Розшарування реперів

У математиці, розшаруванням реперів називається головне розшарування F(E) асоційоване із деяким векторним розшаруванням E. Шаром над точкою x у F(E) є множина всіх впорядкованих базисів, або реперів векторного простору E_x. Загальна лінійна група натурально діє на F(E) заміною базисів. Із цією дією розшарування реперів є головним GL(k, R)-розшаруванням (де k є рангом E).

Для гладкого многовиду розшарування реперів розглядають в основному для дотичного розшарування. Воно також називається дотичним розшаруванням реперів.

Означення і побудова

Нехай E → X є дійсним векторним розшаруванням рангу k над топологічним простором X. Репером у точці x ∈ X називається впорядкований базис векторного простору E_x. Еквівалентно репер можна розглядати як лінійний ізоморфізм

$p:\mathbf {R} ^{k}\to E_{x}.$

Множина всіх реперів у точці x, позначається F_x. На ній задана натуральна дія загальної лінійної групи GL(k, R) невироджених k × k матриць: елемент групи g ∈ GL(k, R) діє на репер p через композицію відображень даючи в результаті репер

$p\circ g:\mathbf {R} ^{k}\to E_{x}.$

Із теорії систем лінійних рівнянь випливає, що дія GL(k, R) на F_x є вільною і транзитивною. Як топологічний простір, F_x є гомеоморфним до GL(k, R) однак на ньому не задається групова структура, оскільки немає однозначного "виділеного репера".

Для розшаруванням реперів для векторного розшарування E (позначається F(E) або F_GL(E)) базовим простором є X, а загальним простором — диз'юнктне об'єднання всіх F_x:

$\mathrm {F} (E)=\coprod _{x\in X}F_{x}.$

Кожна точка у F(E) є парою (x, p) де x є точкою у X, p — репером у x. Проєкція π : F(E) → X розшарування реперів відправляє точку (x, p) у точку x.

На F(E) можна задати дію групи GL(k, R) справа у межах шару як вище. Дія цією групи є вільною, а орбітами є шари розшарування.

На розшаруванні реперів F(E) можна ввести природну топологію і структуру локально тривіального розшарування визначені векторним розшаруванням E. Нехай (U_i, φ_i) будуть локальними тривіалізаціями для E. Тоді для кожної точки x ∈ U_i існує лінійний ізоморфізм φ_i,x : E_x → R^k. Звідси також одержується бієкція

$\psi _{i}:\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times \mathrm {GL} (k,\mathbf {R} )$

задана як

$\psi _{i}(x,p)=(x,\varphi _{i,x}\circ p).$

Із цими бієкціями на кожному π⁻¹(U_i) можна ввести топологію простору U_i × GL(k, R) (після чого $\psi _{i}$ стануть гомеоморфізмами). Топологія на F(E) є фінальною топологією коіндукованою відображеннями включення π⁻¹(U_i) → F(E).

При такій топології F(E) стає головним локально тривіальним розшаруванням над X із структурною групою GL(k, R) і локальними тривіалізаціями ({U_i}, {ψ_i}).

Усі побудови і означення можна також розглядати у категорії гладких многовидів: якщо E є гладким векторним розшаруванням над гладким многовидом M тоді на розшаруванні реперів E можна ввести структуру головного гладкого розшарування над M.

Асоційоване векторне розшарування

Векторне розшарування E і його розшарування реперів F(E) є асоційованими розшаруваннями. Одне розшарування повністю визначає інше. Розшарування реперів F(E) можна одержати із E як вище.

Для лінійного представлення ρ : GL(k, R) → GL(V,F) існує векторне розшарування

$\mathrm {F} (E)\times _{\rho }V$

асоційоване із F(E) яке задається як добуток F(E) × V за модулем відношення еквівалентності (pg, v) ~ (p, ρ(g)v) для всіх g у GL(k, R). Нехай класи еквівалентності позначаються як [p, v].

Векторне розшарування E є натурально ізоморфним розшаруванню F(E) ×_ρ R^k де ρ є фундаментальним представленням GL(k, R) на R^k. Ізоморфізм задається як

$[p,v]\mapsto p(v)$

де v є вектором у R^k і p : R^k → E_x є репером у точці x.

Будь-яке векторне розшарування асоційоване із E можна одержати у подібний спосіб. Наприклад, двоїсте розшарування до E задається як F(E) ×_ρ* (R^k)* де ρ* є двоїстим фундаментальним представленням.

Дотичні розшарування реперів

Для гладких многовидів M переважно розглядають розшарування реперів асоційоване із дотичним розшаруванням M. Таке розшарування реперів M часто позначається FM або GL(M) замість F(TM). Якщо многовид M є n-вимірним, то дотичне розшарування має ранг n, а розшарування реперів M є головним GL(n, R) розшаруванням над M.

Гладкі репери

Перетин розшарування реперів M називається гладким репером на M. Із загальних результатів для головних розшарувань випливає, що розшарування реперів є тривіальним над будь-якою відкритою множиною U у M для якої існує гладкий репер. Для такого гладкого репера s : U → FU, тривіалізація ψ : FU → U × GL(n, R) задається як

$\psi (p)=(x,s(x)^{-1}\circ p)$

де p є репером у точці x. Як наслідок для многовиду існують векторні поля, що утворюють базис дотичних просторів у всіх точках якщо і тільки якщо для розшарування реперів M існує глобальний перетин.

Оскільки дотичне розшарування M є тривіальним над координатними околами M то і розшарування реперів є над ними тривіальними. Для координатного околу U із координатами (x¹,…,xⁿ) координатні векторні поля

$\left({\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{n}}}\right)$

задають гладкий репер на U.

