Примарний розклад

В абстрактній алгебрі примарним розкладом ідеала $I$ кільця $R$ (або, більш загально підмодуля $N$ модуля $M$) називається подання цього ідеала (чи модуля) у вигляді перетину примарних ідеалів (примарних підмодулів).

Примарний розклад узагальнює розклад цілого числа в добуток степенів різних простих чисел. Особливо важливим є випадок комутативних нетерових кілець. Для них існування примарного розкладу було доведено Еммі Нетер, яка узагальнила отриманий у 1905 році Ласкером результат про існування такого розкладу для кілець многочленів і збіжних степеневих рядів. Тому цей результат традиційно називається теоремою Ласкера — Нетер.

Означення

Нехай $R$ — комутативне кільце, $M$ і $N$ — модулі над ним.

• Дільник нуля модуля $M$ — елемент $r$ кільця $R$, такий що $rm=0$ для деякого ненульового $m$ з $M$.
• Елемент кільця називається нільпотентним в $M$, якщо $r^{n}M$ = 0 для деякого натурального числа $n$.
• Модуль називається копримарним, якщо кожен його дільник нуля є нільпотентним. Іншими словами, якщо відображення $\lambda _{r}:M\to M\;\;x\to rx$для кожного $r\in R$є або ін'єктивним або нільпотентним. У випадку скінченнопороджених модулів над нетеровим кільцем еквівалентною є умова, що для модуля існує єдиний асоційований простий ідеал.
• Підмодуль $M$ модуля $N$ називається примарним, якщо $N/M$ є копримарним. Множина дільників нуля у цьому випадку є рівною радикалу ${\mathfrak {p}}\in {\sqrt {\operatorname {Ann} (N/M)}}$. Цей ідеал є простим оскільки, очевидно добуток двох елементів, що не є дільниками нуля теж не є дільником нуля. Підмодуль тоді називається ${\mathfrak {p}}-$примарним. З означень очевидно, що $rx\in M,\quad r\in R,x\in N,$ якщо і тільки якщо або $x\in M$ або $r\in {\mathfrak {p}}.$
• Ідеал $I$ є примарним, якщо він є примарним підмодулем $R$ як $R$-модуля, тобто коли в фактор-кільці $R/I$ кожен дільник нуля є нільпотентним. Це означення є еквівалентним стандартному означенню: якщо ab належить I то або a належить I або bⁿ належить I для деякого натурального числа n. Іншою еквівалентною умовою є те, що кожен дільник нуля у кільці R/I є нільпотентним.
• Підмодуль $M$ модуля $N$ називається незвідним, якщо він не є перетином двох підмодулів строго більших за нього.
• Простий ідеал, асоційований з модулем $M$ — простий ідеал, який є анулятором деякого елемента модуля.

Теорема Ласкера — Нетер

Теорема Ласкера — Нетер для модулів стверджує, що кожен підмодуль скінченнопородженого модуля над нетеровим кільцем є скінченним перетином примарних підмодулів. У випадку кілець ця теорема стверджує, що кожен ідеал нетерового кільця є скінченним перетином примарних ідеалів.

Еквівалентне формулювання: кожен скінченнопороджений модуль над нетеровим кільцем є підмодулем скінченного добутку копримарних модулів.

Доведення

Нехай $M$ скінченнопороджений модуль над нетеровим кільцем $R$ і $N$ — підмодуль в $M$. Для доведення існування розкладу для $N$ замінивши $M$ на $M/N$ достатньо розглянути випадок $N=0$. Для довільних підмодулів $Q_{i}$ модуля $M$ маємо еквівалентність:

$0=\cap Q_{i}\Leftrightarrow \emptyset =\operatorname {Ass} (\cap Q_{i})=\cap \operatorname {Ass} (Q_{i})$

Звідси, для підмодуля 0 існує примарний розклад якщо для кожного простого ідеала ${\mathfrak {p}}$ асоційованого з модулем $M$ (цих ідеалів є скінченна кількість, деталі у статті Асоційований простий ідеал), існує примарний підмодуль $Q$ такий що ${\mathfrak {p}}\not \in \operatorname {Ass} (Q)$.

Розглянемо множину $\{N\subseteq M|{\mathfrak {p}}\not \in \operatorname {Ass} (N)\}$ (вона є непустою оскільки нульовий модуль є її елементом). Оскільки $M$ є нетеровим модулем то множина має максимальний елемент $Q$ . Якщо $Q$ не є ${\mathfrak {p}}$-примарним, наприклад, ${\mathfrak {p}}'\neq {\mathfrak {p}}$ є асоційованим простим ідеалом фактор-модуля $M/Q$, тоді $R/{\mathfrak {p}}'\simeq Q'/Q$ для деякого підмодуля Q'. Але ${\mathfrak {p}}\not \in \operatorname {Ass} (Q)$ і також ${\mathfrak {p}}\not \in \operatorname {Ass} (R/{\mathfrak {p}}')\simeq \operatorname {Ass} (Q'/Q)$ і з властивостей асоційованих простих ідеалів ${\mathfrak {p}}\not \in \operatorname {Ass} (Q')$, що суперечить максимальності $Q$. Як наслідок $Q$ є примарним.

