Кільце Джекобсона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У абстрактній алгебрі довільне кільце називається кільцем Джекобсона (іноді також кільцем Гільберта) якщо кожен його простий ідеал є рівним перетину примітивних ідеалів (тобто ідеалів, що є ануляторами простих модулів).

Для комутативних кілець примітивні ідеали це те ж саме, що і максимальні і тому комутативне кільце з одиницею називається кільцем Джекобсона, якщо будь-який простий ідеал цього кільця є перетином максимальних ідеалів, що його містять.

Інакше кажучи будь-яке цілісне факторкільце має нульовий радикал Джекобсона.

Приклади[ред. | ред. код]

Властивості[ред. | ред. код]

  • Якщо є кільцем Джекобсона, а -алгебра, що є областю цілісності або -алгеброю скінченного типу, то є кільцем Джекобсона.
  • Зокрема, факторкільце кільця Джекобсона є кільцем Джекобсона.
  • Комутативне кільце є кільцем Джекобсона тоді і тільки тоді коли кожен його G-ідеал є максимальним ідеалом.
  • Комутативне кільце є кільцем Джекобсона тоді і тільки тоді коли кільце многочленів від скінченної кількості змінних над є кільцем Джекобсона. Разом із попередньою властивістю це означає, що довільна скінченнопороджена алгебра над кільцем Джекобсона є кільцем Джекобсона. Оскільки поле є кільцем Джекобсона, то частковим випадком цього твердження є теорема Гільберта про нулі.
  • У випадку нескінченної кількості змінних, факт того чи є кільце многочленів над полем кільцем Джекобсона залежить від співвідношення числа змінних і потужності поля.
  • Комутативне кільце є кільцем Джекобсона тоді і тільки тоді коли для нього виконується аналог леми Зариського: довільна скінченнопороджена -алгебра, що є полем є скінченнопородженим -модулем.

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Amitsur, A. S. (1956). Algebras over infinite fields. Proceedings of the American Mathematical Society 7: 35–48. ISSN 0002-9939. JSTOR 2033240. MR 0075933. doi:10.2307/2033240. 

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]