Теорема Гаусса — Ванцеля

Теоре́ма Га́усса — Ва́нцеля стверджує, що правильний $n$-кутник можна побудувати за допомогою циркуля й лінійки тоді і тільки тоді, коли $n=2^{k}\cdot p_{1}\cdot \ldots \cdot p_{m}$, де $p_{i}\,\!$ — різні прості числа Ферма. Ця умова також еквівалентна тому, що значення функції Ейлера $\varphi (n)$ є степенем двійки.

Історія

Античним геометрам були відомі способи побудови правильних n-кутників для $n=2^{k},3\cdot 2^{k},3\cdot 5\cdot 2^{k}.$

1796 року німецький математик Карл Фрідріх Гаусс показав можливість побудови правильних n-кутників при $n=2^{k}\cdot p_{1}\cdot \ldots \cdot p_{m}$, де $p_{i}\,\!$ — різні прості числа Ферма. 1836 року французький математик П'єр Ванцель довів, що інших правильних многокутників, які можна побудувати циркулем та лінійкою, не існує.

Конкретні реалізації побудови досить трудомісткі.

• Побудова правильного 17-кутника була безпосередньо здійснена самим Гаусом, але вперше опублікована К. Ф. фон Пфейдерером 1802 року.
• Правильний 257-кутник побудував Ф. Ю. Рішело 1832 року.
• У бібліотеці Геттінгенського університету зберігається рукопис, який є підсумком 10-річної праці О. Гермеса, присвяченої методу побудови правильного 65537-кутника. З цього приводу англійський математик Джон Літлвуд пожартував:

  Один нав’язливий аспірант дістав свого керівника, і той сказав йому: — Ходіть-но і розробіть спосіб побудови правильного 65537-кутника! Аспірант пішов і повернувся через двадцять років із рішенням.