Теореми єдиності

Нехай R — комутативне кільце Нетер. Примарний розклад

${\mathfrak {a}}=\bigcap \limits _{1\leq i\leq k}{\mathfrak {q}}_{i}$

називається незвідним, якщо для будь-якого $\left(1\leq i\leq k\right)\;\;$ ${\mathfrak {q}}_{i}\nsupseteq \bigcap \nolimits _{j\neq i}{\mathfrak {q}}_{j}$ і радикали ${\mathfrak {p}}_{i}={\sqrt {{\mathfrak {q}}_{i}}}$ компонент розкладу є попарно різними. Із довільного примарного розкладу можна отримати незвідний спершу вилучивши всі немінімальні компоненти, а потім замінивши компоненти з однаковим радикалом їх перетином (оскільки перетин примарних ідеалів з однаковим радикалом є примарним ідеалом з тим же радикалом).

Перша теорема єдиності примарного розкладу. Сукупність простих ідеалів $\{{\mathfrak {p}}_{1},...,{\mathfrak {p}}_{n}\}$ при незвідному розкладі визначена однозначно ідеалом ${\mathfrak {a}}$ і не залежить від примарного розкладу. Ця множина рівна множині $\mathrm {Ass} _{R}(R/{\mathfrak {a}})\,$ асоційованих простих ідеалів фактор-кільця $R/{\mathfrak {a}}$.

Мінімальні за включенням елементи цієї сукупності називаються ізольованими простими ідеалами ідеала ${\mathfrak {a}}$, інші — вкладеними простими ідеалами. Множина ізольованих простих ідеалів є рівною множині мінімальних простих ідеалів для ідеала ${\mathfrak {a}}$.

Друга теорема єдиності примарного розкладу. Примарні ідеали, радикалами яких є ізольовані прості ідеали, однозначно визначаються ідеалом і не залежать від примарного розкладу.

Приклади

Для кожного додатного цілого числа n, для кільця $k[x,y]$ для ідеала $I=\langle x^{2},xy\rangle$ існує примарний розклад

$I=\langle x^{2},xy\rangle =\langle x\rangle \cap \langle x^{2},xy,y^{n}\rangle .$

Асоційованими простими ідеалами для цього ідеала є

$\langle x\rangle \subset \langle x,y\rangle .$

Тобто $\langle x\rangle$ є ізольованим ідеалом і $\langle x\rangle$ є відповідним компонентом, що зустрічається у кожному примарному розкладі.

Геометрична інтерпретація

В алгебричній геометрії, афінна алгебрична множина V(I) є за означенням рівною множині нулів ідеала I в кільці многочленів $R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}].$

Незвідний примарний розклад

$I={\mathfrak {q}}_{1}\cap \cdots \cap {\mathfrak {q}}_{r}$

ідеала I задає розклад множини V(I) в об'єднання алгебричних многовидів $V({\mathfrak {q}}_{i})$, які є незвідними, тобто не є об'єднаннями двох менших алгебричних множин.

Якщо ${\mathfrak {p}}_{i}$ є радикалом ідеала ${\mathfrak {q}}_{i}$, то $V({\mathfrak {p}}_{i})=V({\mathfrak {q}}_{i}),$ і теорема Ласкера — Нетер демонструє, що V(I) має єдиний ненадлишковий розклад у об'єднання незвідних алгебричних многовидів:

$V(I)=\bigcup V({\mathfrak {p}}_{i}),$

де об'єднання береться лише за мінімальними асоційованими простими ідеалами. Ці прості ідеали є елементами примарного розкладу ідеала I.

Для випадку розкладу алгебричних многовидів значення мають лише мінімальні прості ідеали але в теорії перетинів і теорії схем весь примарний розклад має геометричний зміст.

Див. також

• Асоційований простий ідеал
• Мінімальний простий ідеал
• Примарний ідеал

Література

• Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, 1969, ISBN 0-2010-0361-9.
• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics, т. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
• Lasker, E. (1905), Zur Theorie der Moduln und Ideale, Math. Ann., 60: 19—116, doi:10.1007/BF01447495
• Noether, Emmy (1921), Idealtheorie in Ringbereichen (PDF), Mathematische Annalen, 83 (1): 24, doi:10.1007/BF01464225
• Jean-Pierre Serre, Local algebra, Springer-Verlag, 2000, ISBN 3-540-66641-9.