Теорема Каратеодорі про відповідність границь

Теорема Каратеодорі — твердження у комплексному аналізі, що у певному сенсі доповнює теорему Рімана про відображення. Доведена у 1913 році грецьким математиком Костантином Каратеодорі, на честь якого вона названа.

Твердження теореми

Нехай f відображає відкритий одиничний круг D конформно на обмежену область U у C (тобто відображення є голоморфним і ін'єктивним). Якщо границя ∂U області U є простою жордановою кривою, то для f існує неперервне продовження на замкнутий одиничний круг і це продовження буде гомеоморфізмом.

Доведення

Нехай ∂U є жорданова крива. Спершу доведемо, що f неперервно продовжується на одиничний круг. Це продовження існує якщо і тільки якщо f є рівномірно неперервною на D: якщо продовження існує то воно є неперервним на замкнутому крузі, що є компактною множиною і тому рівномірно неперервним. Навпаки якщо f є рівномірно неперервною, то неважко помітити, що вона має границі на одиничному колі і на замкнутому крузі виконуються ті ж нерівності рівномірної неперервності.

Припустимо, що f не є рівномірно неперервною. Тоді існує число ε > 0, точка ζ на одиничному колі і послідовності z_n, w_n що прямують до ζ але |f(z_n) − f(w_n)| ≥ 2ε для всіх n.

Для 0 < r < 1, нехай γ_r позначає дугу кола | z − ζ | = r, що належить D. Тоді f ∘ γ_r є жордановою кривою. Її довжину можна оцінити за допомогою нерівності Коші — Буняковського:

$\displaystyle {\ell (f\circ \gamma _{r})=\int _{\gamma _{r}}|f^{\prime }(z)|\,|dz|\leq \left(\int _{\gamma _{r}}\,|dz|\right)^{1/2}\cdot \left(\int _{\gamma _{r}}|f^{\prime }(z)|^{2}\,|dz|\right)^{1/2}\leq (\pi r)^{1/2}\cdot \left(\int _{\{\theta :|\zeta +re^{i\theta }|<1\}}|f^{\prime }(\zeta +re^{i\theta })|^{2}\,r\,d\theta \right)^{1/2}.}$

Звідси можна одержати обмеження:

$\displaystyle {\int _{0}^{1}\ell (f\circ \gamma _{r})^{2}\,{dr \over r}\leq \pi \int _{0}^{1}\int _{\{\theta :|\zeta +re^{i\theta }|<1\}}|f^{\prime }(\zeta +re^{i\theta })|^{2}\,r\,d\theta dr<\pi \int _{|z|<1}|f^{\prime }(z)|^{2}\,dx\,dy=\pi \cdot {\rm {Area}}\,f(D)<\infty .}$

Із скінченності інтеграла у лівій частині випливає існування послідовності r_n спадної до 0 для якої $\ell (f\circ \gamma _{r_{n}})$ прямує до 0. Але довжина кривої g(t) для t із проміжку (a, b) є рівною

$\displaystyle {\ell (g)=\sup _{a<t_{1}<t_{2}<\cdots <t_{k}<b}\sum _{i=1}^{k-1}|g(t_{i+1})-g(t_{i})|.}$

