Гаусові числа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Гаусові цілі числа  — комплексні числа вигляду де  — звичайні цілі числа. Якщо дозволити раціональні значення для то одержимо поле гаусових раціональних чисел.

Гаусові цілі числа утворюють комутативне кільце, яке докладно дослідив Карл Гаус. На гаусові цілі числа поширюється теорема про однозначність розкладу на прості множники, яка відома для звичайних цілих чисел з часів Евкліда. Це надає концептуальне пояснення результатам П. Ферма та Л. Ейлера відносно розв'язків рівняння у цілих числах і приводить до короткого доведення великої теореми Ферма для

Множина гаусових цілих чисел прийнято позначати їх властивості схожі на властивості множини звичайних цілих чисел , проте є й істотні відмінності .

У запроваджених Гаусом і Н. Абелем дослідженнях довжини дуги лемніскати, гаусові цілі числа було застосовано до питань теорії еліптичних функцій, так звана теорія комплексного множення, і до обчислення середнього арифметико-геометричного.

Загальні властивості[ред.ред. код]

Визначення і класифікація[ред.ред. код]

Формальне визначення :

.

Множина містить безліч звичайних цілих чисел і являє собою його розширення[1].Сума, різниця і добуток гаусових чисел є гаусовими числами; така структура алгебри називається кільцем[2].Ввести в цьому комплексному кільці впорядкованість неможливо. Відзначимо також, що спряжене до гаусового числа є також гаусове число

Кожне гаусове число задовольняє квадратному рівнянні:

Тому гаусове число є ціле алгебраїчне число.

Норма[ред.ред. код]

Норма для гаусового числа визначається як квадрат його модуля[3]:

Властивості норми[4]:

  • Норма дорівнює нулю тільки для нуля. В інших випадках норма — додатне ціле число.
  • Норми спряжених чисел збігаються.
  • Норма звичайного цілого числа дорівнює його квадрату.
  • Якщо норма непарна, то вона має вигляд , тобто при діленні його на 4 виходить залишок 1. Ніяке гаусове число не може мати норму виду

Норма, як і модуль, має важливу властивість мультиплікативності:

Звідси випливає, що зворотніми елементами кільця є ті елементи, у яких норма дорівнює 1, тобто .

Два гаусових числа називаються асоційованими, якщо одне виходить з іншого множенням на дільник одиниці. Легко побачити, що асоційованість — відношення еквівалентності. Приклад: гаусові числа и асоційовані, оскільки:

У кожного ненульового гаусового числа є три асоційованих з ним. Норми всіх чотирьох асоційованих між собою чисел збігаються.

Теорія подільності[ред.ред. код]

Ділення націло[ред.ред. код]

Ділення націло гаусових чисел визначається звичайним чином: Вимова: один з трьох рівносильних варіантів.

  • ділиться на
  • ділить
  •  — дільник

Використовуються традиційні терміни: ділене або кратне (), дільник () та частка від ділення (). Кількість дільників гаусового числа завжди скінчене, кількість кратних нескінченно.

Приклад: число 2 ділиться націло на , тому що .

Всі гаусові числа діляться на дільники одиниці, тому будь-яке гаусове число, відмінне від дільників одиниці, має як мінімум 8 дільників: 4 дільника одиниці і 4 їх добутку на саме це число. Ці подільники називаються тривіальними[5].

Ділення націло в за своїми властивостями схоже на аналогічне ділення цілих чисел. Деякі специфічні для гаусових чисел особливості[6]:

  • Якщо гаусове число ділиться націло на звичайне ціле число, то на це ціле число діляться як дійсна, так і уявна частина
  • Якщо и , то ці числа асоційовані.
  • Якщо , то будь-яке з 3 чисел, асоційованих з ділиться на будь-яке з 3 чисел, асоційованих з .
  • Якщо ділиться на , то спряжене до діленого числа ділиться на спряжене до дільника
  • Всі дільники гаусового числа є також дільниками його норми
  • Норма гаусового числа парна тоді і тільки тоді, коли це число ділиться на
  • Якщо , то і норма діленого, в силу мультиплікативності, ділиться націло на норму дільника. При цьому:

Кажуть, що гаусове число ділиться (націло) на гаусове число , якщо існує третє гаусове число таке, що . Позначення: ,

Геометричне уявлення подільності[ред.ред. код]

У кожного гаусового числа є 4 кратних с той же нормой (и, соответственно, тем же модулем) — это само є 4 кратних з тією ж нормою (і, відповідно, тим же модулем) — це саме та асоційовані з ним 3 числа, які виходять послідовним множенням на :

