Трапеція
Трапеція | |
---|---|
![]() Трапеція | |
Вид | Чотирикутник |
Ребра і вершини | 4 |
Площа | |
Властивості | Опуклий многокутник |
Трапе́ція (лат. trapezium, від дав.-гр. τραπέζιον — «столик») — це чотирикутник, дві протилежні сторони якого паралельні, а інші дві сторони — не паралельні[1]. Паралельні сторони називаються основами трапеції (сторони AB та DC на малюнку). Інші сторони називаються бічними сторонами (сторони AD та CB).
Виділяють два класи трапецій:
- Рівнобічна трапеція, тобто трапеція у якої бічні сторони рівні.
- Прямокутна трапеція — це трапеція у якої два кута прямі.
Відрізок, який сполучає середини бічних сторін, називається середньою лінією трапеції. Середня лінія паралельна основам трапеції, а її довжина дорівнює їх півсумі:
Відстань h між основами трапеції називається висотою трапеції.
Етимологія
Термін трапеція походить від дав.-гр. τραπέζιον, trapézion, буквально «столик» — зменшувальна форма від τράπεζα («стіл», звідки й «трапеза»), утвореного з τετράς («чотири») + πέζα («нога, ребро»)[2]. У США і Канаді використовується термін trapezoid, що походить від τραπεζοειδή («столоподібний»); перше задокументоване вживання цього терміна трапляється у Прокла (412—485 н. е.) у його коментарі до першої книги «Начал» Евкліда[3].
Основні види трапецій
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Trapezoid_special_cases22.svg/280px-Trapezoid_special_cases22.svg.png)
Трапецію називають прямокутною, якщо у неї два суміжних кути дорівнюють 90°.
Гострою називається трапеція у якої кути, прилеглі до більшої основи гострі (менше 90°).
Трапецію називають рівнобічною, якщо її бічні сторони та кути, прилеглі до більшої основи, рівні. Ця трапеція має осьову симетрію.
Тупою називається трапеція, у якої один із кутів, прилеглих до більшої основи, тупий (більше 90°).
Переважною є позиція, що окрім двох паралельних сторін, трапеція повинна мати дві непаралельні сторони[1]. Проте іноді до трапецій включають всі паралелограми (ромби, прямокутники і квадрати), оскільки вони мають дві пари паралельних сторін. Прямокутники мають дзеркальну симетрію по середині ребер; ромби мають дзеркальну симетрію на вершинах, а квадрати мають дзеркальну симетрію з обох середніх ребер і вершин.
Дотичною називається трапеція, яка має вписане коло.
Властивості
Для будь-якого опуклого чотирикутника такі властивості еквівалентні, і кожна передбачає, що чотирикутник є трапецією:
- Сума двох кутів, прилеглих до бічних ребер, дорівнює 180°.
- Кут між однією основою і діагоналлю дорівнює куту між іншою основою та тією ж діагоналлю (внутрішні різносторонні кути рівні).
- Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі.
- Точка перетину діагоналей трапеції, точка перетину продовжень її бічних сторін та середини основ лежать на одній прямій.
- Трикутники, утворені відрізками діагоналей та основами трапеції, подібні.
- Трикутники, утворені відрізками діагоналей та бічними сторонами трапеції, мають однакову площу.
- Відрізок, що з'єднує середини діагоналей, дорівнює піврізниці основ і лежить на середній лінії.
- Бісектриса будь-якого кута трапеції відтинає на її основі (або продовженні) відрізок, рівний бічній стороні.
- Якщо сума кутів при будь-якій основі трапеції дорівнює 90°, то відрізок, що з'єднує середини основ, дорівнює їх піврізниці.
- Якщо сума основ трапеції дорівнює сумі її бічних сторін, то в таку трапецію можна вписати коло, і навпаки.
- Будь-яку трапецію можна побудувати за довжинами чотирьох сторін.
- В рівнобічній трапеції:
- кути при основі, а також діагоналі рівні
- якщо діагоналі рівнобічної трапеції перпендикулярні, то висота такої трапеції дорівнює півсумі основ
- Навколо рівнобічної трапеції можна описати коло.
