Група Галуа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Група Галуагрупа автоморфізмів розширення Галуа L/K, тобто група, що складається з усіх автоморфізмів поля L, що залишають всі елементи підполя K нерухомими.

Група Галуа позначається G(L/K) або Gal(L/K).

Властивості[ред.ред. код]

Поле інваріантів LGal(L/K) збігається з полем K. Якщо L - поле розкладу многочлена f(x) над полем K, то група Галуа G(L/K) називається також групою Галуа многочлена f(x). Ці групи відіграють важливу роль у теорії Галуа алгебраїчних рівнянь. Обчислення групи Галуа для розширень полів алгебраїчних чисел є одним з основних завдань алгебраїчної теорії чисел. Групи Галуа полів алгебраїчних функцій вивчаються в алгебраїчній геометрії.

Якщо L — поле і G — скінченна підгрупа групи автоморфізмів поля L, то L є розширенням Галуа поля інваріантів K=LG, Група Галуа цього розширення ізоморфна G; при цьому степінь розширення [L:k] дорівнює порядку групи G. Фундаментальним результатом про групи Галуа є наступна теорема, що іноді називається основною теоремою теорії Галуа:

Якщо Lскінченне розширення Галуа, то існує взаємно однозначна відповідність між всіма підгрупами групи Галуа Gal(L/K) і всіма підполями F поля L, що містять K, причому відповідні один одному Н і F такі, що F — поле інваріантів Н, а Н - група Галуа L/F .

Ця теорема має численні аналоги в багатьох математичних теоріях, так існує її узагальнення на випадок розширень нескінченного ступеня. Є узагальнення поняття Група Галуа на випадок розширень довільних комутативних кілець і навіть схем, а також на випадок розширень тіл.

Приклади[ред.ред. код]

В даних прикладах \Q, \R, \C позначають поля раціональних, дійсних і комплексних чисел.

Джерела[ред.ред. код]