Але множення на означає на комплексній площині поворот радіус-вектора числа на 90° проти годинникової стрілки, причому модуль результату буде тим же. Таким чином, всі 4 числа утворюють рівносторонній хрест (виділено червоним на малюнку), центр і вершини якого кратні . Послідовно зрушуючи цей хрест на всі боки на одну з 4 величин, асоційованих з , ми одержуємо на всій площині квадратну решітку, всі вузли якої (вершини квадратів) кратні . Зворотньо, будь яке кратне збігається з одним з вузлів решітки. Ширина кожного квадрата решітки дорівнює  Далі для стислості ця решітка буде називатися «решіткою кратних» (або, якщо потрібне уточнення, «-решітка кратних»).

Приклад: на малюнку одним з вузлів решітки є число , кратне :

Прості гаусові числа[ред.ред. код]

Просте гаусове число — це нульове число, яке не має інших дільників, крім тривіальних. Число, що не є простим, називається складовим. При цьому дільники одиниці, подібно натуральної одиниці, не вважаються ні простими, ні складовими числами[7].

Деякі властивості простих гаусових чисел:

  • Якщо  — просте гаусове число, то і спряжене до нього гаусове число також є простим.
  • Якщо просте гаусове число є дільником добутку гаусових чисел, то воно є дільником принаймні одного із співмножників.
  • Норма будь якого простого гаусового числа, крім асоційованих з , завжди непарна і тому дорівнює

Натуральне просте число може не бути гаусовим простим числом. Наприклад, числа 2 і 5 в вже не прості:

Взаємно прості числа[ред.ред. код]

Якщо гаусове число є дільником для двох гаусових чисел і , воно називається їх спільним дільником. Множина спільних дільників двох чисел завжди містить 4 дільника одиниці; якщо інших спільних дільників немає, ці числа називаються взаємно простими[8].

Відзначимо, що якщо норми гаусових чисел , взаємно прості як цілі числа, то і самі числа , взаємно прості як гаусові числа. Зворотнє невірно: норми взаємно простих гаусових чисел можуть мати спільні дільники — наприклад і взаємно прості, але їх норми збігаються і тому не взаємно прості.

Зазначимо дві властивості, аналогічні властивостям цілих чисел.

  • Якщо кожне з двох гаусових чисел взаємно просто з гаусовим числом то і їх добуток теж взаємно просто з
  • Якщо і при цьому взаємно просто з , то[9]

Критерій Гауса[ред.ред. код]

Гаус вказав визначальні ознаки простого числа в [10].

Гаусове число є простим тоді і тільки тоді, коли:

  • або одне з чисел нульове, а інше — ціле просте число виду ;
  • або обидва не нулі та норма  — просте натуральне число.

Наведемо приклади простих гаусових чисел.

  • До першої частини критерію:
  • До другої частини критерію:

Деякі джерела для більшої ясності поділяють другу частину критерію на дві[11]:

  1. Числа, асоційовані з Їх норма дорівнює 2.
  2. Числа, норма яких є просте натуральне число вигляду

Сам Гаус такого поділу не робив[12].

Слідства.

  • Ніяке просте натуральне число вигляду не може бути простим гаусовим числом. Прості натуральні числа виду є і простими гаусовими числами.
  • Норма простого гаусового числа є або простим натуральним числом, або квадратом простого натурального числа[13].
  • Просте натуральне число вигляду можна представити як добуток спряжених простих гаусових чисел або, що те ж саме, як суму квадратів . Цей факт відомий як Теорема Ферма — Эйлера. Саме при дослідженні даної теми, а також теорії біквадратичних лишок, Гаус з успіхом застосував цілі комплексні числа. Навпаки, якщо просте натуральне число можна подати у вигляді суми натуральних квадратів, то в воно складене і розкладається на два спряжених гаусових простих.
  • Кожне просте гаусове число є дільником одного і тільки одного простого натурального числа[14]. Це означає, що розкладаючи натуральні прості на гаусові множники, ми отримаємо всі гаусові прості.

Розклад на прості множники[ред.ред. код]

В має місце аналог основної теореми арифметики: кожне гаусове число, що не є нулем або дільником одиниці, розкладається на прості множники, причому це розкладання однозначно з точністю до порядку і асоційованості множників[15].

Приклад: Множники цих двох, по виду різних, розкладів попарно асоційовані: так що однозначність не порушується.

