Усічений октаедр

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Sodalit-Cage.png

Усічений октаедрнапівправильний багатогранник, відноситься до Архімедових тіл, що складається із 8 правильних шестикутників і 6 квадратів. В кожній із 24 вершин сходяться дві шестикутні грані і один квадрат. Кількість двотипних ребер налічує 36 штук, 24 з яких розділяють шестикутник і квадрат і 12 розділяють два шестикутника. Так само як і куб, усічений октаедр може заповнити собою безостаточно тривимірний простір. Двоїстий до усіченого октаедра багатогранник — тетракісгексаедр.

Отримати даний багатогранник можна за рахунок усічення всіх шести вершин правильного октаедра на третину від первісної довжини ребра.

Ортогональні проекції

Cube t12 v.png Cube t12 e46.png Cube t12 e66.png 3-cube t12 B2.svg 3-cube t12.svg


Формули[ред.ред. код]

Знаючи довжину ребра усіченого октаедра - a - отримуємо:

Математичний опис
Об'єм V = 8\sqrt{2} a^3 \approx 11.3137085a^3.
Площа поверхні S = \left(6+12\sqrt{3}\right) a^2 \approx 26.7846097a^2
Розгортка усіченого октаедра

Графічне зображення[ред.ред. код]

Якщо шестикутну грань усіченого тетраедра розділити на трикутники із заданою довжиною ребра отримаємо -

Triangulated truncated octahedron.png

Перестановочний багатогранник[ред.ред. код]

Permutohedron.svg

Усічений октаедр також можна представити у симетричних координатах чотирьох вимірів. Будь-яка перестановка (1,2,3,4) утворює вершини усіченого октаедра у тривимірному просторі, x + y + z + w = 10. Таким чином, усічений октаедр є перестановочним багатогранником четвертого порядку, тривимірним опуклим багатогранником вкладеним у 4-и вимірний евклідовий простір, який є опуклою оболонкою всіх точок, що отримуються перестановками координат вектора (1,2,3,4).


Заповнення простору усіченим октаедром

Сферична плитка[ред.ред. код]

Усічений октаедр може бути представлений у вигляді сферичної плитки, і спроектований на площину у вигляді стереографічної проекції. Дана проекція буде конформна, зберігаючи кути, але не площини чи ребра багатогранника. Прямі лінії на сфері проектуватимуться як дуги на площині.

Uniform tiling 432-t12.png Truncated octahedron stereographic projection square.png
центровано квадратом
Truncated octahedron stereographic projection hexagon.png
центровано шестикутником
Сферична плитка Стереографічна проекція (лицева)


Джерела[ред.ред. код]

  • Weisstein, Eric W. Cuboctahedron(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  • Пчелінцев В.О. Кристалографія, кристалохімія та мінералогія. Навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів. Суми: Вид-во СумДУ, 2008, - 232с.
  • Гордєєва Є.П., Величко В.Л. Нарисна геометрія. Багатогранники (правильні, напівправильні та зірчасті). Частина І. Навчальний посібник. Луцьк: Редакційно-видавничий відділ ЛДТУ, 2007, – 198с.
  • П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина. Многоугольники и многогранники. Энциклопедия элементарной математики. Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963, - 568с.