Гравітація з масивним гравітоном

Гравітація з масивним гравітоном — назва класу теорій гравітації, в яких частинку-переносник взаємодії (гравітон) вважають масивною. Приклад — релятивістська теорія гравітації. Характерною особливістю таких теорій є проблема розриву ван Дама — Вельтмана — Захарова (англ. vDVZ (van Dam-Veltman-Zakharov) discontinuity), тобто наявність скінченної різниці в передбаченнях межі такої теорії за маси гравітона, що прямує до нуля, і теорії з безмасовою частинкою із самого початку.

Проблеми масивного гравітона в лінійному наближенні

Загальну теорію відносності в лінеаризованій межі можна сформулювати як теорію безмасового поля спіну 2 на просторі Мінковського, описуваного симетричним тензором $h_{\mu \nu }$. Природним узагальненням такої теорії є введення в лагранжіан масового члена різного вигляду. Найчастіше його обирають у вигляді Паулі — Фірца $m^{2}(h_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }h)$, що, як можна показати, найприродніше, проте можливий і інший вибір (типу $m^{2}(h_{\mu \nu }-\alpha \eta _{\mu \nu }h),\ \alpha \neq 1$). При цьому рівняння руху для гравітаційного поля набувають вигляду

$-\square h_{\mu \nu }+h_{\mu ,\lambda \nu }^{\lambda }+h_{\nu ,\lambda \mu }^{\lambda }-\eta _{\mu \nu }h_{,\kappa \lambda }^{\kappa \lambda }-h_{,\mu \nu }+\eta _{\mu \nu }\square h+m^{2}(h_{\mu \nu }-\alpha \eta _{\mu \nu }h)={\frac {16\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu },$

де індекси піднімаються та опускаються метрикою Мінковського $\eta _{\mu \nu }$, $\square$ — Оператор д'Аламбера, $G$ — гравітаційна стала Ньютона, $T_{\mu \nu }$ — тензор енергії-імпульсу джерел поля. Дивергенція цих рівнянь у силу законів збереження має дорівнювати 0, що дає $h_{\mu \nu }^{,\nu }=\alpha h_{,\mu }$ і після підставлення в рівняння та взяття сліду

$2(\alpha -1)\square h+m^{2}(1-4\alpha )h={\frac {16\pi G}{c^{4}}}T.$

Тому є дві різні можливості: або $\alpha =1$ — тоді слід тензора $h=-{\frac {16\pi G}{3c^{4}m^{2}}}T$ не є динамічною змінною теорії, а цілком визначається слідом джерела $T$, або $\alpha \neq 1$ і $h$ — динамічна змінна. Перший випадок дає обґрунтування масовому члену Паулі — Фірца, але призводить до такого виразу для гравітаційного поля:

${\frac {c^{4}}{16\pi G}}h_{\mu \nu }={\frac {1}{-\square +m^{2}}}\left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{3}}\eta _{\mu \nu }T\right)+{\frac {1}{3m^{2}}}{\frac {1}{-\square +m^{2}}}T_{,\mu \nu },$

де введено коротке позначення ${\frac {1}{-\square +m^{2}}}$ для інтегрального оператора, оберненого до диференціального $(-\square +m^{2})$, на відміну від

${\frac {c^{4}}{16\pi G}}h_{\mu \nu }={\frac {1}{-\square }}\left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }T\right)$

у лінеаризованій загальній теорії відносності. Таким чином, отримана теорія має дві проблеми при $m\to 0$, що виражаються в неправильній величині гравітаційних ефектів від першого доданку (1/3 замість 1/2), а також у прямуванні другого з них до нескінченності. Перший відзначений ефект і називають розривом ван Дама — Вельтмана — Захарова за іменами першовідкривачів. Зокрема, через це відхилення світла в теорії $m\to 0$ становить 3/4 величини в загальній теорії відносності, а прецесія перигелію — 2/3.

Другий підхід призводить до появи нового динамічного ступеня вільності, який зводить передбачення до потрібного рівня, оскільки загальний розв'язок має вигляд

${\frac {c^{4}}{16\pi G}}h_{\mu \nu }={\frac {1}{-\square +m^{2}}}\left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{3}}\eta _{\mu \nu }T\right)-{\frac {1}{-\square +m_{0}^{2}}}{\frac {1}{6}}\eta _{\mu \nu }T+{\frac {2\alpha -1}{2(1-\alpha )}}{\frac {1}{-\square +m^{2}}}{\frac {1}{-\square +m_{0}^{2}}}T_{,\mu \nu },$

де $m_{0}^{2}=m^{2}{\frac {4\alpha -1}{2(1-\alpha )}}$, і при $m\to 0$ перший та другий члени дають 1/3 + 1/6 = 1/2. Але при взаємодії з матерією другий член бере участь зі знаком, протилежним першому, так що він є скалярним полем від'ємної енергії (англ. ghostlike field), що викликає нестабільність теорії відносно перекачування в нього енергії.

Загалом корінь проблеми лежить у розкладанні масивного поля спіну 2 за спіральностями та їх взаємодією з речовиною. За прямування маси поля до нуля компоненти спіральності $\pm 1$ відокремлюються від інших, утворюючи незалежне вільне безмасове поле Максвелла, але компоненти спіральності $\pm 2$ і $0$ залишаються зачепленими і взаємодіють із речовиною спільно. Ситуацію можна вирішити, додавши ще одне скалярне поле, але для відновлення коректної границі воно повинне мати від'ємну енергію, що знову ж неприпустимо у стабільній теорії поля.

Докладніший розбір, що не обмежується лінеаризованим наближенням, проведено у працях Девіда Булвера (David G. Boulware) і Стенлі Десера та Тібо Дамура, Яна Когана і Антоніоса Папазоглу (Antonios Papazoglou).