Ротор (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Розділи в Математичному аналізі
Фундаментальна теорема
Границя функції
Неперервність
Теорема Лагранжа

Ро́тор дво- чи тривимірного векторного поля в математиці — вектор, координати якого визначаються визначником третього порядку, перший рядок якого — орти координатних осей, другий — оператори частинного диференціювання в такому ж порядку, як і орти осей, третій — координати функції, яка визначає векторне поле.

 \text{rot} \; \mathbf{A} = \left| \begin{matrix}  \mathbf{i} & \mathbf{j}  & \mathbf{k} \\ 
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 
A_x & A_y & A_z
\end{matrix}  \right| = \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \right) \mathbf{i} + 
\left( \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \right) \mathbf{j} + 
\left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right) \mathbf{k}

З практичної точки зору ротор векторного поля характеризує обертальну здатність поля в даній точці: вона найбільша саме в площині, перпендикулярній ротору.

Поле, для якого ротор в кожній точці є нульовим вектором, називають потенціальним.

Позначення[ред.ред. код]

\operatorname{rot} (використовується в російськомовній літературі, також в багатьох країнах Європи) або
\operatorname{curl} (в англомовній),
а також — як векторний добуток диференціального оператора набла на векторне поле:
\mathbf{\nabla} \times.

Приклад[ред.ред. код]

Обертання навколо осі z зі сталою кутовою швидкістю w (траєкторії є колами з центром на z-осі): \mathbf{v} = \langle-wy, wx, 0\rangle.

Тоді \nabla \times \mathbf{v} = \dots = 0\mathbf{\hat i} + 0\mathbf{\hat j} + (w+w)\mathbf{\hat k} = 2w\mathbf{\hat k}. Отже, довжина ротора дорівнює подвоєній кутовій швидкості і напрямок збігається з віссю обертання.

Фізичне значення[ред.ред. код]

Розглянемо ротор у xy-площині. Ми інтерпретуємо ротор як подвоєну кутову швидкість маленького гребного колеса у цій точці.

Функцію ({\rm curl}\,\mathbf F) можна розглядати як вимір тенденції \mathbf F створювати обертання. Інтерпретуючи \mathbf F як силове поле або поле швидкостей, \mathbf F примушуватиме об'єкт розташований у точці P_0 обертатись із кутовою швидкістю пропорційною до ({\rm curl}\,\mathbf F)_0.

Щоб бачити це використаємо гребне колесо з радіусом a і центром у (x_0, y_0), і вертикальною віссю. Нас цікавить як швидко обертатиметься колесо. Якби колесо мало лише одну лопать, швидкість цієї лопаті було б \mathbf F \cdot \mathbf t, тобто дорівнювала б складовій сили перпендикулярній до лопаті (спрямованій уздовж дотичної).

Оскільки \mathbf F \cdot \mathbf t, не однакова уздовж усього кола, якщо б колесо мало лише одну лопать, то його обертання було б нерівномірним. Але якщо лопатей багато, тоді колесо крутилось би із швидкістю, що дорівнювала б середньому значенню \mathbf F \cdot \mathbf t, уздовж кола. Це значення можна знайти шляхом інтегрування і ділення на довжину кола:

швидкість лопаті  = \frac{1}{2\pi a}\oint_C \mathbf F \cdot \mathbf t ds = \frac{1}{2\pi a}\oint_C \mathbf F \cdot d\mathbf r
 = \frac{1}{2\pi a} \int\int_R ({\rm curl}\,\mathbf F)_0 dx dy, згідно з теоремою Гріна
\approx \frac{1}{2\pi a} ({\rm curl}\,\mathbf F)_0 \pi a^2,

де ({\rm curl}\,\mathbf F)_0 це значення функції у (x_0, y_0). Обгрунтуванням останнього наближення є те, що якщо коло утворене гребним колесом маленький, тоді ({\rm curl}\,\mathbf F) по всьому регіону має значення приблизно ({\rm curl}\,\mathbf F)_0, отже множачи цю сталу на площу круга ми отримуємо значення подвійного інтеграла. З цього ми виводимо дотичну швидкість гребного колеса:

\frac{a}{2}({\rm curl}\,\mathbf F)_0.

Ми можемо позбутися a використавши кутову швидкість:

\omega_0 \approx\frac{1}{2}({\rm curl}\,\mathbf F)_0.

Джерела[ред.ред. код]