Щоб практично розкласти гаусове число на прості множники, можна використовувати наведену вищу властивість: всі дільники гаусового числа є також дільниками його норми. При цьому норма містить також «зайві» прості множники, відповідні спряжені до на прості множники, можна використовувати наведену вище властивість: всі дільники гаусового числа є також дільниками його норми.

Таким чином, почати слід з розкладання норми числа на прості натуральні множники[16].

  1. Множник 2, якщо він присутній в розкладанні норми, розкладається як. Слід включити в результуюче розкладання ті з цих множників (у відповідній мірі), на які ділиться націло.
  2. Крім 2, інші множники норми — непарні. Множник виду є простим гаусовим числом, тому він ділить не тільки норму, але і саме Але тоді цей множник ділить і спряжене число . Звідси випливає, що множник виду входить в розкладання норми завжди в парній степені, а в розкладання самого  — в степені, вдвічі меншою.
  3. Множник виду можна розкласти на добуток спряжених простих гаусових чисел (або, що те ж саме, на суму квадратів натуральних чисел). І тут слід діленням з'ясувати, який із співмножників відноситься до початкового числа, а який — до спряженого.

Приклад. Розкладемо на прості множники Норма цього числа дорівнює 225, розкладемо її на прості натуральні множники: За попереднім, Перевіркою переконуємося, що ділиться тільки на и не ділиться на Частка від ділення на дорівнює тому остаточно отримуємо:

Теорія порівнянь[ред.ред. код]

Порівняння по гаусовому модулю[ред.ред. код]

Поняття порівняння по модулю визначається в аналогічно тому, як це робиться для цілих чисел:

Нехай  — деяке гаусове число. Два гаусових числа називаються порівнянними по модулю , якщо різниця ділиться (націло) на . Запис:

Властивості порівнянь в в основному такі ж, як у цілих чисел. Відношення порівнянності є відношення еквівалентності, тому розбивається на непересічні класи лишок — кожен такий клас містить всі порівнянні один з одним (по заданому модулю) гаусові числа. Для класів, як у випадку цілих чисел, можна визначити додавання і множення, так що виходить кільце лишок по гаусовому модулю.

Приклад. Візьмемо в якості модуля порівняння . Тоді розбивається на два класи лишок: числа , у яких , однакової парності, потраплять в один клас (що містить кратні модуля), а числа з різною парністю ,— в іншій.

У гаусового порівняння є деякі особливості. Наприклад, якщо для цілих чисел по модулю 3 існують 3 класу лишок з представниками то для гаусових чисел за тим же модулю кількість класів значно більше. Їх представники:

Як виявив Гаус, кільце лишок по модулю містить елементів[17]. Цей факт змушує модифікувати деякі класичні теореми. Наприклад, мала теорема Ферма для цілих чисел стверджує, що ділиться на для будь якого простого і натурального . Для гаусових чисел це невірно, навіть якщо обмежитися натуральними значеннями  ; наприклад, для цілих чисел завжди ділиться на 3, а для гаусових , і це значення на 3 не ділиться. Модифікований аналог малої теореми Ферма формулюється в такий спосіб: Перевіримо на тому ж прикладі з Отримуємо:  — ділиться на 3.

Нехай  — деяке гаусове число. Два гаусових числа називаються порівнянними по модулю , якщо різниця ділиться (націло) на . Запис:

Для простого гаусового числа і будь якого гаусового числа
ділиться на

Назвемо клас лишок по модулю містить число оборотним, якщо порівняння має рішення відносно Клас оборотний тоді і тільки тоді, коли гаусові числа и взаємно прості. Зокрема, якщо модуль порівнянь  — гаусове просте число, то кожен ненульовий клас лишок має оборотний елемент, а це означає, що класи лишок по простому модулю в , як і в утворюють поле.

Функція Ейлера для гаусових чисел[ред.ред. код]

Введемо аналог функції Ейлера для гаусових чисел. Визначення для цілих чисел не годиться хоча б тому, що міститься в ньому вираз «від до » не має сенсу для комплексних чисел. Нове визначення:

Функція Ейлера для гаусового числа визначається як число оборотних класів лишок по модулю

Визначена таким чином функція, як і її прототип для цілих чисел, мультиплікативна, тому достатньо знати її значення для простих чисел і їх натуральних степенів. Якщо  — просте гаусове число, то:

Приклад:

Тепер можна узагальнити наведену в попередньому розділі малу теорему Ферма на випадок довільного (не обов'язково простого) модуля порівняння, тобто привести аналог теореми Ейлера:

Якщо гаусове число взаємно просто з модулем , то:

Геометричне уявлення порівняння по модулю[ред.ред. код]

Розглянемо для прикладу порівняння по модулю Як сказано в розділі про геометричному поданні подільності, можна розбити комплексну площину на квадрати, так, що вузли цієї решітки (вершини квадратів) представляють всілякі комплексні кратні Тоді, за визначенням, числа можна порівняти по модулю, якщо їх різниця збігається з одним з вузлів решітки кратних.

