Теорема про замкнуті підгрупи

Теорема про замкнуті підгрупи — твердження у теорії груп Лі про те, що кожна замкнута підгрупа групи Лі є вкладеною підгрупою Лі (тобто вона успадковує свою топологічну і диференційовну структуру із основної групи). У твердженні теореми вимагається лише щоб підгрупа була також замкнутою множиною і на основі лише цього факту доводиться, що дана група також є вкладеним підмноговидом і відповідно вкладеною підгрупою Лі.

Оскільки підгрупа Лі є вкладеною тоді і тільки тоді коли вона є замкнутою то звідси одержується, що (абстрактна) підгрупа є вкладеною підгрупою Лі тоді і тільки тоді коли вона є замкненою підмножиною.

Значення теореми полягає в тому, що вона дає змогу знайти багато прикладів груп Лі і для доведення їх приналежності до цих груп достатньо довести їх замкнутість у деяких підгрупах Лі, що часто є відносно просто. Наприклад спеціальні лінійні групи чи ортогональні групи є замкнутими підгрупами загальних лінійних груп.

Доведення[ред. | ред. код]

Нехай G — група Лі, ${\mathfrak {g}}$ — її алгебра Лі, H — замкнута підгрупа у G. Для доведення потрібна лема щодо властивостей експоненціального відображення.

Лема: Нехай $X,Y\in {\mathfrak {g}}.$ Тоді:

\lim _{n\to \infty }n\log(\exp(n^{-1}X)\exp(n^{-1}Y))=X+Y.

Експоненційне і логарифмічне відображення є локальними дифеоморфізмами в

0\in {\mathfrak {g}}

і

e\in G

відповідно. Їх диференціали у цих точках є одиничними відображеннями (при стандартній ідентифікації простору

{\mathfrak {g}}

і його дотичного простору в нулі).

Відображення

\psi :{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to G,\;\;(X,Y)\to \exp X\exp Y

має диференціал у точці (0,0) рівний

T_{(0,0)}\psi (X,Y)=X+Y.

Відображення

\log \circ \psi

є визначеним у деякому околі точки (0,0) і його диференціал у цій точці задається як

(X,Y)\to X+Y.

Відповідно для (X,Y) достатньо близьких до (0,0):

\log(\exp(X)\exp(Y))=X+Y+\rho (X,Y),

де

\rho (X,Y)=o(|X|+|Y|)

при

(X,Y)\to (0,0)

(вибір норми у цьому випадку може бути довільним). Звідси:

\lim _{n\to \infty }n\log(\exp(n^{-1}X)\exp(n^{-1}Y))=\lim _{n\to \infty }n(n^{-1}X+n^{-1}Y+o(n^{-1}))=X+Y.

Розглянемо тепер множину T елементами якої є вектори $X\in {\mathfrak {g}}$ для яких існують послідовності $X_{n}\in {\mathfrak {g}},\;a_{n}\in \mathbb {R} ,$ такі що $\exp X_{n}\in H,\;\lim X_{n}=0,\;\lim a_{n}X_{n}=X.$ Очевидно, що $0\in T$ і з $X\in T$ випливає $\mathbb {R} X\subset T.$

Тоді $\exp X\in H,\;\forall X\in T.$ Справді, якщо $X\neq 0,$ то в позначеннях вище $|a_{n}|\to \infty .$ Нехай $m_{n}\in \mathbb {Z}$ — такі числа, що $a_{n}\in [m_{n},m_{n}+1].$ Тоді $|m_{n}|\to \infty$ і $a_{n}/m_{n}\to 1.$ Звідси $m_{n}X_{n}\to X$ і $\exp X=\lim _{n\to \infty }(\exp(X_{n}))^{m_{n}}\in {\bar {H}}=H.$

Також T є лінійним підпростором ${\mathfrak {g}}.$ Дійсно нехай $X,Y\in T.$ Позначимо $X_{n}=X/n,\;Y_{n}=Y/n$ і, для достатньо великих n, $\;Z_{n}=\log(\exp X_{n}\exp Y_{n}).$ Тоді $\exp Z_{n}=\exp X_{n}\exp Y_{n}\in H,$ а також $Z_{n}\to 0$ і (використовуючи доведену лему) $nZ_{n}\to X+Y,$ звідки $X+Y\in T.$

Нехай ${\mathfrak {g}}=S\oplus T$ і $\phi :(X,Y)\to \exp X\exp Y$ — гладке відображення із $S\times T\to G$ із диференціалом у точці (0,0) рівним $T_{(0,0)}\phi (\xi ,\theta )=\xi +\theta .$ Даний диференціал є бієкцією, а отже $\phi$ є локальним дифеоморфізмом у точці (0,0). Тому існують відкриті околи початку координат $\Omega _{T}\subset T,\;\Omega _{S}\subset S$ при яких $\phi$ є дифеоморфізмом $\Omega _{S}\times \Omega _{T}$ на відкриту підмножину $e\in U\subset G.$ Якщо для достатньо малих $\Omega _{T},\Omega _{S}$ при цьому $\phi (0\times \Omega _{T})=U\cap H$ то це задасть диференційовну структуру в околі одиниці підгрупи H, а тому і на всій групі і H буде вкладеною підгрупою Лі.

Припустимо, що вказане твердження не є вірним. Нехай $\Omega _{T}^{k},\;\Omega _{S}^{k}$ спадні послідовності околів для яких $\Omega _{S}^{k}\times \Omega _{T}^{k}\to 0.$ Згідно припущення для всіх $k$ існує елемент $h_{k}\in \phi (\Omega _{S}^{k}\times \Omega _{T}^{k})\cap H,$ такий що $h_{k}\not \in \phi (0\times \Omega _{T}^{k}).$

Існують єдині $0\neq X_{k}\in \Omega _{S}^{k},\;Y_{k}\in \Omega _{T}^{k},$ що $h_{k}=\phi (X_{k},Y_{k})=\exp X_{k}\exp Y_{k}.$ Тому $X_{k}$ є послідовністю у $S\setminus \{0\},$ що збігається до нуля і $\exp X_{k}=h_{k}\exp(-Y_{k})\in H.$ Ввівши довільну норму на S і розглянувши послідовність $X_{k}/|X_{k}|$ (елементи якої належать компактній одиничній сфері) можна обрати підпослідовність збіжну до деякого елемента X простору S одиничної норми. Без втрати загальності можна вважати $X_{k}/|X_{k}|$ такою послідовністю. Але $X_{k}\in S\subset {\mathfrak {g}}$ і $|X_{k}|\in \mathbb {R}$ задовольняють всі умови означення множини T, тому $X\in T.$ Це неможливо оскільки $S\cap T=0.$ Тому для деякого k $\phi (\Omega _{S}^{k}\times \Omega _{T}^{k})\cap H=\phi (0\times \Omega _{T}^{k}),$ що завершує доведення.