Ротор (математика)

Вибрані статті із
Числення
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Лагранжа Теорема Ролля Теорема про обернену функцію
Диференціальне Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Нотація Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Частка Степінь Складена функція Обернена функція Формула Фаа ді Бруно
Інтегральне Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний Рімана Лебега Стілтьєса Даніелла) Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Рядів Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Ліміт сумування д'Аламбера Радикальна Інтегральна Теорема Лейбніца Діріхле Абеля
Векторів Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Градієнтна Гріна Остроградського Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізоване Дробове Стохастичне Варіаційне
інше Історія Математичний аналіз Нестандартний аналіз

Ро́тор дво- чи тривимірного векторного поля в математиці — вектор, координати якого визначаються визначником третього порядку, перший рядок якого — орти координатних осей, другий — оператори частинного диференціювання в такому ж порядку, як і орти осей, третій — координати функції, яка визначає векторне поле.

${\text{rot}}\;\mathbf {A} =\left|{\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{matrix}}\right|=\left({\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k}$

З практичної точки зору ротор векторного поля характеризує обертальну здатність поля в даній точці: вона найбільша саме в площині, перпендикулярній ротору.

Поле, для якого ротор в кожній точці є нульовим вектором, називають потенціальним.

Позначення

$\operatorname {rot}$ (використовується в російськомовній літературі, також в багатьох країнах Європи) або

$\operatorname {curl}$ (в англомовній),

а також — як векторний добуток диференціального оператора набла на векторне поле:

$\mathbf {\nabla } \times .$

Приклад

Обертання навколо осі $z$ зі сталою кутовою швидкістю $w$ (траєкторії є колами з центром на $z-$осі): $\mathbf {v} =\langle -wy,wx,0\rangle .$

Тоді $\nabla \times \mathbf {v} =\dots =0\mathbf {\hat {i}} +0\mathbf {\hat {j}} +(w+w)\mathbf {\hat {k}} =2w\mathbf {\hat {k}} .$ Отже, довжина ротора дорівнює подвоєній кутовій швидкості і напрямок збігається з віссю обертання.

Фізичне значення

Розглянемо ротор у xy-площині. Ми інтерпретуємо ротор як подвоєну кутову швидкість маленького гребного колеса у цій точці.

Функцію $({\rm {curl}}\,\mathbf {F} )$ можна розглядати як вимір тенденції $\mathbf {F}$ створювати обертання. Інтерпретуючи $\mathbf {F}$ як силове поле або поле швидкостей, $\mathbf {F}$ примушуватиме об'єкт розташований у точці $P_{0}$ обертатись із кутовою швидкістю пропорційною до $({\rm {curl}}\,\mathbf {F} )_{0}.$

Щоб бачити це використаємо гребне колесо з радіусом $a$ і центром у $(x_{0},y_{0}),$ і вертикальною віссю. Нас цікавить як швидко обертатиметься колесо. Якби колесо мало лише одну лопать, швидкість цієї лопаті було б $\mathbf {F} \cdot \mathbf {t} ,$ тобто дорівнювала б складовій сили перпендикулярній до лопаті (спрямованій уздовж дотичної).

Оскільки $\mathbf {F} \cdot \mathbf {t} ,$ не однакова уздовж усього кола, якщо б колесо мало лише одну лопать, то його обертання було б нерівномірним. Але якщо лопатей багато, тоді колесо крутилось би із швидкістю, що дорівнювала б середньому значенню $\mathbf {F} \cdot \mathbf {t} ,$ уздовж кола. Це значення можна знайти шляхом інтегрування і ділення на довжину кола:

швидкість лопаті	$={\frac {1}{2\pi a}}\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {t} ds={\frac {1}{2\pi a}}\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$
	$={\frac {1}{2\pi a}}\int \int _{R}({\rm {curl}}\,\mathbf {F} )_{0}dxdy,$ згідно з теоремою Гріна
	$\approx {\frac {1}{2\pi a}}({\rm {curl}}\,\mathbf {F} )_{0}\pi a^{2},$

де $({\rm {curl}}\,\mathbf {F} )_{0}$ це значення функції у $(x_{0},y_{0}).$ Обґрунтуванням останнього наближення є те, що якщо коло утворене гребним колесом маленький, тоді $({\rm {curl}}\,\mathbf {F} )$ по всьому регіону має значення приблизно $({\rm {curl}}\,\mathbf {F} )_{0},$ отже множачи цю сталу на площу круга ми отримуємо значення подвійного інтеграла. З цього ми виводимо дотичну швидкість гребного колеса:

${\frac {a}{2}}({\rm {curl}}\,\mathbf {F} )_{0}.$

Ми можемо позбутися $a$ використавши кутову швидкість:

$\omega _{0}\approx {\frac {1}{2}}({\rm {curl}}\,\mathbf {F} )_{0}.$

Джерела

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1966. — Т. 3. — 656 с.(рос.)
• Мала гірнича енциклопедія : у 3 т. / за ред. В. С. Білецького. — Д. : Донбас, 2007. — Т. 2 : Л — Р. — 670 с. — ISBN 57740-0828-2.