, де, як відомо, результат двох обертань навколо різних осей залежить від порядку їх виконання. Виключенням з цього правила є лише перетворення з паралельними векторами швидкостей V1||V2, які еквівалентні поворотам системи координат відносно однієї осі.

Історична довідка[ред.ред. код]

Поштовхом до відкриття перетворень Лоренца послужив нульовий результат інтерференційного експерименту Майкельсона-Морлі. Для усунення виявлених труднощів теорії ефіру Лоренц припустив, що всі тіла при поступальному русі змінюють свої розміри, а саме, що зменшення розмірів тіла в напрямку руху визначається множником \varkappa \sqrt{1-v^2/c^2}, де \varkappa – зменшення розмірів в напрямку перпендикулярному руху тіла. Необхідно було органічно ввести це зменшення розмірів в теорію.

Першим формули, що відомі зараз як перетворення Лоренца, вивів Джозеф Лармор в 1900 році, та таким чином врахував змінення масштабу часу при русі. В 1904 Лоренц довів інваріантність рівнянь Максвелла відносно перетворень Лоренца, але в них ще входив невизначений множник \varkappa та дві інерційні системи ще не розглядалися повністю рівноправними.

В 1905 Анрі Пуанкаре виправив пропуски в роботі Лоренца та досяг повної коваріантності електродинаміки. Принцип відносності був визначений ним як загальне та строге положення. Саме в работах Пуанкаре вперше зустрічаються назви перетворення Лоренца та група Лоренца.


Виведення[ред.ред. код]

В рамках основного виведення використовуються чотири аксіоми.

Одновимірні покомпонентні перетворення Лоренца для просторової та часової компонент[ред.ред. код]

Чотиривимірні покомпонентні перетворення Лоренца[ред.ред. код]

Перетворення Лоренца для радіус-вектора[ред.ред. код]

Інтервал. Геометричний зміст перетворень Лоренца[ред.ред. код]

Перетворення Лоренца для швидкості. Інваріантність фундаментальної швидкості та максимальність швидкості розповсюдження взаємодії[ред.ред. код]

Перетворення Лоренца для сили[ред.ред. код]

Форми запису перетворень Лоренца[ред.ред. код]

Матричний запис перетворень Лоренца[ред.ред. код]

Часто, особливо в англомовній літературі, перетворення Лоренца записують у вигляді матриці повороту ||Λα′β||, що переводить компоненти 4-вектору xβ системи K в компоненти 4-вектору xα′ = Λα′βxβ, системи K′:


\begin{bmatrix}ct' \\x' \\y' \\z'\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{1-V^2/c^2}} &-\frac{V/c}{\sqrt{1-V^2/c^2}} & 0 & 0\\
-\frac{V/c}{\sqrt{1-V^2/c^2}} &\frac{1}{\sqrt{1-V^2/c^2}} &0 &0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}
.


Формули перетворень Лоренца з довільною орієнтацією осей систем[ред.ред. код]

У випадку коли осі x координатних систем не паралельні швидкості формули перетворення були отримані Герглотцем у 1911 році. Для виводу цих формул зручно розділити радіус-вектор частки r в системі K на компоненту r||, яка паралельна швидкості V відносного руху інерціальних систем, та компоненту r, яка перпендикулярна V. Тоді при переході до іншої системи K′ буде змінюватись тільки паралельна складова r||:

\mathbf{r_\|'}=\frac{\mathbf{r_\|}-\mathbf{V}t}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}},\quad \mathbf{r_\perp'}=\mathbf{r_\perp},\quad t'=\frac{t-(\mathbf{V,r_\|})/c^2}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}

Остаточно для радіус-вектора частки в системі K′ r′ = r′|| + r′ формули будуть виглядати так:

\mathbf{r'} = \mathbf{r} + \frac{1}{V^2}\left( \frac{1}{\sqrt{1-V^2/c^2}}-1 \right)(\mathbf{r,V})\mathbf{V} - \frac{\mathbf{V}t}{\sqrt{1-V^2/c^2}},
t'=\frac{t-(1/c^2)(\mathbf{r,V})}{\sqrt{1-V^2/c^2}}.

Гіперболічна форма запису[ред.ред. код]

З математичної точки зору інтервал між двома подіями можна розглядати як "відстань" між двома точками в чотиривимірній системі координат. Отже, згідно з визначенням, перетворення Лоренца повинні зберігати незмінною будь-яку довжину в чотиривимірному просторі x, y, z, ct. Лінійними перетвореннями з такими властивостями є лише паралельні переноси та обертання системи координат. Паралельні переноси та обертання в площинах xy, yz, zx зводяться до переносу початку відліку простору та часу та звичайним просторовим поворотам. Останні три повороти системи координат в площинах tx, ty, tz і є перетвореннями Лоренца.

Якщо ввести "кут повороту" ψ, такий що

\text{sh}\,\psi=\frac{V/c}{\sqrt{1-V^2/c^2}}, \quad \text{ch}\,\psi=\frac{1}{\sqrt{1-V^2/c^2}},

то перетворення Лоренца для систем K та K′ з паралельними осями можна записати в гіперболічній формі:

ct′ = -x shψ + ct chψ,
x′ = x chψ - ct shψ,
y′ = y,
z′ = z.

Ці формули відрізняються від звичайних формул перетворення при поворотах системи координат заміною тригонометричних функцій гіперболічними. В цьому виявляються відміни псевдоевклідової геометрії Мінковського від звичайної евклідової.

Джерела[ред.ред. код]

  • Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособие. В 10 т. Т. II Теория поля. — М.: Наука, 1988. ISBN 5-02-014420-7.
  • Паули В. Теория относительности. — М.: Наука, 1991. ISBN 5-02-014346-4.

Див. також[ред.ред. код]