Срібний перетин

Срібний пере́тин — константа, що відбиває геометричне співвідношення, яке вирізняється певною естетичністю; на відміну від золотого перетину, за алюзією з яким його названо, не має загальноприйнятого означення та позначення.

С. п. — ірраціональне алгебраїчне число, яке дорівнює приблизно 2,41 або точно $1+{\sqrt {2}}$.

Система числення	Запис С. п.
Двійкова	10.0110101000001001111…
Десяткова	2.4142135623730950488…
Шістнадцяткова	2.6A09E667F3BCC908B2F…
Ланцюговий дріб	$2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{2+{\frac {1}{\ddots }}}}}}}}$

Найбільш послідовним^{[джерело?]} означенням є таке:

Дві величини перебувають у С. п., якщо відношення суми меншої та подвоєної більшої величин до більшої величини таке саме, як і більшої до меншої величини.

Історична довідка

Принаймні останнім часом^[коли?], деякі мистці вважають це відношення «красивим», можливо, спираючись на теорію динамічних прямокутників Джея Гембриджа. Математики досліджували С. п. ще в древній Греції (хоча така назва, можливо, з'явилася нещодавно) через його зв'язок із квадратним коренем з 2, ланцюговими дробами, квадратними трикутними числами, числами Пелля, восьмикутником тощо.

Алгебраїчний зміст

Позначимо С. п. через $\delta _{S}$, тоді:

$\delta _{S}={\frac {b+2a}{a}}={\frac {a}{b}}\,$.

Це рівняння має єдиний додатний корінь.

Доведення.  

${\frac {b+2a}{a}}={\frac {a}{b}}$

$b^{2}+2ab=a^{2}$

$(a+b)^{2}=2a^{2}$

$a+b=a{\sqrt {2}}$

$b=({\sqrt {2}}-1)a$

${\frac {a}{b}}={\frac {a}{({\sqrt {2}}-1)a}}={\frac {1}{{\sqrt {2}}-1}}={\sqrt {2}}+1=\delta _{S}$

$\delta _{S}={1+{\sqrt {2}}}\approx 2.41\ldots$ (послідовність A014176 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Квадратний корінь з 2 дорівнює довжині гіпотенузи в прямокутному △ABC з довжиною катетів 1

На рисунку праворуч відображено геометричне доведення, що корінь з двох — ірраціональний. Враховуючи, що $n=1$ і $m={\sqrt {2}}$, маємо: ${\frac {AB}{BE}}={\frac {AC}{FC}}=\delta _{S}$.

Формули

• $\delta _{S}=1+{\sqrt {2}}\approx 2{,}414\,213\,562\,373\,095\,048\,801\,688\,724\,210$. Це випливає з $(\delta _{S}-1)^{2}=2\,.$

• $\delta _{S}=[2;2,2,2,\dots ]$ — у вигляді ланцюгового дробу:

$\delta _{S}=2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}\,.$

Послідовні наближення цього безперервного дробу (2/1, 5/2, 12/5, 29/12, 70/29, …) є відносинами послідовних чисел Пелля. Ці дроби дають хороші раціональні апроксимації срібного перетину, аналогічне тому, що золотий перетин наближається відношенням послідовних чисел Фібоначчі.

Інші визначення

Існують інші визначення «срібного перетину».

Наприклад, відштовхуючись від визначення золотого перетину через ланцюгову дріб, срібними називають будь-які ланцюгові дроби, у яких знаменники постійні:

$[n;n,n,n,\dots ]$.

Для використання у відсотковому розподілі використовується відношення, близьке до однієї з вищевказаних підхожих дробів, — «71/29» (в сумі дають 100).

Також зустрічається визначення срібного перетину: відношення цілого відрізка до меншого як довжини окружності до діаметра, тобто Пі. Особливо цим захоплюється поет, письменник і дослідник старовини Андрій Чернов (див. бібліографію).

Іншими словами, треба розгорнути окружність у відрізок прямої, а потім відкласти з будь-якого кінця діаметр окружності. Якщо «золото» — проста геометрична симетрія і спосіб гармонізації прямого, «срібло» — гармонія, яка зіставляє пряме і кругле.

Так, він припускає, що саме в срібному перетині розбиваються частини деяких літературних творів: «Мідний вершник» О. С. Пушкіна та «Слово о полку Ігоревім». Також щодо розмаху рук людини до його росту Чернов бачить число ${\frac {2\Phi }{\pi }}=1{,}03\dots$, де Φ — золотий перетин.

Література

• Жуков А. В. Таке різне π // Всюдисуще число π. — М. : УРСС, 2004. — С. 195-196. — ISBN 5-354-00327-X.
• Чернов А. «Срібний перетин» / Нова газета. — 13.01.1997. — № 2(422). — С. 8-9
• Чернов А. Ю. Сім разів відміряй // Хроніки изнаночного часу. — СПб., 2006.
• Андрій Чернов. Нотатки про вічне. «Срібний переріз (введення в проблему)»

Див. також

• Золотий перетин
• Число Пелля

Посилання

• Explanation of Silver Means
• Weisstein, Eric W. Срібний перетин(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.