Теорема Стокса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Розділи в Математичному аналізі
Фундаментальна теорема
Границя функції
Неперервність
Теорема Лагранжа

Теорема Стокса — одна із основних теорем диференціальної геометрії і математичного аналізу. Названа іменем ірландського фізика Джорджа Габріеля Стокса.

У термінах диференціальних форм теорема записується формулою

тобто інтеграл від зовнішнього диференціалу форми по області дорівнює інтегралу від цієї форми по границі області. У одновимірному випадку твердження збігається з формулою Ньютона—Лейбніца. Випадок інтегрування по двомірній області називається формулою Гріна, по тривимірній області — формулою Остроградського.

Формула[ред.ред. код]

Розглядається гладке (неперервно диференційовне) векторне поле в -мірному просторі, в якому задана система координат . Якщо в цьому просторі заданий контур (замкнута крива), на який натягнуто двомірний многовид , то формула Стокса пов'язує циркуляцію векторного поля при обході всього контура з інтегралом від ротора цього поля по двомірному многовиду:

або в координатах:

Окремо запишемо важливі часткові випадки цієї формули. Для випадку площини () ця формула називається формулою Гріна, її прийнято записувати в таких історичних позначеннях ( — є частиною площини, обмеженою контуром):

Для фізики, особливо електродинаміки і гідродинаміки, важливою є формула Стокса в тривимірному просторі. Розглядаємо декартову систему координат з правою орієнтацією. Ротор вектора можна позначати вектором з координатами:

Орієнтація елементарної площинки задається одиничним вектором нормалі . В цьому випадку формулу (1) можна записати через інтеграл по поверхні від скалярного добутку ротора і вектора нормалі:

Також, можна записати для тривимірного випадку формулу (1a) у виді суми трьох інтегралів по проекціям контура:

Доведення[ред.ред. код]

Спочатку обчислимо варіацію криволінійного інтеграла.

Розглянемо в -мірному просторі криву , (параметр пробігає значення від нуля до одиниці ), що сполучає дві точки (при ) і (при ). Будемо розглядати інтеграл вздовж кривої як функціонал , що залежить від кривої (крапкою зверху позначатимемо похідну по параметру ):

Тепер розглянемо близьку криву , яка сполучає ті самі точки і . Варіація кривої на кінцях перетворюється в нуль: . Варіація функціоналу дорівнює:

В першому інтегралі компоненти векторного поля залежать від координати точки кривої, яка варіюється (при незмінному параметрі ):

тому варіація векторного поля дорівнює:

В другому інтегралі проведемо інтегрування частинами, і врахуємо, що варіація кінців нашої кривої дорівнює нулю:

Зібравши ці два інтеграла до купи, одержуємо:

де введено позначення координат елементарної пощинки — антисиметричного тензора паралелограма між кривою і близькою до нею кривою:

Цей паралелограм побудований на векторах . Дві вершини цього паралелограма () лежать на оригінальній кривій. а дві інших () на близькій кривій.

Оскільки тензор антисиметричний, то формулу (7) ми можемо записати так:

Згадуючи означення коваріантної похідної (див. Диференціальна геометрія), і враховуючи симетрію символів Крістофеля по нижніх індексах, маємо:

Далі, в останньому інтегралі формули (8) доданки ненульові тільки тоді, коли індекси різні (), причому для кожного доданка в сумі існує рівний йому за величиною доданок з переставленими індексами. Отже ми можемо залишити в сумі тільки половину доданків з неповторними парами індексів, і одночасно прибрати множник .

Тепер, маючи формулу (9) для варіації криволінійного інтеграла, уже легко доводити теорему Стокса. На замкнутому контурі візьмемо дві точки (не обов'язково різні, як це буде слідувати з подальших міркувань) і . Контур розіб'ється на дві різні криві i , що сполучають ці точки. Виберемо напрям на обох кривих від точки до точки . Тоді символічно можна записати:

і контурний інтеграл можна записати у вигляді різниці.

Тепер розглянемо двомірний многовид , натягнутий на даний контур. Ми можемо розглядати плавну деформацію кривої на , почавши з кривої , і закінчуючи кривою (проміжні положення деформованої кривої нагадують густий пучок меридіанів, що сполучають Північний і Південний полюси на карті Східної чи Західної півкулі Землі). Різницю функціоналів у формулі (10) ми можемо записати у вигляді інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца:

Порівняння формул (10) і (11) завершує доведення теореми Стокса.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]