Субгармонічна функція

В математиці субгармонічними і супергармонічними функціями називають важливі класи функцій багатьох дійсних змінних, що є узагальненнями гармонічних функцій і мають широке застосування в теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними, комплексному аналізі, теорії потенціалу.

Означення

Нехай $G\subset {\mathbb {R} }^{n}.$ Функція $u\colon G\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \}$ змінної $x=(x_{1},...,x_{n})$ називається субгармонічною якщо для неї виконуються умови:

1. $u(x)$ є напівнеперервною зверху в $G;$
2. Якщо ${\overline {B(x_{0},r)}}$ — довільна замкнута куля з центром в $x_{0}$ і радіусом $r,$ що міститься в $G$ і $h$ — дійснозначна неперервна функція визначена на ${\overline {B(x_{0},r)}},$ що є гармонічною в $B(x_{0},r)$ і для якої $u(x)\leqslant h(x)$ для всіх $x$ на границі $\partial B(x_{0},r)$ кулі $B(x_{0},r)$ то також $u(x)\leq h(x)$ для всіх $x\in B(x_{0},r);$
3. $\varphi (x)\not \equiv -\infty .$

Другу умову можна записати кількома еквівалентними способами, зважаючи на властивості гармонічних функцій. Зокрема в тих же позначеннях умову можна записати через інтеграл на сфері. Існує як завгодно мале число $r,$ таке що

$u(x_{0})\leqslant I(u;x_{0},r)={\frac {1}{n\omega _{n}r^{n-1}}}\int _{\partial B(x_{0},r)}u\,d\sigma .$

де $\omega _{n}$ — об'єм одиничної кулі в $\mathbb {R} ^{n}$

Еквівалентно умову можна записати через інтеграл по об'єму кулі:

$u(x_{0})\leqslant J(u;x_{0},r)={\frac {1}{\omega _{n}r^{n}}}\int _{B(x_{0},r)}u\,dy.$

Функція $u(x)$ називається супергармонічною якщо $-u(x)$ є субгармонічною функцією.

Комплексні змінні

Якщо $u\in C^{2}(G)$ то вона є субгармонічною тоді і тільки тоді коли оператор Лапласа $\ \Delta u$ є невід'ємним.

На комплексній площині функція комплексної змінної називається субгармонічною, якщо вона є субгармонічною функцією двох дійсних змінних (дійсної і уявної частини комплексної змінної). Тоді в позначеннях комплексного аналізу другу умову у визначенні можна записати як:

$u(z)\leqslant {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }u(z+r\mathrm {e} ^{i\theta })\,d\theta ,$

де коло і обмежений ним круг знаходяться в області визначення функції. Подібно поняття субгармонічних і супергармонічних функцій вводиться і для комплексних просторів вищих порядків.

Ріманів многовид

Нехай M — ріманів многовид і $f:\;M\to {\mathbb {R} }$ є напівнеперервною функцією. f називається субгармонічною якщо для кожної відкритої підмножини $U\subset M$ і довільної гармонічної функції f₁ на U, для якої $f_{1}\geq f$ на границі множини U, нерівність $f_{1}\geq f$ виконується всюди на U.

Як і раніше для двічі неперервно диференційовних функцій рівносильною є умова на оператор Лапласа: $\Delta f\geq 0$.