Із скінченності $\ell (f\circ \gamma _{r_{n}})$ випливає, що крива має дві граничні точки a_n, b_n на двох кінцях і |a_n – b_n| ≤ $\ell (f\circ \gamma _{r_{n}})$, тож ця відстань, як і діаметр кривої, прямують до 0. Ці дві граничні точки належать ∂U, оскільки f є гомеоморфізмом між D і U і тому послідовність, що збігається у U є образом послідовності, що збігається у D. Згідно припущення між колом ∂D і ∂U існує гомеоморфізм β. Оскільки β⁻¹ є рівномірно неперервним, відстань між двома точками ξ_n і η_n, що є образами a_n і b_n із ∂U при відображенні β⁻¹ прямує до 0. Тож зрештою можна визначити меншу дугу кола ∂D між точками ξ_n і η_n. Нехай τ_n позначає образ цієї дуги при відображенні β. Із рівномірної неперервності β випливає, що діаметр множини τ_n у ∂U прямує до 0. Разом τ_n і f ∘ γ_rn утворюють замкнуту жорданову криву. Множина її внутрішніх точок U_n міститься у U згідно властивостей жорданових кривих для ∂U і ∂U_n: справді U є внутрішньою областю для ∂U оскільки вона є обмеженою, зв'язаною і є відкритою і замкнутою у доповненні до ∂U; отже зовнішня область для ∂U є необмеженою, зв'язаною і не перетинається із ∂U_n, тому її замикання міститься у замиканні зовнішньої області для ∂U_n; після переходу до доповнень одержується необхідне включення. Діаметр ∂U_n прямує до 0 оскільки діаметри множин τ_n і f ∘ γ_rn прямують до 0. Тому і діаметр множини U_n прямує до 0. (Оскільки ${\bar {U}}_{n}\times {\bar {U}}_{n}$ є компактною множиною, то ${\bar {U}}_{n}$ містить дві точки u і v відстань між якими є максимальною. Легко бачити, що u і v належать ∂U і діаметри множин U і ∂U є рівними $|u-v|$.)

Якщо V_n позначає перетин одиничного круга D і круга |z − ζ| < r_n, то для всіх достатньо великих n справедливою є рівність f(V_n) = U_n. Справді, дуга γ_rn ділить D на V_n і доповнюючу область $V_{n}'$, отже оскільки f є конформним гомеоморфізмом то крива f ∘ γ_rn ділить U на $f(V_{n})$ і доповнюючу область $f(V_{n}')$. U_n є компонентою зв'язності U \ f ∘ γ_rn, оскільки вона є зв'язаною і є відкритою і замкнутою у цій множині. Тому $U_{n}$ є рівною або $f(V_{n})$ або $f(V_{n}')$. Діаметр множини $f(V_{n}')$ не зменшується із зростанням n, оскільки із $n<n'$ випливає $V_{n}'\subset V_{n'}'$. Оскільки діаметр множини U_n прямує до 0 при зростанні n до безмежності, він зрештою стає меншим, ніж діаметр множини $f(V_{n}')$ і тоді f(V_n) = U_n.

Отож діаметр множини f(V_n) прямує до 0. З іншого боку, розглядаючи при необхідності підпослідовності послідовностей (z_n) і (w_n),можна вважати, що z_n і w_n належать V_n. Але це приводить до суперечності адже |f(z_n) − f(w_n)| ≥ ε. Тому f є рівномірно неперервною на U.

Отож f неперервно продовжується на замкнутий круг. Оскільки f(D) = U, із компактності замкнутого круга випливає, що його образом при відображенні f є замикання U і відповідно образом кола ∂D є жорданова крива ∂U. Якщо f не є ін'єктивним, то існують точки u, v на ∂D для яких u ≠ v і f(u) = f(v). Нехай X і Y є радіусами із 0 до точок u і v. Тоді f(X ∪ Y) є замкнутою жордановою кривою. Подібно як і вище доводиться, що внутрішня область для V міститься у U і є компонентою зв'язності для U \ f(X ∪ Y). З іншого боку D \ (X ∪ Y) є диз'юнктним об'єднанням двох відкритих секторів W₁ і W₂. Тому для одного з них, наприклад для W₁ виконується рівність f(W₁) = V. Нехай Z позначає частину границі ∂W₁ на одиничному колі. Z є замкнутою дугою і f(Z) є підмножиною ∂U і замикання V. Але їх перетин є одною точкою і тому f є константою на Z.

