Міра Малера

Міра Малера $M(p)$ для многочлена $p(z)$ з комплексними коефіцієнтами визначається як

$M(p)=|a|\prod _{|\alpha _{i}|\geq 1}|\alpha _{i}|=|a|\prod _{i=1}^{n}\max\{1,|\alpha _{i}|\},$

де $p(z)$ розкладається в полі комплексних чисел $\mathbb {C}$ на множники

$p(z)=a(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})\cdots (z-\alpha _{n}).$

Міру Малера можна розглядати як вид функції висоти. Використовуючи формулу Єнсена, можна показати, що ця міра еквівалентна середньому геометричному чисел $|p(z)|$ для $z$ на одиничному колі (тобто, $|z|=1$):

$M(p)={\color {Green}\exp }\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\color {Green}\ln }(|p(e^{i\theta })|)\,d\theta \right).$

У ширшому значенні міра Малера для алгебричного числа $\alpha$ визначається як міра Малера мінімального многочлена від $\alpha$ над $\mathbb {Q}$. Зокрема, якщо $\alpha$ є числом Пізо або числом Салема, то міра Малера дорівнює просто $\alpha$.

Названо на честь математика Курта Малера.

Властивості

• Міра Малера є мультиплікативною: $\forall p,q,\,\,M(p\cdot q)=M(p)\cdot M(q),$ де $\forall$ — квантор загальності .
• $M(p)=\lim _{\tau \rightarrow 0}\|p\|_{\tau }$, де середнє степеневе $\|p\|_{\tau }=\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|p(e^{i\theta })|^{\tau }\,d\theta \right)^{1/\tau }$ є нормою $L_{\tau }$ для многочлена $p$.
• (Теорема Кронекера) Якщо $p$ -незвідний нормований (старший коефіцієнт — 1) цілочисельний многочлен із $M(p)=1$, то або $p(z)=z$, або $p$ є коловим многочленом.
• (Гіпотеза Лемера) Якщо існує стала $\mu >1$, така, що, якщо $p$ є незвідним цілочисельним многочленом, то або $M(p)=1$, або $M(p)>\mu$.
• Міра Малера нормованого цілого многочлена є числом Перрона.

Міра Малера від кількох змінних

Міра Малера $M(p)$ для многочлена з кількома змінними $p(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ визначається за аналогічною формулою:

$M(p)=\exp \left({\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\cdots \int _{0}^{2\pi }\log {\Bigl (}{\bigl |}p(e^{i\theta _{1}},e^{i\theta _{2}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}){\bigr |}{\Bigr )}\,d\theta _{1}\,d\theta _{2}\cdots d\theta _{n}\right).$

Ця міра зберігає всі три властивості міри Малера для многочлена від однієї змінної.

Показано, що в деяких випадках міра Малера від кількох змінних пов'язана зі спеціальними значеннями дзета-функцій і $L$-функцій. Наприклад, 1981 року Сміт довів формули

$m(1+x+y)={\frac {3{\sqrt {3}}}{4\pi }}L(\chi _{-3},2),$

де $L(\chi _{-3},s)$ — L-функція Діріхле, і

$m(1+x+y+z)={\frac {7}{2\pi ^{2}}}\zeta (3)$ ,

де $\zeta$ — дзета-функція Рімана. Тут $m(P)=\log {M(P)}$ називають логарифмічною мірою Малера.

Теорема Лоутона

За визначенням міра Малера сприймається як інтеграл многочлена за тором (див. гіпотезу Лемера). Якщо $p$ перетворюється на нуль на торі $(S^{1})^{n}$, то збіжність інтеграла, який визначає $M(p)$, не очевидна, але відомо, що $M(p)$ збігається і дорівнює межі міри Малера від однієї змінної, що висловив у вигляді гіпотези Бойд .

Нехай $\mathbb {Z}$ позначає цілі числа, визначимо $\mathbb {Z} _{+}^{N}=\{r=(r_{1},\dots ,r_{N})\in \mathbb {Z} ^{N}:r_{j}\geq 0\ {\text{для}}\ 1\leq j\leq N\}$ . Якщо $Q(z_{1},\dots ,z_{N})$ є многочленом від $N$ змінних та $r=(r_{1},\dots ,r_{N})\in \mathbb {Z} _{+}^{N}$, то нехай многочлен $Q_{r}(z)$ від однієї змінної визначається як

$Q_{r}(z):=Q(z^{r_{1}},\dots ,z^{r_{N}}),$

а $q(r)$ — як

$q(r):={\text{min}}\{H(s):s=(s_{1},\dots ,s_{N})\in \mathbb {Z} ^{N},s\neq (0,\dots ,0)\ {\text{and}}\ \sum _{j=1}^{N}s_{j}r_{j}=0\}$ ,

де $H(s)={\text{max}}\{|s_{j}|:1\leq j\leq N\}$.

