Модулярна форма

Модулярна форма — голоморфна функція визначена на верхній комплексній півплощині (тобто множині $\mathbb{H} = \{x + iy \;| y > 0; x, y \in \mathbb{R} \}$), що є інваріантною щодо перетворень модулярної групи чи деякої її підгрупи і задовольняє умові голоморфності в параболічних точках. Модулярні форми і модулярні функції широко використовуються в теорії чисел, а також в алгебраїчній топології і теорії струн.

Визначення

Допоміжні визначення

Нехай $\gamma = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z})$ — квадратна матриця порядку 2 з цілочисельними елементами і визначником рівним одиниці. Для деякого $z \in \mathbb{H}$ визначимо функцію $\gamma z = \left(\frac{az+b}{cz+d}\right)$. Також позначимо:

$\Gamma(N) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) : a \equiv 1, b \equiv 0, c \equiv 0, d \equiv 1,\pmod{N} \right\}.$

Дані групи називаються головними конгруентними підгрупами рівня N. Також використовується позначення $\Gamma(N) = SL_2(\mathbf{Z})$. Довільна група $\Gamma: \Gamma(N) \subseteq \Gamma\subseteq \Gamma(1)$ називається конгруентною. Нехай $\gamma \in \Gamma$ — деякий елемент конгруентної групи. Якщо $\operatorname{Tr}(\gamma)= \pm 2$ (де $\operatorname{Tr}(\cdot)$ — слід матриці) то цей елемент називається параболічним, а відповідне перетворення параболічним. Точка $s \in \R \cup {\infty}$ називається параболічною, якщо існує параболічний елемент $\gamma \in \Gamma, \, \gamma \neq {I,-I}$, такий що $\gamma s = s\,$.

Модулярна форма

Нехай $\Gamma$ — деяка конгруентна група. Функція f визначена на $\mathbb{H}$ називається модулярною формою степеня (ваги) 2k для групи $\Gamma$, якщо виконуються умови:

1. $f(\gamma z) =(cz+d)^{2k}f(z),\,\forall \gamma = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \Gamma$;
2. $f(z)$ — голоморфна в $\mathbb{H}$;
3. $f(z)$ голоморфна в параболічних точках групи $\Gamma$.

Модулярна функція

Нехай $\Gamma$ — деяка конгруентна група. Функція f визначена на $\mathbb{H}$ називається модулярною функцією для групи $\Gamma$, якщо виконуються умови:

1. $f(z)$ є інваріантною щодо дії групи $\Gamma$, тобто $f(\gamma z) =f(z),\,\forall \gamma = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \Gamma$;
2. $f(z)$ — мероморфна в $\mathbb{H}$;
3. $f(z)$ — мероморфна в параболічних точках групи $\Gamma$.

Випадок групи $\Gamma(1)$

Модулярна група $\Gamma(1)/\{I,-I\}\,$ породжується двома матрицями $T=\ \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\,$ і $S=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right)$. Тож для перевірки виконання перших умов визначень модулярних функцій і форм достатньо перевірити виконання умов $\ f(z)=f(z+1)$ і $\ f(-1/z)=z^k f(z)$. Параболічними точками даної групи є точки $\Q \cup \{\infty\}$ і всі вони є еквівалентними, тобто $\forall a,b \in \Q \cup {\infty}$ існує такий $\gamma \in \Gamma(1)$, що $\gamma a=b$. Тож достатньо перевірити голоморфність чи мероморфність лише в одній з цих точок. Найзручніше для цього взяти $\{\infty\}$. Завдяки властивості $\ f(z)=f(z+1)$ функція f(z) може бути записана через ряд Фур'є через $q=\exp(2\pi iz)$.

Оскільки $\exp$ на всій комплексній площині не рівний нулю то також $q \neq 0$ але, $\exp(w) \to 0$ коли $w \to -\infty$ (по від'ємній дійсній осі), отже $q \to 0$ коли $2\pi iz \to -\infty$, тобто коли $z \to i\infty$ (по додатній уявній осі).