Кожен квадрат решітки виходить з будь-якого іншого квадрата зрушенням (переносом) на величину, кратну тому різниця будь-якої точки квадрата і результату її зсуву теж кратна Звідси випливає остаточний висновок:

Гаусові числа порівняні по модулю тоді і тільки тоді, коли вони займають одне і теж відносне положення в своїх квадратах решітки кратних.

Наприклад, можна порівняти всі центри квадратів, або всі середини їх відповідних сторін тощо

Ділення з залишком[ред.ред. код]

Визначення[ред.ред. код]

У кільці можна визначити ділення із залишком (на будь яке ненульове гаусове число), вимагаючи, щоб норма залишку була менше норми дільника[18]:

Будь яке гаусове число можна поділити із залишком на будь яке ненульове гаусове число , тобто представити у вигляді:

де частка і залишок  — гаусові числа, причому

Нескладно показати, що в якості частки від ділення із залишком можна взяти гаусове число, найближчим до частки від звичайного ділення комплексних чисел[19].

Необхідно відзначити, що умова «норма залишку менше норми дільника» недостатньо для того, щоб гарантувати однозначність залишку від ділення. В , на відміну від , залишок неоднозначний. Наприклад, можна розділити на трьома способами:

Можна гарантувати тільки те, що всі залишки потрапляють в один клас залишок по модулю дільника.

Приклад. Поділимо із залишком на . Спочатку знайдемо частку від звичайного комплексного ділення:

Найближче до результату гаусове число є тоді залишок дорівнює В результаті отримуємо:

Геометричне представлення[ред.ред. код]

З визначення поділу із залишком на слідує, що тобто модуль залишку є відстань між комплексними числами и Іншими словами, є відстань від діленого до одного з вузлів -решітки кратних. Вимога «норма залишку менше норми дільника» еквівалентно умові . Звідси випливає:

Ділення із залишком на має стільки рішень, скільки вузлів -решітки кратних знаходиться від діленого на відстані менше

У наведеному вище прикладі ділення на найближчими до діленого є кратні дільника, що утворюють вершини квадрата решітки, що містить ділене:

Всі вони знаходяться від діленого на відстані менше, ніж Четверта вершина квадрата віддалена від діленого більше ніж на Тому дана задача поділу із залишком має три рішення.

У загальному випадку, провівши з вершин квадрата -решітки кратних дуги радіусом , ми отримали фігуру, показану на малюнку. Якщо ділене знаходиться в центральній області (червона зона), воно віддалене від усіх вершин менш ніж на , і поділ із залишком може бути виконано чотирма способами. Якщо ділене знаходиться в одному з «пелюсток» (синя зона), то одна з вершин відпадає, і число рішень дорівнює трьом. Для білої зони отримуємо два рішення. Нарешті, якщо ділене збігається з однією з вершин, то залишок дорівнює нулю, і рішення єдино.

Найбільший спільний дільник[ред.ред. код]

Кільце гаусових чисел є евклідовим, і в ньому завжди можна визначити найбільший спільний дільник, визначений однозначно з точністю до дільників одиниці[20].

Найбільшим спільним дільником НСД для гаусових чисел і , хоча б одно з яких ненульове, називається їх спільний дільник , який ділиться на будь який інший спільний дільник і .

Еквівалентне визначення: НСД є той загальний дільник , у якого норма максимальна[21].

Властивості НСД
  • Якщо відомий деякий НСД, то будь-яка з трьох чисел, асоційованих з ним, також буде НСД. Зокрема. якщо один з НСД — дільник одиниці, то такими ж будуть і інші три НСД.
  • Гаусові числа взаємно прості тоді і тільки тоді, коли їх НСД є дільник одиниці.
  • Має місце аналог співвідношення Безу[22]:

Нехай  — гаусові числа, і хоча б одно з них не нуль. Тоді існує такі гаусові числа , що виконується співвідношення:

НСД
Іншими словами, найбільший спільний дільник двох гаусових чисел можна завжди уявити як лінійну комбінацію цих чисел з гаусовими коефіцієнтами.
  • Слідство співвідношення Безу: якщо гаусові числа взаємно прості, то рівняння відносно має рішення в Замість 1 в наведеному рівнянні може стояти будь-який інший дільник одиниці, теорема при цьому залишиться вірною.