Але у цьому випадку f має бути константою на всьому одиничному крузі, що не є можливим. Справді нехай f є константою на Z і нехай довжина дуги Z є рівною $2\pi a$, де $0<a<1.$ Розглядаючи функцію f - z₀ якщо потрібно, можна вважати, що f = 0. Якщо $n$ є цілим числом для якого ${\textstyle {1 \over n}<a}$, то для будь якого комплексного числа $z,\ |z|=1$, числа $e^{2\pi ij \over n}z$ для $j\in 0,\ldots ,n-1$ розташовані рівномірно на одиничному колі і довжини дуг між ними є рівними ${\textstyle {2\pi \over n}<2\pi a,}$ тож хоча б одне із цих чисел належить дузі Z.

Якщо тепер визначити функцію ${\textstyle g(z)=\prod _{j=0}^{n-1}f\left(e^{2\pi ij \over n}z\right)}$, то із попереднього $|z|=1$ один із аргументів функцій у добутку належить Z і тому один із множників і весь добуток є рівним нулю, тобто ${\textstyle g(z)=0}$ для $|z|=1.$ Оскільки функція ${\textstyle g}$ є голоморфною у відкритому одиничному крузі, то з інтегральної формули Коші випливає, що для будь-якого $w\in D$ і будь-якого числа $|w|<r<1:$

$g(w)={1 \over 2\pi i}\int _{|z|=r}{g(z) \over z-w}\,dz$

Але функція ${\textstyle g}$ є неперервною і, відповідно, рівномірно неперервною на замкнутому крузі і тому для довільного $\varepsilon >0$ для $r$ достатньо близьких до одиниці ${\textstyle g(z)<\varepsilon }$ для $|z|=r.$ Для таких $r$ справедливим є обмеження ${\textstyle \left|{g(z) \over z-w}\right|\leqslant {\varepsilon \over r-|w|}}$ і тому також ${\textstyle |g(w)|\leqslant {\varepsilon \over r-|w|}.}$ Із довільності $\varepsilon$ випливає, що ${\textstyle |g(w)|}$ є як завгодно малим і тому ${\textstyle g(w)=0}$ для всіх $w\in D$. Але якщо f є ненульовою голоморфною у відкритому одиничному кузі функцією то її нулі є ізольованими, а тому у будь-якому замкнутому крузі з центром у точці 0 і радіусом меншим 1, кількість нулів є скінченною. Це ж тоді є справедливим і для всіх ${\textstyle f\left(e^{2\pi ij \over n}z\right)}$ і також їх добутку. Але їх добуток є функцією ${\textstyle g(z),}$ яка, як щойно доведено є всюди рівною 0. Ця суперечність доводить, що і ${\textstyle f(z)}$ є всюди рівною 0.

Тому f є ін'єктивним, бієктивним неперервним відображенням із замкнутого одиничного круга у замикання області U. Оскільки одиничний круг є компактним, а U є гаусдорфовим, то із загальної топологічної теореми випливає, що f також є гомеоморфізмом.

Див. також

• Однолиста функція
• Теорема Рімана про відображення

Література

• Carathéodory, C. (1913a), Zur Ränderzuordnung bei konformer Abbildung, Göttingen Nachrichten: 509—518
• Carathéodory, C. (1913b), Über die gegenseitige Beziehung der Ränder bei der konformen Abbildung des Inneren einer Jordanschen Kurve auf einen Kreis, Mathematische Annalen, Springer Berlin / Heidelberg, 73 (2): 305—320, doi:10.1007/BF01456720, ISSN 0025-5831, JFM 44.0757.01, S2CID 117117051
• Carathéodory, C. (1954), Theory of functions of a complex variable, Vol. 2, Chelsea
• Carathéodory, C. (1998), Conformal representation (reprint of the 1952 second edition), Dover, ISBN 0-486-40028-X
• Garnett, John B.; Marshall, Donald E. (2005), Harmonic measure, New Mathematical Monographs, т. 2, Cambridge University Press, ISBN 0-521-47018-8
• Krantz, Steven G. (2006), Geometric function theory: explorations in complex analysis, Birkhäuser, ISBN 0-8176-4339-7
• Pommerenke, C. (1975), Univalent functions, with a chapter on quadratic differentials by Gerd Jensen, Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher, т. 15, Vandenhoeck & Ruprecht