Тавтологічна форма

Розшарування реперів многовиду M є окремим випадком головних розшарувань і його геометрія є фундаментально пов'язана із геометрією M. Цей зв'язок можна описати за допомогою векторозначної 1-форми, яка називається тавтологічною 1-формою. Нехай x є точкою многовида M і p — репером у точці x, тобто

$p:\mathbf {R} ^{n}\to T_{x}M$

є лінійним ізоморфізмом Rⁿ і дотичного простору M у точці x. Тавтологічна форма на FM є Rⁿ-значною 1-формою θ заданою як

$\theta _{p}(\xi )=p^{-1}\mathrm {d} \pi (\xi )$

де ξ є дотичним вектором до FM у точці (x,p), відображення p⁻¹ : T_xM → Rⁿ є оберненим до відображення у означенні репера, а dπ є диференціалом проєкції π : FM → M. Дана форма є горизонтальною тобто її значення є нульовим на векторах дотичних до шарів π і також

$R_{g}^{*}\theta =g^{-1}\theta$

де R_g є відображення правої дії елемента g ∈ GL(n, R). Горизонтальні форми, що задовольняють цю рівність називаються базовими або тензорними формами на FM. Такі форми перебувають у бієктивній відповідності із TM-значними 1-формами на M і у бієктивній відповідності із гладкими відображеннями розшарувань TM → TM над M. У цій останній відповідності θ є відповідником тотожного відображення на TM.

Ортонормальне розшарування реперів

Якщо на векторному розшаруванні E задано ріманова метрика розшарування, то кожен шар E_x є не лише векторним простором, а на ньому заданий також скалярний добуток. Тоді можна розглядати множину всіх множина всіх ортонормальних реперів у E_x. Ортонормальним репером для E_x є впорядкований ортонормальний базис для E_x або, еквівалентно, лінійна ізометрія

$p:\mathbf {R} ^{k}\to E_{x}$

де на R^k задано стандартний скалярний добуток. Ортогональна група O(k) діє вільно і транзитивно на множині всіх ортонормальних реперів.

Загальним простором ортонормального розшарування реперів для розшарування E (позначається F_O(E)) є множина всіх ортонормальних реперів у кожній точці x базового простору X. Ортонормальне розшарування реперів рангу k для ріманового векторного розшарування E → X є головним O(k)-розшаруванням над X. Знову ж всі побудови можна розглядати також у категорії гладких многовидів.

Якщо векторне розшарування E є орієнтовним тоді можна також розглянути орієнтовне ортонормальне розшарування реперів для E, що позначається F_SO(E) і є головним SO(k)-розшаруванням всіх додатно орієнтованих ортонормальних реперів.

Якщо M є n-вимірним рімановим многовидом, то ортонормальне розшарування реперів M, позначається F_OM або O(M) і є за означенням ортонормальним розшаруванням реперів асоційоване із дотичним розшаруванням M (із відповідною рімановою метрикою). Якщо M є орієнтовним, то подібно дається означення орієнтовного ортонормального розшарування реперів F_SOM.

Для ріманового векторного розшарування E, ортонормальне розшарування реперів є головним O(k)-підрозшаруванням загального лінійного розшарування реперів. Іншими словами включення

$i:{\mathrm {F} }_{\mathrm {O} }(E)\to {\mathrm {F} }_{\mathrm {GL} }(E)$

є головним відображенням розшарування.

G-структури

Якщо на гладкому многовиді M задана деяка додаткова структура часто виникає потреба розглядати підрозшарування розшарування реперів M яке узгоджується із цією структурою. Наприклад, якщо M є ріманів многовид то природно виникає поняття ортонормального розшарування реперів M.

Загалом, якщо M є гладким n-многовидом і G є підгрупою Лі групи GL(n, R) то G-структурою на M називається головне G-розшарування F_G(M) над M із G-узгодженим відображенням розшарувань

${\mathrm {F} }_{G}(M)\to {\mathrm {F} }_{\mathrm {GL} }(M)$

над M.

Прикладами таких структур є:

• Ріманова метрика на M породжує O(n)-структуру на M.
• Для орієнтовного многовиду існує орієнтовне розшарування реперів яке є GL⁺(n, R)-структурою на M.
• Форма об'єму на M задає SL(n, R)-структуру на M.
• На 2n-вимірному симплектичному многовиді існує натуральна Sp(2n, R)-структура.
• На 2n-вимірному комплексному або майже комплексному многовиді існує натуральна GL(n, C)-структура.

У багатьох із цих випадків G-структура на M однозначно визначає відповідну структуру на M. Наприклад, SL(n, R)-структура на M визначає відповідну форму об'єму на M. Проте в деяких випадках, зокрема для симплектичних і комплексних многовидів, необхідні додаткові умови інтегровності. Sp(2n, R)-структура на M однозначно задає невироджену 2-форму на M але для того щоб M був симплектичним многовидом ця 2-форма має бути замкнутою.

Див. також

• Векторне розшарування
• Головне розшарування
• Диференційовний многовид
• Локально тривіальне розшарування
• Репер (математика)

Література

• Luis A. Cordero, C. T. J. Dodson, Manuel de León (1988), Differential Geometry of Frame Bundles, Mathematics and Its Applications, т. 47, Springer Netherlands, ISBN 9789401070621
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, т. Vol. 1 (вид. New), Wiley Interscience, ISBN 0-471-15733-3
• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Natural operators in differential geometry (PDF), Springer-Verlag, архів оригіналу (PDF) за 30 березня 2017, процитовано 2 серпня 2008
• Sternberg, S. (1983), Lectures on Differential Geometry (вид. (2nd ed.)), New York: Chelsea Publishing Co., ISBN 0-8218-1385-4