Спектр кільця

Спектр кільця — множина простих власних ідеалів $\mathfrak p$ кільця R. Зазвичай на спектрі задається топологія Зариського. Простір $\mathrm{Spec}(R)$ несе пучок локальних кілець $\mathcal{O} (\mathrm{Spec}(R))$ , званий структурним пучком. Для точки $\mathfrak p \in \mathrm{Spec}(R)$ шар пучка $\mathcal{O} (\mathrm{Spec}(R))$ над $\mathfrak p$ — це локалізація $R_\mathfrak p$ кільця R щодо $\mathfrak p$.

Будь-якому гомоморфізму кілець $\varphi:A\rightarrow B$, що переводить одиницю в одиницю, відповідає неперервне відображення $\varphi^* :\mathfrak p \mapsto \varphi^{-1}(\mathfrak p)$ . Якщо N — нільрадикал кільця А, то природне відображення $\mathrm{Spec} (R/N) \mapsto \mathrm{Spec}(R)$ є гомеоморфізмом топологічних просторів.

Для ненільпотентного елементу $f \in R$ нехай $D(f)= \mathrm{Spec}(R) \setminus V(f)$, де $V(f) = \{ \mathfrak p \in \mathrm{Spec}(R) | f \in \mathfrak p \}$. Тоді простори D(f) і $\mathrm{Spec}(R)_{(f)}$, де $(R)_{(f)}$ — локалізація R відносно f, є ізоморфними. Множини D(f) називаються головними відкритими множинами. Вони утворюють базис топологічного простору $\mathrm{Spec}(R)$ . Точка $\mathfrak p \in \mathrm{Spec}(R)$ замкнута тоді і тільки тоді, коли $\mathfrak p$ — максимальний ідеал кільця R.

Зіставляючи точці $\mathfrak p$ її замикання $\overline{\mathfrak p}$ в $\mathrm{Spec}(R)\,$, одержується взаємно однозначна відповідність між точками простору $\mathrm{Spec}(R)\,$ і множиною замкнутих незвідних підмножин в $\mathrm{Spec}(R)\,$. Простір $\mathrm{Spec}(R)\,$ є квазікомпактним, але, як правило, не є гаусдорфовим. Розмірністю простору $\mathrm{Spec}(R)\,$ називається найбільше n, для якого існує послідовність відмінних замкнутих незвідних множин $Z_0 \subset \ldots \subset Z_n \subseteq \mathrm{Spec}(R)$.

Багато властивостей кільця R можна охарактеризувати в термінах топологічного простору $\mathrm{Spec}(R)\,$. Наприклад кільце R нетерове тоді і тільки тоді, коли $\mathrm{Spec}(R)\,$ — нетеровий простір; простір $\mathrm{Spec}(R)\,$ незвідний тоді і тільки тоді, коли кільце R/N є областю цілісності; розмірність $\mathrm{Spec}(R)$ збігається з розмірністю Круля кільця R і т.д.

Іноді розглядають максимальний спектр $\mathrm{Specm}(R)\,$ — підпростір простору $\mathrm{Spec}(R)\,$, що складається із замкнутих точок.

Див. також

• Топологія Зариського

Література

• Атья М., Макдональд И. (1972). Введение в коммутативную алгебру. Москва: Мир. с. 160. 
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.
• Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. — М.: Наука, 1972.