Еліптичні інтеграли

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В інтегральному численні еліпти́чний інтегра́л з'явився у зв'язку із завданням обчислення довжини дуги еліпса і був вперше досліджений Джуліо Фаніано і Леонардом Ейлером.

Еліптичні інтеграли є оберненими функціями до еліптичних функцій Якобі. З історичної точки зору спочатку були відкриті еліптичні інтеграли.

Визначення[ред.ред. код]

Еліптичні інтеграли — це інтеграли виду

\int_C^y {R\left(x, \sqrt{ax^3+bx^2+cx+e} \right)\, dx}

та

\int_C^y {R\left(x, \sqrt{ax^4+bx^3+cx^2+ex+f}\right)\, dx},

де \mathbb{}R — деяка раціональна функція, у випадку, коли ці інтеграли не виражаються через елементарні функції а C — деяка стала. У результаті ряду перетворень можна кожен з таких інтегралів звести до елементарних функцій і до еліптичних інтегралів першого, другого та третього роду, відповідно:

F(\varphi; k)=\int_0^{\sin \varphi} {dt \over \sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}},\quad E(\varphi; k)=\int_0^{\sin \varphi} {(1-k^2t^2)\, dt \over \sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}},
\quad \Pi (\varphi; k, h)=\int_0^{\sin \varphi} {dt \over \sqrt{(1+ht^2)(1-t^2)(1-k^2t^2)}}, \qquad(0<k<1).

Якщо зробити підстановку t=\sin \psi  \quad (0<\psi<\pi/2) \!, одержимо запис еліптичних інтегралів у лежандровій формі:

 F(\varphi; k)=\int_0^{\varphi} {d\psi \over {\sqrt{1-k^2 \sin^2 \psi}}},\quad E(\varphi; k)=\int_0^{\varphi} {\sqrt {1-k^2\sin^2\psi }\, d\psi},
\quad \Pi (\varphi; k, h)=\int_0^{\varphi} { {d \psi} \over { (1+h\sin^2 \psi) \sqrt{1-k^2\sin^2 \psi}}}.

Величина \varphi\! називається амплітудою, стала k\!модулем еліптичного інтегралу, а h\! — параметром.

SEM-001

Еліптичні інтеграли першого роду[ред.ред. код]

 F{(\varphi}; k)=\int\limits_{0}^{\varphi} {d \psi \over \sqrt{1-k^2\sin^2 \psi}}=\int\limits_{0}^{\sin \varphi} {dt \over {\sqrt{1-t^2} \sqrt{1-k^2t^2}}} \!

Еліптичні інтеграли першого роду
F(\varphi; k),\; k=\sin \alpha \!
10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90°
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
10 0.1745 0.1746 0.1746 0.1748 0.1749 0.1751 0.1752 0.1753 0.1754 0.1754
20 0.3491 0.3493 0.3499 0.3508 0.3520 0.3533 0.3545 0.3555 0.3561 0.3564
30 0.5236 0.5243 0.5263 0.5294 0.5334 0.5379 0.5422 0.5459 0.5484 0.5493
40 0.6981 0.6997 0.7043 0.7116 0.7213 0.7323 0.7436 0.7535 0.7604 0.7629
50 0.8727 0.8756 0.8842 0.8982 0.9173 0.9401 0.9647 0.9876 1.0044 1.0107
60 1.0472 1.0519 1.0660 1.0896 1.1226 1.1643 1.2126 1.2619 1.3014 1.3170
70 1.2217 1.2286 1.2495 1.2853 1.3372 1.4068 1.4944 1.5959 1.6918 1.7354
80 1.3963 1.4056 1.4344 1.4846 1.5597 1.6660 1.8125 2.0119 2.2653 2.4362
90 1.5708 1.5828 1.6200 1.6858 1.7868 1.9356 2.1565 2.5046 3.1534 \infty

Еліптичні інтеграли другого роду[ред.ред. код]

E{(\varphi}; k)=\int\limits_{0}^{\varphi} {\sqrt{1-k^2\sin^2 \psi}\, d\psi=\int\limits_{0}^{\sin \varphi} \sqrt{{1-k^2t^2} \over {1-t^2}}\, dt} \!