Алгоритм Евкліда і практичне обчислення НСД[ред.ред. код]

Для визначення НСД в зручно використовувати алгоритм Евкліда, цілком аналогічний вживаному для цілих чисел. НСД виходить в цій схемі як останній ненульовий залишок[23]. Алгоритм Евкліда можна також використовувати для знаходження коефіцієнтів в співвідношенні Безу.

Приклад 1. Знайдемо НСД для і

Крок 1: (розділили з залишком перше число на друге)
Крок 2: (розділили з залишком попередній дільник на залишок попереднього кроку)
Крок 3: (та сама дія)
Крок 4: (та сама дія, розподіл виконується без остачі)

Відзначимо, що на кожному кроці норма залишку монотонно зменшується. Останній ненульовий залишок дорівнює , це дільник одиниці, тому робимо висновок, що досліджувані числа взаємно прості.

Приклад 2. Знайдемо НСД для и

Крок 1:
Крок 2:
Крок 3: (розподіл виконується без остачі)

Останній ненульовий залишок дорівнює , це і є шуканий НСД. Послідовно підставляючи замість лівих частин рівностей праві (починаючи з передостанньої рівності, від низу до верху), ми отримаємо співвідношення Безу для НСД:

Деякі додатки[ред.ред. код]

Гаус використовував відкриту їм алгебраїчну структуру для глибокого дослідження біквадратних залишків. Можна вказати і інші області успішного застосування гаусових чисел[24]. Примітно, що значна їх частина відноситься до теорії не комплексних, а натуральних чисел.

Розкладання натуральних чисел на суму двох квадратів[ред.ред. код]

З критерію Гауса випливає, що просте натуральне число вигляду можна представити у вигляді суми квадратів двох натуральних чисел, причому єдиним способом. Приклад:

Розкладання натуральних чисел іншого виду не завжди можливо - наприклад, і інші числа виду можна представити у вигляді суми квадратів двох натуральних чисел. Складові числа можуть також мати більше одного варіанту розкладу, наприклад: Загальна теорема: натуральне число можна подати у вигляді суми двох квадратів тоді і тільки тоді, коли в його канонічному розкладанні всі прості множники виду входять в парних степенях.

Приклад: можна представити у вигляді суми квадратів, тому що число 3 (як і 7) входить в нього з непарним степенем. Але уявити можна:

Підрахунок числа представленого у вигляді суми двох квадратів[ред.ред. код]

Число представлень натурального числа у вигляді суми квадратів (але, що те ж саме, число гаусових чисел з нормою ) можна визначити наступним чином[25]. Розкладемо на прості натуральні множники:

Тут — множники виду а — множники виду Тоді можливі 3 випадки .

  1. Якщо хоча б один показник степеня непарний, число не може бути представлено у вигляді суми квадратів.
  2. Нехай всі парні. Остаточна формула залежить від парності Якщо всі вони теж парні, то формула має вигляд:
  1. Якщо не всі парні, то формула трохи відрізняється:

Теорія піфагорових трійок[ред.ред. код]

Піфагорова трійка — це одне з цілочисельних рішень рівняння:

Загальне рішення рівняння залежить від двох цілих параметрів :

Для генерації піфагорових трійок можна використовувати такий прийом. Нехай — довільне гаусове число, у якого обидва компонента ненульові. Звівши це число в квадрат, одержимо деяке інше гаусове число Тоді трійка буде піфагоровою.

Приклад: для вихідного числа отримаємо пифагорову трійку:

Рішення діофантових рівнянь[ред.ред. код]

Рішення багатьох діофантових рівнянь вдається знайти, якщо залучити апарат гаусових чисел. Наприклад, для рівняння нескладні перетворення дають два типи цілих взаємно простих рішень[26], залежать від цілих параметрів:

У 1850 році Віктор Лебег, використовуючи гаусові числа, досліджував рівняння і довів його нерозв'язність в натуральних числах. Іншими словами, серед натуральних чисел виду немає жодного повного куба чи іншого степеня вище другого.

