Теорема Стокса

Вибрані статті із
Числення
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Лагранжа Теорема Ролля Теорема про обернену функцію
Диференціальне Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Нотація Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Частка Степінь Складна функція Обернена функція Формула Фаа ді Бруно
Інтегральне Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний Рімана Лебега Стілтьєса Даніелла) Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Рядів Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Ліміт сумування д'Аламбера Радикальна Інтегральна Теорема Лейбніца Діріхле Абеля
Векторів Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Градієнтна Гріна Остроградського Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізоване Дробове Стохастичне Варіаційне
інше Історія Математичний аналіз Нестандартний аналіз

Теорема Стокса — одна із основних теорем диференціальної геометрії і математичного аналізу. Названа іменем ірландського фізика Джорджа Габріеля Стокса.

Узагальнена теорема

У термінах диференціальних форм теорема записується формулою

$\int _{\Omega }d\omega =\int _{\partial \Omega }\omega$

тобто інтеграл від зовнішнього диференціалу форми $\omega$ по області $\Omega$ дорівнює інтегралу від цієї форми по границі області. У одновимірному випадку твердження збігається з формулою Ньютона—Лейбніца. Випадок інтегрування по двомірній області називається формулою Гріна, по тривимірній області — формулою Остроградського.

Класична теорема

Розглядається гладке (неперервно диференційовне) векторне поле $\mathbf {a}$ в $n$-мірному просторі, в якому задана система координат $x^{1},x^{2},\dots x^{n}$. Якщо в цьому просторі заданий контур $L$ (замкнута крива), на який натягнуто двомірний многовид $S$, то формула Стокса пов'язує циркуляцію векторного поля при обході всього контуру з інтегралом від ротора цього поля по двомірному многовиду:

$(1)\qquad \oint _{L}\mathbf {a} \cdot d\mathbf {l} =\iint _{S}{\text{rot}}\;\mathbf {a} \;d\sigma$

або в координатах:

$(1a)\qquad \oint _{L}a_{i}dx^{i}=\iint _{S}\sum _{i<j}(\nabla _{i}a_{j}-\nabla _{j}a_{i})\;d\sigma ^{ij}$

Окремо запишемо важливі часткові випадки цієї формули. Для випадку площини ($n=2$) ця формула називається формулою Гріна, її прийнято записувати в таких історичних позначеннях ($S$ — є частиною площини, обмеженою контуром):

$(2)\qquad \oint _{L}Pdx+Qdy=\iint _{S}({\partial Q \over \partial x}-{\partial P \over \partial y})dxdy$

Для фізики, особливо електродинаміки і гідродинаміки, важливою є формула Стокса в тривимірному просторі. Розглядаємо декартову систему координат $Oxyz$ з правою орієнтацією. Ротор вектора $\mathbf {a} =\{a_{x},a_{y},a_{z}\}$ можна позначати вектором з координатами:

$({\text{rot}}\;\mathbf {a} )_{x}=(\mathbf {\nabla } \times \mathbf {a} )_{x}=\nabla _{z}a_{y}-\nabla _{y}a_{z}=\partial _{z}a_{y}-\partial _{y}a_{z}$

$({\text{rot}}\;\mathbf {a} )_{y}=\partial _{z}a_{x}-\partial _{x}a_{z}$

$({\text{rot}}\;\mathbf {a} )_{z}=\partial _{x}a_{y}-\partial _{y}a_{x}$

Орієнтація елементарної площинки задається одиничним вектором нормалі $\mathbf {n}$. В цьому випадку формулу (1) можна записати через інтеграл по поверхні від скалярного добутку ротора і вектора нормалі:

$(3)\qquad \oint _{L}\mathbf {a} \cdot d\mathbf {l} =\iint _{S}({\text{rot}}\;\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} )dS$

Також, можна записати для тривимірного випадку формулу (1a) у виді суми трьох інтегралів по проєкціям контуру:

$(4)\qquad \oint _{L}a_{x}dx+a_{y}dy+a_{z}dz=\iint (\partial _{x}a_{y}-\partial _{y}a_{x})dxdy+\iint (\partial _{y}a_{z}-\partial _{z}a_{y})dydz+\iint (\partial _{z}a_{x}-\partial _{x}a_{z})dxdz$

Доведення

Спочатку обчислимо варіацію криволінійного інтеграла.

Розглянемо в $n$-мірному просторі криву $x^{i}=x^{i}(t)$, (параметр $t$ пробігає значення від нуля до одиниці $t\in [0,1]$), що сполучає дві точки $P$ (при $t=0$) і $Q$ (при $t=1$). Будемо розглядати інтеграл вздовж кривої як функціонал $\Phi$, що залежить від кривої (крапкою зверху позначатимемо похідну по параметру $t$):

$(5)\qquad \Phi =\int _{P}^{Q}a_{i}dx^{i}=\int _{0}^{1}a_{i}{\dot {x}}^{i}dt$

Тепер розглянемо близьку криву ${\tilde {x}}^{i}=x^{i}+\delta x^{i}$, яка сполучає ті самі точки $P$ і $Q$. Варіація кривої $\delta x^{i}=\delta x_{i}(t)$ на кінцях перетворюється в нуль: $\delta x_{i}{\big |}_{t=0}=\delta x_{i}{\big |}_{t=1}=0$. Варіація функціоналу дорівнює:

$(6)\qquad \delta \Phi =\int _{0}^{1}\delta (a_{i}{\dot {x}}^{i})dt=\int _{0}^{1}\delta (a_{i}){\dot {x}}^{i}dt+\int _{0}^{1}a_{i}{d(\delta x_{i}) \over dt}dt$

