Чотиригранник

Модель тетраедра

Чотиригранник, тетраедр, трикутна піраміда — багатогранник із чотирма вершинами, і з чотирма трикутними гранями, в кожній з вершин якого сходяться по 3 грані.

У чотиригранника 4 грані, 4 вершини і 6 ребер. Паралельні площини, що проходять через парчотиригранника, що схрещуються, визначають описанчотиригранника паралелепіпед.

Відрізок, що сполучає чотиригранника з точкою перетину медіан протилежної грані, називається його медіаною, опущеною з даної вершини. Відрізок, що сполучає серединчотиригранника, що схрещуються, називається його бімедіаною, що сполучає дані ребра. Відрізок, що сполучає чотиригранника з точкою протилежної грані і перпендикулярний цій грані, називається його висотою, опущеною з даної вершини.

Властивість

Всі медіани і бімедіани чотиригранника перетинаються в одній точці. Ця точка ділить медіани у відношенні 3:1, міряючи від вершини, а бімедіани — навпіл.

Види тетраедрів

Виділяють:

• рівногранний тетраедр, у якого всі грані - рівні між собою трикутники;
• ортоцентричний тетраедр, у якого всі висоти, опущені з вершин на протилежні грані, перетинаються в одній точці;
• прямокутний тетраедр, у якого всі ребра, прилеглі до однієї з вершин, перпендикулярні між собою;
• правильний тетраедр, у якого всі чотири грані - рівносторонні трикутники.

Об'єм

Об'єм чотиригранника (з урахуванням знаку), вершини якого знаходяться в точках $~ \mathbf{r}_1 (x_1,y_1,z_1)$, $~ \mathbf{r}_2 (x_2,y_2,z_2)$, $~ \mathbf{r}_3 (x_3,y_3,z_3)$, $~ \mathbf{r}_4 (x_4,y_4,z_4)$, дорівнює

$~ V = -\frac16 \begin{vmatrix} 1 & x_1 & y_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \\ 1 & x_4 & y_4 & z_4 \end{vmatrix}$