Невирішені проблеми[ред.ред. код]

  • Знайти кількість гаусових чисел, норма яких менше заданої натуральної константи. В еквівалентному формулюванні ця тема відома як «проблема кола Гауса» у геометрії чисел[27].
  • Знайти прямі на комплексній площині, що містять нескінченно багато простих гаусових чисел. Дві такі прямі очевидні - це координатні осі; невідомо, чи існують інші[28].
  • Питання, відомий під назвою «рів Гауса»: чи можна дійти до нескінченності, переходячи від одного простого гаусового числа до іншого стрибками заздалегідь обмеженої довжини? Завдання поставлене в 1962 році і до цих пір не вирішена[29].

Варіації і узагальнення[ред.ред. код]

Ще одним історично важливим евклідовим кільцем, за схожими властивостями на цілі, числа Стали «цілі числа Ейзенштейна».

Гаусові раціональні числа, що позначаються — це комплексні числа виду , де раціональні числа. Ця множина замкнута щодо всіх 4 арифметичних операцій, включаючи ділення, і тому є полем, розширюють кільце гаусових чисел.

Історія[ред.ред. код]

У 1820-х годах Карл Фрідріх Гаус досліджував біквадратичний закон взаємності, результатом стала монографія «Теорія біквадратичних залишків» (1828-1832). Саме в цій праці цілі комплексні числа довели свою корисність для вирішення завдань теорії чисел, хоча формулювання цих завдань ніяк не пов'язана з комплексними числами. Гаус писав, що «природне джерело загальної теорії слід шукати в розширенні області арифметики».

У книзі Гауса було показано, що нові числа за своїми властивостями багато в чому нагадують звичайні цілі числа. Автор описав чотири дільник одиниці, визначив ставлення асоційованості, поняття простого числа, дало критерій простоти і довів аналоги основної теореми арифметики, малої теореми Ферма. Далі Гаус докладно розглянув лишки по комплексному модулю, індекси і первісні корені. Головним досягненням побудованої теорії став біквадратичний закон взаємності, який Гаус обіцяв довести в наступному томі; цей том так і не був опублікований, але в рукописах Гауса була виявлена детальна схема строгого доказу.

Гаус використовував запроваджені ним числа також і в інших своїх працях, наприклад, по алгебраїчним рівнянням[30]. Ідеї Гауса були розвинені в працях Карла Густава Якоба Якобі та Фердинанда Готтхольда Ейзенштейна[ru]. У середині XIX століття Ейзенштейн, Діріхле и Ерміт ввели і досліджували узагальнене поняття цілого алгебраїчного числа.

Кільце гаусових цілих чисел було одним з перших прикладів алгебраїчної структури з незвичними властивостями. Згодом було відкрито велику кількість структур такого типу, а в кінці XIX століття з'явилася абстрактна алгебра, вивчає алгебраїчні властивості окремо від об'єктів-носіїв цих властивостей.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К., 1939, с. 146.
  2. Айерлэнд К., Роузен М., 1987, с. 23.
  3. Окунев Л. Я., 1941, с. 27—28.
  4. Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К., 1939, с. 147—149.
  5. Окунев Л. Я., 1941, с. 32.
  6. Окунев Л. Я., 1941, с. 29.
  7. Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К., 1939, с. 150.
  8. Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К., 1939, с. 155.
  9. Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К., 1939, с. 156.
  10. Окунев Л. Я., 1941, с. 41, 44.
  11. A classification of gaussian primes, с. 10.
  12. Гаусс К. Ф., 1959, с. 698.
  13. Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К., 1939, с. 158.
  14. Conrad, Keith, Глава 9.
  15. Окунев Л. Я., 1941, с. 33—34.
  16. Conrad, Keith, Глава 6.
  17. Conrad, Keith, Глава 7.
  18. Conrad, Keith, Глава 3.
  19. Окунев Л. Я., 1941, с. 30—31.
  20. Окунев Л. Я., 1941, с. 35—36.
  21. Conrad, Keith, Глава 4.
  22. Conrad, Keith, Глава 5.
  23. Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К., 1939, с. 153—155.
  24. Conrad, Keith, Глава 8.
  25. Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К., 1939, с. 164—166.
  26. Кузьмин Р. О., Фаддеев Д. К., 1939, с. 162—163.
  27. Conway J. H., Sloane N. J. A. {{{Заголовок}}}. — P. 106.
  28. Ribenboim, Paulo. {{{Заголовок}}}. — ISBN 0-387-94457-5..
  29. Guy Richard K. {{{Заголовок}}}. — P. 55—57.. — ISBN 978-0-387-20860-2.
  30. Hardy G. H., Wright E. M., 1968, с. 189.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]