Модулярна форма

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Модулярна формаголоморфна функція визначена на верхній комплексній півплощині (тобто множині \mathbb{H} = \{x + iy \;| y > 0; x, y \in \mathbb{R} \}), що є інваріантною щодо перетворень модулярної групи чи деякої її підгрупи і задовольняє умові голоморфності в параболічних точках. Модулярні форми і модулярні функції широко використовуються в теорії чисел, а також в алгебраїчній топології і теорії струн.

Визначення[ред.ред. код]

Допоміжні визначення[ред.ред. код]

Нехай \gamma =  
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z})квадратна матриця порядку 2 з цілочисельними елементами і визначником рівним одиниці. Для деякого z \in \mathbb{H} визначимо функцію \gamma z = \left(\frac{az+b}{cz+d}\right). Також позначимо:

\Gamma(N) = \left\{ 
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in SL_2(\mathbf{Z}) :
a \equiv 1, b \equiv 0, c \equiv 0, d \equiv 1,\pmod{N} \right\}.

Дані групи називаються головними конгруентними підгрупами рівня N. Також використовується позначення \Gamma(N) = SL_2(\mathbf{Z}). Довільна група \Gamma: \Gamma(N) \subseteq \Gamma\subseteq \Gamma(1) називається конгруентною. Нехай \gamma \in \Gamma — деякий елемент конгруентної групи. Якщо \operatorname{Tr}(\gamma)= \pm 2 (де \operatorname{Tr}(\cdot)слід матриці) то цей елемент називається параболічним, а відповідне перетворення параболічним. Точка s \in \R \cup {\infty} називається параболічною, якщо існує параболічний елемент \gamma \in \Gamma, \, \gamma \neq {I,-I}, такий що \gamma s = s\,.

Модулярна форма[ред.ред. код]

Нехай \Gamma — деяка конгруентна група. Функція f визначена на \mathbb{H} називається модулярною формою степеня (ваги) 2k для групи \Gamma, якщо виконуються умови:

  1. f(\gamma z) =(cz+d)^{2k}f(z),\,\forall \gamma =  
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \Gamma;
  2. f(z)голоморфна в \mathbb{H};
  3. f(z) голоморфна в параболічних точках групи \Gamma.

Модулярна функція[ред.ред. код]

Нехай \Gamma — деяка конгруентна група. Функція f визначена на \mathbb{H} називається модулярною функцією для групи \Gamma, якщо виконуються умови:

  1. f(z) є інваріантною щодо дії групи \Gamma, тобто f(\gamma z) =f(z),\,\forall \gamma =  
\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \Gamma;
  2. f(z)мероморфна в \mathbb{H};
  3. f(z) — мероморфна в параболічних точках групи \Gamma.

Випадок групи \Gamma(1)[ред.ред. код]

Модулярна група \Gamma(1)/\{I,-I\}\, породжується двома матрицями T=\ \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\, і S=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right). Тож для перевірки виконання перших умов визначень модулярних функцій і форм достатньо перевірити виконання умов \ f(z)=f(z+1) і \ f(-1/z)=z^k f(z). Параболічними точками даної групи є точки \Q \cup \{\infty\} і всі вони є еквівалентними, тобто \forall a,b \in \Q \cup {\infty} існує такий \gamma \in \Gamma(1), що \gamma a=b. Тож достатньо перевірити голоморфність чи мероморфність лише в одній з цих точок. Найзручніше для цього взяти \{\infty\}. Завдяки властивості \ f(z)=f(z+1) функція f(z) може бути записана через ряд Фур'є через q=\exp(2\pi iz).

Оскільки \exp на всій комплексній площині не рівний нулю то також q \neq 0 але, \exp(w) \to 0 коли w \to -\infty (по від'ємній дійсній осі), отже q \to 0 коли 2\pi iz \to -\infty, тобто коли z \to i\infty (по додатній уявній осі).

Функція є мероморфною в безмежності якщо:

f(z)=\sum_{n=-m}^\infty c_n \exp(2\pi inz) = \sum_{n=-m}^\infty c_n q^n.

на всьому відкритому одиничному крузі. Коефіцієнти c_n — коефіцієнти Фур'є функції f, Якщо c_n = 0 при n < 0 на всьому відкритому одиничному крузі то функція є голоморфною в безмежності.

Загальний випадок[ред.ред. код]

Якщо \Gamma — деяка підгрупа зі скінченним індексом групи \Gamma(1), то множина параболічних точок теж рівна \Q \cup \{\infty\}, але в цьому випадку вони можуть не бути еквівалентними, тож умови голоморфності і мероморфності слід перевіряти окремо для кожного класу еквівалентності. Для точки \{\infty\} стабілізатор породжується деякою матрицею T^M=\left(\begin{array}{cc} 1 & M \\ 0 & 1 \end{array}\right)\,. Оскільки f(z) інваріантна відносно T^M, то \ f(z)=f(z+M). Тому якщо визначити q=\exp \left(\frac{2\pi iz}{M}\right) то можна дати ознаки мероморфності і голоморфності подібні до попередніх.

функція є мероморфною в безмежності якщо:

f(z)= \sum_{n=-m}^\infty c_n q^n.

на всьому відкритому одиничному крузі. Коефіцієнти c_n — коефіцієнти Фур'є функції f, Якщо c_n = 0 при n < 0 на всьому відкритому одиничному крузі то функція є голоморфною в безмежності.

Якщо точка \tau \in \Q не є еквівалентна безмежності в групі \Gamma, тоді можна знайти такий \gamma \in \Gamma(1), що \tau = \gamma (\infty ). Тоді функція F(z) = f (\gamma z) є інваріантною щодо групи  \gamma \Gamma \gamma^{-1} \subset \Gamma(1). Тоді f(z) буде голоморфною (мероморфною) в точці \tau \in \Q, якщо F(z) буде голоморфною (мероморфною) в безмежності.

Приклади[ред.ред. код]

  • Одними з найпростіших прикладів модулярних форм є ряди Ейзенштейна ваги 2k, , що визначаються для k\geq 2:

G_{2k}(z) = \sum_{ (m,n)\in\mathbb{Z}^2\backslash(0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}.

де  z \in \mathbb{H}.

  • Нехай
g_2= 60\sum_{(m,n) \neq (0,0)} (m + n\tau)^{-4},\qquad
g_3=140\sum_{(m,n) \neq (0,0)} (m + n\tau)^{-6} — модулярні інваріанти, \Delta=g_2^3-27g_3^2 — модулярний дискримінант.

Визначимо також:

j(\tau)=1728{g_2^3 \over \Delta} — основний модулярний інваріант (j - інваріант).

Виконуються рівності:

g_2(\tau+1)=g_2(\tau),\; g_2(-\tau^{-1})=\tau^4g_2(\tau)
\Delta(\tau+1) = \Delta(\tau),\; \Delta(-\tau^{-1}) = \tau^{12} \Delta(\tau)

Також дані функції задовольняють відповідні властивості голоморфності. Тобто g_2 — модулярна форма ваги 4, \Delta — модулярна форма ваги 12. Відповідно g_2^3 — модулярна форма ваги 12, а j(z) — модулярна функція. Дані функції мають важливе застосування в теорії еліптичних функцій і еліптичних кривих.

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Сарнак П. Модулярные формы и их приложения, М: ФАЗИС, 1998. ISBN 5-70364029-4
  • Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0
  • Robert A. Rankin, Modular forms and functions, (1977) Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-21212-X