Ротор (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Розділи в Математичному аналізі
Фундаментальна теорема
Границя функції
Неперервність
Теорема Лагранжа

Ро́тор дво- чи тривимірного векторного поля в математиці — вектор, координати якого визначаються визначником третього порядку, перший рядок якого — орти координатних осей, другий — оператори частинного диференціювання в такому ж порядку, як і орти осей, третій — координати функції, яка визначає векторне поле.

З практичної точки зору ротор векторного поля характеризує обертальну здатність поля в даній точці: вона найбільша саме в площині, перпендикулярній ротору.

Поле, для якого ротор в кожній точці є нульовим вектором, називають потенціальним.

Позначення[ред.ред. код]

(використовується в російськомовній літературі, також в багатьох країнах Європи) або
(в англомовній),
а також — як векторний добуток диференціального оператора набла на векторне поле:

Приклад[ред.ред. код]

Обертання навколо осі зі сталою кутовою швидкістю (траєкторії є колами з центром на осі):

Тоді Отже, довжина ротора дорівнює подвоєній кутовій швидкості і напрямок збігається з віссю обертання.

Фізичне значення[ред.ред. код]

Розглянемо ротор у xy-площині. Ми інтерпретуємо ротор як подвоєну кутову швидкість маленького гребного колеса у цій точці.

Функцію можна розглядати як вимір тенденції створювати обертання. Інтерпретуючи як силове поле або поле швидкостей, примушуватиме об'єкт розташований у точці обертатись із кутовою швидкістю пропорційною до

Щоб бачити це використаємо гребне колесо з радіусом і центром у і вертикальною віссю. Нас цікавить як швидко обертатиметься колесо. Якби колесо мало лише одну лопать, швидкість цієї лопаті було б тобто дорівнювала б складовій сили перпендикулярній до лопаті (спрямованій уздовж дотичної).

Оскільки не однакова уздовж усього кола, якщо б колесо мало лише одну лопать, то його обертання було б нерівномірним. Але якщо лопатей багато, тоді колесо крутилось би із швидкістю, що дорівнювала б середньому значенню уздовж кола. Це значення можна знайти шляхом інтегрування і ділення на довжину кола:

швидкість лопаті
згідно з теоремою Гріна

де це значення функції у Обґрунтуванням останнього наближення є те, що якщо коло утворене гребним колесом маленький, тоді по всьому регіону має значення приблизно отже множачи цю сталу на площу круга ми отримуємо значення подвійного інтеграла. З цього ми виводимо дотичну швидкість гребного колеса:

Ми можемо позбутися використавши кутову швидкість:

Джерела[ред.ред. код]