Еліптичні інтеграли другого роду
E(\varphi; k),\; k=\sin \alpha \!
10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80° 90°
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
10 0.1745 0.1745 0.1744 0.1743 0.1742 0.1740 0.1739 0.1738 0.1737 0.1736
20 0.3491 0.3489 0.3483 0.3473 0.3462 0.3450 0.3438 0.3429 0.3422 0.3420
30 0.5236 0.5229 0.5209 0.5179 0.5141 0.5100 0.5061 0.5029 0.5007 0.5000
40 0.6981 0.6966 0.6921 0.6851 0.6763 0.6667 0.6575 0.6497 0.6446 0.6428
50 0.8727 0.8698 0.8614 0.8483 0.8317 0.8134 0.7954 0.7801 0.7697 0.7660
60 1.0472 1.0426 1.0290 1.0076 0.9801 0.9493 0.9184 0.8914 0.8728 0.8660
70 1.2217 1.2149 1.1949 1.1632 1.1221 1.0750 1.0266 0.9830 0.9514 0.9397
80 1.3963 1.3870 1.3597 1.3161 1.2590 1.1926 1.1225 1.0565 1.0054 0.9848
90 1.5708 1.5589 1.5238 1.4675 1.3931 1.3055 1.2111 1.1184 1.0401 1.0000

Еліптичні інтеграли третього роду[ред.ред. код]

\quad \Pi (\varphi; k, h)=\int_0^{\varphi} { {d \psi} \over { (1+h\sin^2 \psi) \sqrt{1-k^2\sin^2 \psi}}}=\int_0^{\sin \varphi} {dt \over \sqrt{(1+ht^2)(1-t^2)(1-k^2t^2)}}.


Повні еліптичні інтеграли[ред.ред. код]

 \mathbf{K}(k)=F{\left ({\pi \over 2}; k\right )}=\int\limits_{0}^{\pi \over 2} {d \psi \over \sqrt{1-k^2\sin^2 \psi}}=\int\limits_{0}^{1} {dt \over {\sqrt{1-t^2} \sqrt{1-k^2t^2}}} \!

\mathbf{E}(k) = E{\left ({\pi \over 2}; k\right )}=\int\limits_{0}^{\pi \over 2} {\sqrt{1-k^2\sin^2 \psi}\, d\psi=\int\limits_{0}^{1} \sqrt{{1-k^2t^2} \over {1-t^2}}\, dt} \!

Повні еліптичні інтеграли
k=\sin \alpha \!
\alpha\!° \mathbf{K} \mathbf{E} \alpha\!° \mathbf{K} \mathbf{E} \alpha\!° \mathbf{K} \mathbf{E}
0 1.5708 1.5708 30 1.6858 1.4675 60 2.1565 1.2111
1 1.5709 1.5707 31 1.6941 1.4608 61 2.1842 1.2015
2 1.5713 1.5703 32 1.7028 1.4539 62 2.2132 1.1920
3 1.5719 1.5697 33 1.7119 1.4469 63 2.2435 1.1826
4 1.5727 1.5689 34 1.7214 1.4397 64 2.2754 1.1732
5 1.5738 1.5678 35 1.7312 1.4323 65 2.3088 1.1638
6 1.5751 1.5665 36 1.7415 1.4248 66 2.3439 1.1545
7 1.5767 1.5649 37 1.7522 1.4171 67 2.3809 1.1453
8 1.5785 1.5632 38 1.7633 1.4092 68 2.4198 1.1362
9 1.5805 1.5611 39 1.7748 1.4013 69 2.4610 1.1272
10 1.5828 1.5589 40 1.7868 1.3931 70 2.5046 1.1184
11 1.5854 1.5564 41 1.7992 1.3849 71 2.5507 1.1096
12 1.5882 1.5537 42 1.8122 1.3765 72 2.5998 1.1011
13 1.5913 1.5507 43 1.8256 1.3680 73 2.6521 1.0927
14 1.5946 1.5476 44 1.8396 1.3594 74 2.7081 1.0844
15 1.5981 1.5442 45 1.8541 1.3506 75 2.7681 1.0764
16 1.6020 1.5405 46 1.8691 1.3418 76 2.8327 1.0686
17 1.6061 1.5367 47 1.8848 1.3329 77 2.9026 1.0611
18 1.6105 1.5326 48 1.9011 1.3238 78 2.9786 1.0538
19 1.6151 1.5283 49 1.9180 1.3147 79 3.0617 1.0468
20 1.6200 1.5238 50 1.9356 1.3055 80 3.1534 1.0401
21 1.6252 1.5191 51 1.9539 1.2963 81 3.2553 1.0338
22 1.6307 1.5141 52 1.9729 1.2870 82 3.3699 1.0278
23 1.6365 1.5090 53 1.9927 1.2776 83 3.5004 1.0223
24 1.6426 1.5037 54 2.0133 1.2681 84 3.6519 1.0172
25 1.6490 1.4981 55 2.0347 1.2587 85 3.8317 1.0127
26 1.6557 1.4924 56 2.0571 1.2492 86 4.0528 1.0086
27 1.6627 1.4864 57 2.0804 1.2397 87 4.3387 1.0053
28 1.6701 1.4803 58 2.1047 1.2301 88 4.7427 1.0026
29 1.6777 1.4740 59 2.1300 1.2206 89 5.4349 1.0008
30 1.6858 1.4675 60 2.1565 1.2111 90 \infty 1.0000

Джерела[ред.ред. код]

  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.