Осцилятор Ван дер Поля

Коливання при $\mu =5$.

Осцилятор Ван дер Поля є одним з класичних прикладів неконсервативного коливання в динамічних системах з нелінійним згасанням. Система задовольняє звичайне диференціальне рівняння другого порядку

${d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=0$,

де $x$ (насправді функція часу $x(t)$) означає позицію точки в одновимірному фазовому просторі, $\mu$ скалярний параметр який контролює нелінійність та згасання. Коли $\mu =0$, тобто коли згасання відсутнє, рівняння спрощується до (консервативного) гармонічного осцилятора

${d^{2}x \over dt^{2}}+x=0.$

Двовимірна форма

Фазові траєкторії двовимірної системи при різних значеннях параметра $\mu$.

Коли $\mu >0$, нульовий розв'язок системи нестійкий. За допомогою теореми Ліенара можна довести що система має стійкий граничний цикл. Нехай $y={\dot {x}}$, тоді систему можна записати у двовимірному просторі як

${\dot {x}}=y$

${\dot {y}}=\mu (1-x^{2})y-x,$

або, якщо взяти $y=x-x^{3}/3-{\dot {x}}/\mu$,

${\dot {x}}=\mu \left(x-{\frac {1}{3}}x^{3}-y\right)$

${\dot {y}}={\frac {1}{\mu }}x.$

Вимушені коливання

Детермінований хаос в системі Ван дер Поля з вимушеним коливанням. Параметр нелінійного загасання $\mu =8.53$, амплітуда $A=1.2$, кутова швидкість $\omega =2\pi /10$.

Осцилятор Ван дер Поля з вимушеними коливаннями під впливом зовнішньої періодичної сили можна записати наступним чином

${d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x-A\sin(\omega t)=0,$

де $A$ задає амплітуду, а $\omega$ кутову швидкість.

Історія

Осцилятор був вперше досліджений голландським фізиком Балтазаром Ван дер Полом та був названий на його честь.

Рівняння Ліенара, назване на честь французького інженера Альфред-Марі Ліенара, є узагальненням системи Ван дер Поля.