Висота трапеції
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/18/%D0%92%D0%B8%D1%81%D0%BE%D1%82%D0%B0_%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D1%97.svg/220px-%D0%92%D0%B8%D1%81%D0%BE%D1%82%D0%B0_%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BF%D0%B5%D1%86%D1%96%D1%97.svg.png)
Висота — перпендикулярна відстань між основами. У разі, коли дві основи мають різну довжину (а ≠ b), висота трапеції може бути визначена через довжини чотирьох сторін за формулою:
- ,
де a, b — основи трапеції, а c і d — бокові сторони. Формула висоти трапеції, виражена через бокові сторони та кути, що прилеглі до більшої основи:
Формула висоти трапеції, виражена через діагоналі та кути між ними:
- .
Формула висоти трапеції, виражена через площу:
- , де S — площа трапеції, m — середня лінія.
Площа трапеції
Площа трапеції дорівнює добутку півсуми основ на висоту:
Коли відомі довжини всіх чотирьох сторін трапеції, можемо використовувати іншу формулу визначення площі. Якщо позначити основи трапеції та (), а бічні сторони та , то
- .
Або:
- .
В 499 році н. е. Аріабхата, великий математик-астроном з класичної епохи індійської математики та індійської астрономії, використовував окремий випадок добре відомої формули для площі трикутника, розглядаючи трикутник як вироджену трапецію, у якої одна з паралельних сторін стиснулася до точки. У такому випадку формула для находження площі зводиться до формули Герона для площі трикутника.
Інша еквівалентна формула для площі, яка ближче нагадує формулу Герона, є:
- де — півпериметр трапеції.
Площа рівнобічної трапеції з радіусом вписаного кола та кутом при основі :
Діагоналі
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9e/Trapezium.svg/200px-Trapezium.svg.png)
Довжину діагоналей трапеції можна обчислити за формулами:
де a, b — основи трапеції, а c і d — бокові сторони.
Якщо трапеція ділиться діагоналями AC і BD, що перетинаються в точці О, на чотири трикутники (як показано праворуч), то площа трикутника ΔAOD дорівнює площі трикутника ΔBOC, і добуток площ трикутників ΔAOD і ΔBOC дорівнює добутку площ трикутників ΔАОВ і ΔCOD. Відношення площ кожної пари суміжних трикутників таке ж, що між довжинами паралельних сторін.
Діагоналі трапеції та пов'язані зі сторонами співвідношенням:
- .
Їх можна знайти за формулами:
Також діагоналі можна знайти через висоту трапеції за наступними формулами:
Використовування в архітектурі
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/Temple_of_Dendur-_night.jpg/250px-Temple_of_Dendur-_night.jpg)
В архітектурі слово трапеція використовується для позначення симетричних дверей, вікон і будівель, побудованих ширше біля основи, звужених до вершини (в єгипетському стилі). Існує чимало будівель, що мають форму рівнобічної трапеції. Це був стандартний стиль для дверей і вікон у інків.[4]
Примітки
- ↑ а б Математичний словник | Математика, логіка, інтелект. formula.co.ua. Процитовано 14 січня 2019.
- ↑ Henry George Liddell, Robert Scott, Henry Stuart Jones, A Greek-English Lexicon, Oxford, Clarendon Press (1940), s.v. πέζα, τράπεζα
- ↑ Oxford English Dictionary entry at trapezoid.
- ↑ http://gogeometry.com/MachuPicchu.htm
Див. також
Посилання
- Трапеція // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.
- Калькулятор трапеції (англ.)
- Trapezium at Encyclopedia of Mathematics.
- Weisstein, Eric W. Right trapezoid(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Trapezoid definition Area of a trapezoid Median of a trapezoid With interactive animations
- Trapezoid (North America) at elsy.at: Animated course (construction, circumference, area)
- Trapezoidal Rule on Numerical Methods for Stem Undergraduate
- Autar Kaw and E. Eric Kalu, Numerical Methods with Applications, (2008)