Правило добутку

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Правило добутку — характерна властивість диференціальних операторів, також відома як тотожність Лейбніца.

Найважливішим і найпростішим прикладом є диференціювання функцій дійсної змінної. Якщо — дві диференційовні функції, то:

Подібна формула справедлива і для голоморфних функцій комплексної змінної.

Окрім аналізу диференціальні оператори часто виникають в диференціальній геометрії, абстрактній алгебрі, теорії груп Лі.

Доведення для функцій дійсної змінної[ред. | ред. код]

Нехай , і функції f, g — диференційовні в точці x. Тоді з властивостей границь одержуються наступні рівності, які доводять правило добутку для функцій дійсної змінної:

.

Варіації та узагальнення[ред. | ред. код]

  • Нехай — деякі 'k' елементів на яких діє оператор диференціювання (наприклад функції дійсної змінної диференційовні в певній точці для прикладу звичайної похідної). Тоді за допомогою математичної індукції правило добутку можна узагальнити для випадку добутку 'k' елементів:


  • Позначивши і т. д. для оператора справедлива формула аналогічна до формули бінома Ньютона:
Для випадку добутку багатьох елементів справедлива формула аналогічна до поліноміальної формули:


Операція на градуйованій алгебрі задовольняє градуйованій тотожності Лейбніца, якщо для будь-яких ,

де — множення в . Більшість диференціювань на алгебрі диференціальних форм задовольняє цій тотожності.

Джерела[ред. | ред. код]