Властивості

• Функція є гармонічною тоді і тільки тоді, коли вона є одночасно субгармонічною і супергармонічною.
• Якщо $u_{1},\ldots ,u_{k}$ є субгармонічними функціями в області $G$ і $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}$ — додатні дійсні числа, то лінійна комбінація $\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}u_{i}$ теж є субгармонічною функцією.
• Верхня межа $\sup\{u_{i}(x):1<i<k\}$ скінченної множини субгармонічних функцій $u_{i}(x)$ є субгармонічною функцією. Якщо супремум нескінченної множини субгармонічних функцій є напівнеперервною зверху функцією, то він є також субгармонічною функцією.
• Рівномірно збіжна і монотонно спадна послідовності субгармонічних функцій збігаються до субгармонічних функцій.
• Якщо $u(x)$ — субгармонічна функція в $G$, а $\varphi (u)$ — опукла неспадна функція на області значень функції $u(x)$ в $G$, або якщо $u(x)$ — гармонічна функція в $G$, а $\varphi (u)$ — опукла функція в тій же області значень, то $\varphi (u(x))$ — субгармонічна функція в $G$. Зокрема, якщо $u(x)$ — субгармонічна функція в $G$, то $e^{\lambda u(x)},\;\lambda >0$, і $(u^{+}(x))^{k},\;k\geqslant 1,$ де $u^{+}(x)=\max\{u(x),0\}$ є субгармонічними функціями в $G$; якщо $u(x)$ — гармонічна функція в $G$, то $|u(x)|^{k},\;k\geqslant 1$ — субгармонічна функція в $G$.
• Максимум субгармонічної функції не може досягатися у внутрішній точці її області визначення, якщо ця функція не є константою.Мінімум функції натомість може досягатися у внутрішній точці. Відповідно для супергармонічних функцій у внутрішніх точках області визначення може досягатися максимум функції але не мінімум.
• Якщо $u(x)$ — субгармонічна функція в області $G$ комплексного простору $\mathbb {C} ^{n}$ і $\varphi (w)$ — голоморфне відображення області $G'\subset \mathbb {C} ^{n}$ в $G$, то $u(\phi (w))$ є субгармонічною функцією в $G'.$
• Якщо $u(x)$ — субгармонічна функція у всій площині $\mathbb {R} ^{2}$, що є обмеженою зверху, то $u(x)=const.$ (в $\mathbb {R} ^{n}$ при $n\geqslant 3$ аналогічне твердження не є правильним)

Середні значення субгармонічних функцій

• Якщо $u(x)$ є субгармонічною функцією на кільці $r_{1}\leqslant r=|x-x_{0}|\leqslant r_{2},\;0\leqslant r_{1}<r_{2}$, то визначені вище функції $I(u;x_{0},r)$ і $J(u;x_{0},r)$ (при $r_{1}=0$), також $M(u;x_{0},r)=\max\{u(x):|x-x_{0}|=r\}$є опуклими, як функції від $\ln r$ при $n=2$ і $r^{2-n}$при$n\geqslant 3$.
• Якщо $u(x)$ є субгармонічною функцією на кулі$0\leqslant r=|x-x_{0}|\leqslant r_{2},$то $I(u;x_{0},r)$ і $J(u;x_{0},r)$ є неперервними і неспадними функціями від $r$ (вважається $u(x_{0})=J(u;x_{0},0)=I(u;x_{0},0)$) і також для $0\leqslant r_{1}\leqslant r_{2}:$

$u(x_{0})\leqslant J(u;x_{0},r)\leqslant I(u;x_{0},r).$

• Функції $I(u;x,r)$ і $J(u;x,r)$ як функції $x$ при фіксованих інших параметрах є субгармонійними функціями у своїх областях визначення і $J(u;x,r)$ також є неперервною функцією.

Теорема Ріса

Ньютонів потенціал і логарифмічний потенціал невід'ємних мас, взяті зі знаком мінус, є субгармонічними функціями всюди в просторі $\mathbb {R} ^{n}$.

З іншого боку, однією з основних в теорії субгармонічних функцій є теорема Ріса про локальне представлення довільної субгармонічної функції у вигляді суми гармонічної функції і взятого зі знаком мінус потенціалу.

Якщо $u$ є субгармонічною функцією в області $G$ просторі $\mathbb {R} ^{n}$, то для кожної компактної підмножини $D\subset G$ справедливим є розклад:

$u(x)=v(x)-\int _{D}{\frac {d\mu (y)}{|x-y|^{n-2}}},\quad n\geq 3$

і для розмірності 2,

$u(x)=v(x)+\int _{D}\log |x-y|d\mu (y),$

де $v$ — гармонічна функція, $\mu$ — міра Бореля в $G$.

Якщо $D$ є зв'язаною компактною множиною, то також можна здійснити розклад:

$u(x)=v'(x)-\int _{D}g(x,y)d\mu (y),$

де $v$ — найкраща гармонічна мажоранта, $g(x,y)$ — функція Гріна.

Див. також

• Гармонічна функція

Література

• Πρивалов И. И., Субгармонические функции, М.—Л., 1937;
• Хейман У., Кеннеди П., Субгармонические функции, пер. с англ., М., 1980;
• Rado T., Subharmonic functions, В., 1937;