Теорема (Лоутона): нехай $Q(z_{1},\dots ,z_{N})$ є многочленом від N змінних із комплексними коефіцієнтами — тоді істинна така границя (навіть якщо порушити умову $r_{i}\geq 0$):

$\lim _{q(r)\rightarrow \infty }M(Q_{r})=M(Q)$

Пропозиція Бойда

Бойд запропонував твердження, загальніше, ніж наведена вище теорема. Він вказав на те, що класична теорема Кронекера, яка характеризує нормовані многочлени з цілими коефіцієнтами, корені яких лежать усередині одиничного кола, може розглядатися як опис многочленів однієї змінної, міра Малера для яких точно дорівнює 1, і на те, що цей результат можна поширити на многочлени кількох змінних.

Нехай розширений круговий многочлен визначатиметься як многочлен вигляду

$\Psi (z)=z_{1}^{b_{1}}\dots z_{n}^{b_{n}}\Phi _{m}(z_{1}^{v_{1}}\dots z_{n}^{v_{n}}),$

де $\Phi _{m}(z)$ — коловий многочлен степеня m, $v_{i}$ — цілі числа, а $b_{i}=\max(0,-v_{i}\deg \Phi _{m})$ вбрано найменшим, так що $\Psi (z)$ є многочленом від $z_{i}$. Нехай $K_{n}$ — множина многочленів, які є добутком одночленів $\pm z_{1}^{c_{1}}\dots z_{n}^{c_{n}}$ та розширеного колового многочлена. Тоді виходить така теорема.

Теорема (Бойда): нехай $F(z_{1},\dots ,z_{n})\in \mathbb {Z} [z_{1},\ldots ,z_{n}]$ — многочлен із цілими коефіцієнтами, тоді $M(F)=1,$ тільки коли $F$ є елементом $K_{n}$.

Це наштовхнуло Бойда на думку розглянути такі множини:

$L_{n}:={\bigl \{}m(P(z_{1},\dots ,z_{n})):P\in \mathbb {Z} [z_{1},\dots ,z_{n}]{\bigr \}},$

та об'єднання ${L}_{\infty }=\bigcup _{n=1}^{\infty }L_{n}$. Він висунув більш «просунуту» гіпотезу, що множина ${L}_{\infty }$ є замкнутою підмножиною $\mathbb {R}$. З істинності цієї гіпотези негайно випливає істинність гіпотези Лемера, хоч і без явної нижньої межі. Оскільки з результату Сміта випливає, що $L_{1}\subsetneqq L_{2}$, Бойд пізніше висловив гіпотезу, що

$L_{1}\subsetneqq L_{2}\subsetneqq L_{3}\subsetneqq \ \cdots \,.$

Див. також

• Норма Бомб'єрі
• Висота многочлена

Література

• Peter Borwein. Computational Excursions in Analysis and Number Theory. — Springer, 2002. — Т. 10. — С. 3, 15. — (CMS Books in Mathematics) — ISBN 0-387-95444-9.
• David Boyd. Speculations concerning the range of Mahler's measure // Canad. Math. Bull.. — 1981a. — Т. 24, вип. 4. — С. 453–469. — DOI:10.4153/cmb-1981-069-5.
• David Boyd. Kronecker's Theorem and Lehmer's Problem for Polynomials in Several Variables // Journal of Number Theory. — 1981b. — Т. 13. — С. 116–121. — DOI:10.1016/0022-314x(81)90033-0.
• David Boyd. Number theory for the Millenium / M. A. Bennett. — A. K. Peters, 2002a. — С. 127–143.
• David Boyd. Mahler's measure, hyperbolic manifolds and the dilogarithm // Canadian Mathematical Society Notes. — 2002b. — Т. 34, вип. 2. — С. 3–4, 26–28.
• David Boyd, F. Rodriguez Villegas. Mahler's measure and the dilogarithm, part 1 // Canadian J. Math.. — 2002. — Т. 54. — С. 468–492. — DOI:10.4153/cjm-2002-016-9.
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Міра Малера, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4.
• J.L. Jensen. Sur un nouvel et important théorème de la théorie des fonctions // Acta Mathematica. — 1899. — Т. 22. — С. 359–364. — DOI:10.1007/BF02417878.
• Donald E. Knuth. 4.6.2 Factorization of Polynomials // Seminumerical Algorithms. — 3rd. — Addison-Wesley, 1997. — Т. 2. — С. 439–461, 678–691. — (The Art of Computer Programming) — ISBN 0-201-89684-2.
• Wayne M. Lawton. A problem of Boyd concerning geometric means of polynomials // Journal of Number Theory. — 1983. — Т. 16. — С. 356–362. — DOI:10.1016/0022-314X(83)90063-X.
• M.J. Mossinghoff. Polynomials with Small Mahler Measure // Mathematics of Computation. — 1998. — Т. 67, вип. 224. — С. 1697–1706. — DOI:10.1090/S0025-5718-98-01006-0.
• Andrzej Schinzel. Polynomials with special regard to reducibility. — Cambridge University Press, 2000. — Т. 77. — (Encyclopedia of Mathematics and Its Applications) — ISBN 0-521-66225-7.
• Chris Smyth. Number Theory and Polynomials / James McKee, Chris Smyth. — Cambridge University Press, 2008. — Т. 352. — С. 322–349. — (London Mathematical Society Lecture Note Series) — ISBN 978-0-521-71467-9.

Посилання

• Kevin O'Bryant Міра Малера(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Ronald M. Aarts Формула Єнсена(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.