В першому інтегралі компоненти векторного поля $a_{i}$ залежать від координати точки кривої, яка варіюється (при незмінному параметрі $t$):

$\ a_{i}=a_{i}(x^{1}(t),x^{2}(t),\dots x^{n}(t))$

тому варіація векторного поля дорівнює:

$\delta a_{i}={\partial a^{i} \over \partial x^{j}}\delta x^{j}$

В другому інтегралі проведемо інтегрування частинами, і врахуємо, що варіація кінців нашої кривої дорівнює нулю:

$\int _{0}^{1}a_{i}{d(\delta x_{i}) \over dt}dt=a_{i}\delta x^{i}{\bigg |}_{0}^{1}-\int _{0}^{1}{da^{i} \over dt}\delta x^{i}dt=-\int _{0}^{1}{\partial a^{i} \over \partial x^{j}}{\dot {x}}^{j}\delta x^{i}dt$

Зібравши ці два інтеграла до купи, одержуємо:

$(7)\qquad \delta \Phi =\int _{0}^{1}{\partial a^{i} \over \partial x^{j}}({\dot {x}}^{i}\delta x^{j}-{\dot {x}}^{j}\delta x^{i})dt=\int _{0}^{1}{\partial a^{i} \over \partial x^{j}}d\sigma ^{ij}$

де введено позначення координат елементарної пощинки — антисиметричного тензора паралелограма між кривою і близькою до нею кривою:

$d\sigma ^{ij}=({\dot {x}}^{i}\delta x^{j}-{\dot {x}}^{j}\delta x^{i})dt=dx^{i}\delta x^{j}-dx^{j}\delta x^{i}$

Цей паралелограм побудований на векторах $dx^{i},\;\delta x^{i}$. Дві вершини цього паралелограма ($x^{i}(t),\;x^{i}(t+dt)$) лежать на оригінальній кривій. а дві інших (${\tilde {x}}^{i}(t),\;{\tilde {x}}^{i}(t+dt)$) на близькій кривій.

Оскільки тензор $d\sigma ^{ij}$ антисиметричний, то формулу (7) ми можемо записати так:

$(8)\qquad \delta \Phi =\int _{0}^{1}{\partial a^{i} \over \partial x^{j}}d\sigma ^{ij}=-\int _{0}^{1}{\partial a^{j} \over \partial x^{i}}d\sigma ^{ij}={1 \over 2}\int _{0}^{1}({\partial a^{i} \over \partial x^{j}}-{\partial a^{j} \over \partial x^{i}})d\sigma ^{ij}$

Згадуючи означення коваріантної похідної (див. Диференціальна геометрія), і враховуючи симетрію символів Крістофеля по нижніх індексах, маємо:

${\partial a^{i} \over \partial x^{j}}-{\partial a^{j} \over \partial x^{i}}=(\partial _{j}a_{i}-\Gamma _{ji}^{k}a_{k})-(\partial _{i}a_{j}-\Gamma _{ij}^{k}a_{k})=\nabla _{j}a_{i}-\nabla _{i}a_{j}$

Далі, в останньому інтегралі формули (8) доданки ненульові тільки тоді, коли індекси різні ($i\neq j$), причому для кожного доданка в сумі існує рівний йому за величиною доданок з переставленими індексами. Отже ми можемо залишити в сумі тільки половину доданків з неповторними парами індексів, і одночасно прибрати множник $1 \over 2$.

$(9)\qquad \delta \Phi =\int _{0}^{1}\sum _{i<j}(\nabla _{j}a_{i}-\nabla _{i}a_{j})d\sigma ^{ij}$

Тепер, маючи формулу (9) для варіації криволінійного інтеграла, уже легко доводити теорему Стокса. На замкнутому контурі $L$ візьмемо дві точки (не обов'язково різні, як це буде слідувати з подальших міркувань) $P$ і $Q$. Контур розіб'ється на дві різні криві $L_{1}$ i $L_{2}$, що сполучають ці точки. Виберемо напрям на обох кривих від точки $P$ до точки $Q$. Тоді символічно можна записати:

$L=L_{1}-L_{2}$

і контурний інтеграл можна записати у вигляді різниці.

$(10)\qquad \oint _{L}a_{i}dx^{i}=\int _{L_{1}}a_{i}dx^{i}-\int _{L_{2}}a_{i}dx^{i}=\Phi (L_{1})-\Phi (L_{2})$

Тепер розглянемо двомірний многовид $S$, натягнутий на даний контур. Ми можемо розглядати плавну деформацію кривої на $S$, почавши з кривої $L_{2}$, і закінчуючи кривою $L_{1}$ (проміжні положення деформованої кривої нагадують густий пучок меридіанів, що сполучають Північний і Південний полюси на карті Східної чи Західної півкулі Землі). Різницю функціоналів у формулі (10) ми можемо записати у вигляді інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца:

$(11)\qquad \Phi (L_{1})-\Phi (L_{2})=\int _{L_{2}}^{L_{1}}\delta \Phi =\iint _{S}\sum _{i<j}(\nabla _{j}a_{i}-\nabla _{i}a_{j})d\sigma ^{ij}$

Порівняння формул (10) і (11) завершує доведення теореми Стокса.

Див. також

• Потенціальне векторне поле
• Теорема Остроградського-Гауса

Джерела

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1966. — Т. 3. — 656 с.(рос.)