Теорема про універсальні коефіцієнти є результатом у гомологічній алгебрі, що пов'язує гомологічні і когомологічні групи із довільними коефіцієнтами для ланцюгового комплексу із гомологічними і когомологічними групами із цілочисловими коефіцієнтами [1]·[2]·[3]·[4]. Теорема часто застосовується у алгебричній топології. Типовим застосуванням є обчислення гомологічних та когомологічних груп із коефіцієнтами у деякій групі (серед найважливіших для застосувань є групи і ) через обчислення для коефіцієнтів , які часто є простішими для обчислення. Теорему вперше довели у 1942 році Самуель Ейленберг і Сандерс Маклейн[5]·[6]. У сучасній версії її найчастіше стверджують із використанням функторів Tor і Ext, за допомогою коротких точних послідовностей[7].
Перед загальним твердженням теореми можна розглянути її на простому прикладі. Двоїстість між ланцюгами і коланцюгами породжує пару для кожного ланцюгового комплекса . Звідси можна отримати гомоморфізм між абелевими групами для якого образом кожного -коцикла є гомоморфізм. Теорема про універсальні коефіцієнти узагальнює цю конструкцію на випадок якщо коефіцієнти гомологічних і когомологічних груп є іншими, ніж
Нехай C є ланцюговим комплексом із цілими коефіцієнтами[8], а і позначають відповідні гомологічні і когомологічні групи. Для деякої абелевої групи G нехай позначає гомологічні групи із коефіцієнтами G (тобто гомологічні групи для ланцюгового комплекса ), а позначає відповідні когомологічні групи.
Для когомологічних груп
При вказаних вище позначеннях послідовність нижче є точною:[9]
Як і у випадку когомології ця послідовність розщеплюється але не в натуральний спосіб.
Ненатуральність розщеплення
Ненатуральність розщеплення має важливі наслідки і є одною із перешкод для практичного застосування теореми. Для випадку гомологічних груп розщеплення послідовності осначає, що і при цьому у точній послідовності у твердженні теореми перше відображення є вкладення як перший доданок прямої суми, а друге відображення є проєкцією на другий доданок.
Ненатуральність такого розщеплення означає, що існують ланцюгові комплекси C і D і ланцюгове відображення f між ними, таке що при записах і індуковане відображення не має вигляд
Сингулярні гомологія із коефіцієнтами : для дійсної проективної площини , усі інші додатні гомологічні групи є тривіальними. Для сфери , усі інші додатні гомологічні групи є тривіальними.
Відображення породжує ланцюговий гомоморфізм між сингулярними ланцюговими комплексами і, як наслідок, гомоморфізм між гомологічними групами , який є нульовим для всіх груп.
Згідно теореми про універсальні коефіцієнти існує розклад
Зокрема і
Якби ці розклади були натуральними то гомоморфізм для гомологічних груп із коефіцієнтами мав би бути нульовим оскільки і (оскільки ) то ж і .
Натомість пряме обчислення показує, що є ізоморфізмом, а не нульовим відображенням.
Доведення теореми
Доведення подано для випадку когомолії[13]. Доведення у випадку гомології є подібним.
Нехай є коланцюговим комплексом вільних -модулів і позначає його коцикли, а його кограниці. Оскільки і для кожного індекса є підгрупами вільної абелевої групи, то вони теж є вільними модулями. Тому точна послідовність нижче розщеплюється:
Тому можна підібрати відповідну проєкцію і застосувати функтор до двох точних послідовностей
За побудовою кожен стовпець і кожен рядок у цій діаграмі є точними послідовностями. Із цієї діаграми випливає, що гомоморфізм (породжений ) допускає переріз, тобто є сюр'єктивним. Також із використанням ін'єктивності) випливає, що . Ін'єктивність дозволяє ідентифікувати останню групу із тобто
Застосування
Для всіх -модулів справедливим є твердження . Тому із теореми про універсальні коефіцієнти . Зокрема для дійсної проективної площини гомологія над є рівною гомології точки.
Якщо є CW-комплексом із скінченною кількістю клітин кожної розмірності то є скінченнопородженими і можуть бути записаними як де є підгрупою кручення і ранг називається -им числом Бетті. Із використанням теореми про універсальні коефіцієнти можна показати, що .
↑Anatoly Fomenko, Dmitry Fuchs, Homotopical Topology, coll. « Graduate Texts in Mathematics » ISBN 9783319234878 та 9783319234885, p. sections 15.4 et 15.5
↑Samuel Eilenberg; Saunders MacLane (1942). Group Extensions and Homology. Annals of Mathematics. 43 (4): 757—831. doi:10.2307/1968966.
↑Charles A. Weibel, An introduction to homological algebraISBN 9780521559874
↑Теорему можна узагальнити якщо замість цілих чисел взяти довільне кільце з успадкуваннями справа, наприклад будь-яке кільце головних ідеалів чи кільце Дедекінда. Див (Weibel 1994, p. 90).
↑Див. наприклад (Hatcher 2002, theorem 3.2, p. 195).
↑Доведення у книзі (Weibel 1994, p. 87) є частиною доведення теореми Кюннета.
↑P. J. Hilton, S. Wylie, Homology theory : an introduction to algebraic topologyISBN 9780521094221, p. p. 227
↑Див. наприклад(Hatcher 2002, theorem 3A.3, corollary 3A.4, p. 264).
↑Альтернативне доведення подано у книзі (Hatcher 2002, p. 190-195).