Теорема Абеля — Руффіні

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
(Перенаправлено з Теорема Абеля—Руффіні)
Перейти до: навігація, пошук

Теорема Абеля—Руффіні стверджує, що загальне рівняння п'ятого та вищого степеня є нерозв'язним в радикалах. Тобто, не існує алгебраїчної формули, що виражає корені многочлена п'ятого чи вищого степеня.

Основна теорема алгебри доводить, що рівняння -го степеня має комплексних коренів. Хоча над над іншими полями цих коренів може і не існувати.

Тому загальну відповідь про наявність коренів многочлена над заданим полем та розв'язність над цим полем дає теорія Галуа.

Історія[ред.ред. код]

В 1770 році Жозеф-Луї Лагранж в своїй роботі, описуючи способи знаходження коренів рівнянь, використав поняття групи перестановок коренів рівняння. Ця інноваційна робота заклала основи теорії Галуа, що була виявлена в паперах Евариста Галуа після його смерті. Першу версію теореми довів Паоло Руффіні в 1799, але в доведенні були пробіли. В 1824 Нільс Абель опублікував детальне доведення теореми.

Теорія Галуа[ред.ред. код]

Група Галуа описує групи перестановок коренів многочленів.

При група перестановок не є розв'язною.

Доведення теореми[ред.ред. код]

Нехай  — дійсне число трансцендентне над полем раціональних чисел , та  — трансцендентне над , і так далі до що трансцендентне над .

Позначимо тоді:

Відкривши дужки, отримаємо що є симетричною функцією відносно оскільки коефіцієнтами многочлена будуть:

і так далі до

Кожна перестановка групи означає автоморфізм на що залишає нерухомим та переставляє Оскільки від перестановки коренів многочлен не змінюється, отже також є нерухомим, отже утворює групу Галуа

Єдиним розкладом є

(де  — альтернативна група).

Факторгрупа (ізоморфна самій ) не є абелевою групою, тому не є розв'язною.

Розв'язувані типи рівнянь[ред.ред. код]

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]