Теорема про замкнуті підгрупи — твердження у теорії груп Лі про те, що кожна замкнута підгрупа групи Лі є вкладеною підгрупою Лі (тобто вона успадковує свою топологічну і диференційовну структуру із основної групи). У твердженні теореми вимагається лише щоб підгрупа була також замкнутою множиною і на основі лише цього факту доводиться, що дана група також є вкладеним підмноговидом і відповідно вкладеною підгрупою Лі.
Оскільки підгрупа Лі є вкладеною тоді і тільки тоді коли вона є замкнутою то звідси одержується, що (абстрактна) підгрупа є вкладеною підгрупою Лі тоді і тільки тоді коли вона є замкненою підмножиною.
Значення теореми полягає в тому, що вона дає змогу знайти багато прикладів груп Лі і для доведення їх приналежності до цих груп достатньо довести їх замкнутість у деяких підгрупах Лі, що часто є відносно просто. Наприклад спеціальні лінійні групи чи ортогональні групи є замкнутими підгрупами загальних лінійних груп.
Нехай G — група Лі,
— її алгебра Лі, H — замкнута підгрупа у G. Для доведення потрібна лема щодо властивостей експоненціального відображення.
Лема: Нехай
Тоді:
- Експоненційне і логарифмічне відображення є локальними дифеоморфізмами в
і
відповідно. Їх диференціали у цих точках є одиничними відображеннями (при стандартній ідентифікації простору
і його дотичного простору в нулі).
- Відображення
має диференціал у точці (0,0) рівний
Відображення
є визначеним у деякому околі точки (0,0) і його диференціал у цій точці задається як
Відповідно для (X,Y) достатньо близьких до (0,0):
![{\displaystyle \log(\exp(X)\exp(Y))=X+Y+\rho (X,Y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aad30a4aaa15a9b24340eec88d8473c2296a4b5e)
- де
при
(вибір норми у цьому випадку може бути довільним). Звідси:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }n\log(\exp(n^{-1}X)\exp(n^{-1}Y))=\lim _{n\to \infty }n(n^{-1}X+n^{-1}Y+o(n^{-1}))=X+Y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a0c9b327a5f2b361fe862da57466d9e436ad270)
Розглянемо тепер множину T елементами якої є вектори
для яких існують послідовності
такі що
Очевидно, що
і з
випливає
Тоді
Справді, якщо
то в позначеннях вище
Нехай
— такі числа, що
Тоді
і
Звідси
і
Також T є лінійним підпростором
Дійсно нехай
Позначимо
і, для достатньо великих n,
Тоді
а також
і (використовуючи доведену лему)
звідки
Нехай
і
— гладке відображення із
із диференціалом у точці (0,0) рівним
Даний диференціал є бієкцією, а отже
є локальним дифеоморфізмом у точці (0,0). Тому існують відкриті околи початку координат
при яких
є дифеоморфізмом
на відкриту підмножину
Якщо для достатньо малих
при цьому
то це задасть диференційовну структуру в околі одиниці підгрупи H, а тому і на всій групі і H буде вкладеною підгрупою Лі.
Припустимо, що вказане твердження не є вірним. Нехай
спадні послідовності околів для яких
Згідно припущення для всіх
існує елемент
такий що
Існують єдині
що
Тому
є послідовністю у
що збігається до нуля і
Ввівши довільну норму на S і розглянувши послідовність
(елементи якої належать компактній одиничній сфері) можна обрати підпослідовність збіжну до деякого елемента X простору S одиничної норми. Без втрати загальності можна вважати
такою послідовністю. Але
і
задовольняють всі умови означення множини T, тому
Це неможливо оскільки
Тому для деякого k
що завершує доведення.