Функція є мероморфною в безмежності якщо:

$f(z)=\sum_{n=-m}^\infty c_n \exp(2\pi inz) = \sum_{n=-m}^\infty c_n q^n.$

на всьому відкритому одиничному крузі. Коефіцієнти $c_n$ — коефіцієнти Фур'є функції $f$, Якщо $c_n = 0$ при $n < 0$ на всьому відкритому одиничному крузі то функція є голоморфною в безмежності.

Загальний випадок

Якщо $\Gamma$ — деяка підгрупа зі скінченним індексом групи $\Gamma(1)$, то множина параболічних точок теж рівна $\Q \cup \{\infty\}$, але в цьому випадку вони можуть не бути еквівалентними, тож умови голоморфності і мероморфності слід перевіряти окремо для кожного класу еквівалентності. Для точки $\{\infty\}$ стабілізатор породжується деякою матрицею $T^M=\left(\begin{array}{cc} 1 & M \\ 0 & 1 \end{array}\right)\,$. Оскільки f(z) інваріантна відносно $T^M$, то $\ f(z)=f(z+M)$. Тому якщо визначити $q=\exp \left(\frac{2\pi iz}{M}\right)$ то можна дати ознаки мероморфності і голоморфності подібні до попередніх.

функція є мероморфною в безмежності якщо:

$f(z)= \sum_{n=-m}^\infty c_n q^n.$

на всьому відкритому одиничному крузі. Коефіцієнти $c_n$ — коефіцієнти Фур'є функції $f$, Якщо $c_n = 0$ при $n < 0$ на всьому відкритому одиничному крузі то функція є голоморфною в безмежності.

Якщо точка $\tau \in \Q$ не є еквівалентна безмежності в групі $\Gamma$, тоді можна знайти такий $\gamma \in \Gamma(1)$, що $\tau = \gamma (\infty )$. Тоді функція $F(z) = f (\gamma z)$ є інваріантною щодо групи $\gamma \Gamma \gamma^{-1} \subset \Gamma(1)$. Тоді $f(z)$ буде голоморфною (мероморфною) в точці $\tau \in \Q$, якщо $F(z)$ буде голоморфною (мероморфною) в безмежності.

Приклади

• Одними з найпростіших прикладів модулярних форм є ряди Ейзенштейна ваги $2k,$, що визначаються для $k\geq 2$:

$G_{2k}(z) = \sum_{ (m,n)\in\mathbb{Z}^2\backslash(0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}.$

де $z \in \mathbb{H}$.

• Нехай

$g_2= 60\sum_{(m,n) \neq (0,0)} (m + n\tau)^{-4},\qquad g_3=140\sum_{(m,n) \neq (0,0)} (m + n\tau)^{-6}$ — модулярні інваріанти, $\Delta=g_2^3-27g_3^2$ — модулярний дискримінант.

Визначимо також:

$j(\tau)=1728{g_2^3 \over \Delta}$ — основний модулярний інваріант (j - інваріант).

Виконуються рівності:

$g_2(\tau+1)=g_2(\tau),\; g_2(-\tau^{-1})=\tau^4g_2(\tau)$

$\Delta(\tau+1) = \Delta(\tau),\; \Delta(-\tau^{-1}) = \tau^{12} \Delta(\tau)$

Також дані функції задовольняють відповідні властивості голоморфності. Тобто $g_2$ — модулярна форма ваги 4, $\Delta$ — модулярна форма ваги 12. Відповідно $g_2^3$ — модулярна форма ваги 12, а $j(z)$ — модулярна функція. Дані функції мають важливе застосування в теорії еліптичних функцій і еліптичних кривих.

Посилання

• J. S. Milne, Modular functions and modular forms, курс лекцій.

Література

• Сарнак П. Модулярные формы и их приложения, М: ФАЗИС, 1998. ISBN 5-70364029-4
• Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0
• Robert A. Rankin, Modular forms and functions, (1977) Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-21212-X