Простір Гарді

Простір Гарді — особливий вид функціональних просторів в комплексному аналізі, аналог $L^{p}$-простору з функціонального аналізу. Названий за іменем англійського математика Ґодфрі Гарольда Гарді.

Простори Гарді відіграють важливу роль у вивченні граничних властивостей функцій, гармонічному аналізі, теорії степеневих рядів, лінійних

операторів, випадкових процесів, екстремальних і апроксимаційних задачах.

Означення

Простір Гарді $\ H^{p}$ при $0<p<\infty$ — це клас голоморфних функцій на відкритому одиничному колі на комплексної площині, що задовольняють наступній умові

$\sup _{0<r<1}\left({\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }\left|f(re^{i\theta })\right|^{p}\;d\theta \right)^{\frac {1}{p}}<\infty .$

Ліва частина цієї нерівності називається $\ p$-нормою в просторі Гарді або просто нормою Гарді для $\ f$, і позначається $\ |f|_{H^{p}}$. Як і у випадку $L^{p}$-просторів, ця норма узагальнюється на випадок $p=\infty$ як

$|f|_{H^{\infty }}\ =\ \sup _{0<r<1}\sup _{z:\ |z|=r}|f(z)|\ =\ \sup _{z:\ |z|<1}|f(z)|.$

Простори Гарді на верхній комплексній півплощині

Простір Гарді H^p(H) на верхній комплексній півплощині H за означенням є простором функцій f голоморфних на H з обмеженою квазінормою заданою як

$\|f\|_{H^{p}}=\sup _{y>0}\left(\int |f(x+iy)|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}.$

Простір H^∞(H) є простором голоморфних функцій із обмеженою нормою:

$\|f\|_{H^{\infty }}=\sup _{z\in \mathbf {H} }|f(z)|.$

Хоча одиничний круг D і верхня комплексна півплощина H відображаються один на одного за допомогою перетворень Мебіуса вони не є рівнозначними як області для просторів Гарді. Зокрема це пояснюється тим, що одиничне коло має скінченну (одновимірну) міру Лебега, а дійсна пряма має нескінченну міру. Проте для H² справедливим є твердження: якщо m : D → H позначає перетворення Мебіуса

$m(z)=i\cdot {\frac {1+z}{1-z}}.$

то лінійний операторr M : H²(H) → H²(D) заданий як

$(Mf)(z):={\frac {\sqrt {\pi }}{1-z}}f(m(z)).$

є ізометричним ізоморфізмом просторів Гільберта.

Простори Гарді на одиничному колі

Простори Гарді на одиничному крузі можна розглядати як замкнуті векторні підпростори комплексних $L^{p}$-просторів на одиничному колі.

Якщо f ∈ H^p, де p > 0, то радіальна границя

${\tilde {f}}\left(e^{i\theta }\right)=\lim _{r\to 1}f\left(re^{i\theta }\right)$

існує для майже всіх θ. Функція ${\tilde {f}}$ належить до L^p - простору на одиничному колі і також

$\|{\tilde {f}}\|_{L^{p}}=\|f\|_{H^{p}}.$

Також виконується рівність

$\lim _{r\to 1^{-}}{\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }\left|f(re^{i\theta })-{\tilde {f}}\left(e^{i\theta }\right)\right|^{p}\;d\theta =0.$

Якщо функція ${\tilde {f}}\left(e^{i\theta }\right)$ є рівною нулю на підмножині додатної міри одиничного кола, то f є рівною нулю на всьому одиничному крузі.

Якщо позначити одиничне коло як T і H^p(T) — векторний підпростір простору L^p(T) елементами якого є граничні функції ${\tilde {f}}$, де f належить H^p, то для p ≥ 1,

$g\in H^{p}\left(\mathbf {T} \right)\Longleftrightarrow g\in L^{p}\left(\mathbf {T} \right)\land \forall n<0,\ {\hat {g}}(n)=0,$

де ĝ(n) є коефіцієнтами Фур'є функції g:

$\forall n\in \mathbf {Z} ,\ \ \ {\hat {g}}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }g\left(e^{i\phi }\right)e^{-in\phi }\,\mathrm {d} \phi .$

Простір H^p(T) є замкнутим підпростором простору L^p(T).

Навпаки для функції ${\tilde {f}}$ ∈ L^p(T), де p ≥ 1, можна одержати функцію f , що є гармонічною на одиничному крузі за допомогою інтегральної формули Пуассона P_r:

$f\left(re^{i\theta }\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r}(\theta -\phi ){\tilde {f}}\left(e^{i\phi }\right)\,\mathrm {d} \phi ,\quad r<1.$

Тоді f належить H^p тоді і тільки тоді, коли ${\tilde {f}}$ належить H^p(T). Якщо ${\tilde {f}}$ належить H^p(T), тобто ${\tilde {f}}$ має коефіцієнти Фур'є (a_n)_n∈Z і a_n = 0 для n < 0, тоді функція f простору Гарді H^p пов'язана з ${\tilde {f}}$ є голоморфною функцією із розкладом в ряд Тейлора:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},\ \ \ |z|<1.$

Властивості

• Для p ≥ 1, простір$\ H^{p}$ є простором Банаха.
• Для випадку $0<p<q\leq \infty$ $\ H^{q}$ є підмножиною множини $\ H^{p}$.

Доведення включення $\ H^{q}\subset \ H^{p}$ здійснюється з використанням нерівності Єнсена функції $x\to x^{\frac {q}{p}},$ яка є опуклою на проміжку (0, 1) згідно умови ${\frac {q}{p}}>1.$ Тоді

$\int \limits _{0}^{2\pi }|f(re^{i\theta })|^{p}d\theta =\left[(2\pi )^{q/p}\left(\int \limits _{0}^{2\pi }|f(re^{i\theta })|^{p}(d\theta /2\pi )\right)^{q/p}\right]^{p/q}\leqslant (2\pi )^{(q-p)/q}\left(\int \limits _{0}^{2\pi }|f(re^{i\theta })|^{q}d\theta \right)^{p/q}$

Якщо $f\in \ H^{q},$ то супремум по r у правій стороні нерівності є скінченним і тому скінченним є супремум з лівої сторони, а отже $f\in \ H^{p}.$

Приклад нижче показує, що включення є строгим, тобто для $0<p<q\leq \infty$, як простори функцій $\ H^{p}\neq \ H^{q}.$

• Згідно теореми Гарді в означенні можна взяти границю при прямуванні r до 1:

$\ |f|_{H^{p}}=\lim _{r\to 1^{-}}\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f(re^{\mathrm {i} \theta })|^{p}\ d\theta \right)^{\frac {1}{p}}.$

• Якщо функція $f\in \ H^{p},\ 0<p\leqslant \infty$ і $a_{1},a_{2},\ldots$ є нулями функції в одиничному крузі з врахуванням кратності, то $\textstyle \sum _{i}(1-|a_{i}|)<\infty .$ Навпаки, якщо не більш ніж зліченна множина комплексних чисел із одиничного круга задовольняє цю нерівність, то вона є множиною нулів деякої функції із простору Гарді.
• Якщо $f\in \ H^{p}$, то існують збіжний добуток Бляшке $B$ і голоморфна ніде не рівна нулю на одиничному крузі функція $F$ для яких $f=F\cdot B.$ До того ж $\ |f|_{H^{p}}=\ |F|_{H^{p}}.$ Добуток Бляшке записується через нулі функції f:

$B(z)=z^{n}\prod _{k}{\frac {|a_{k}|}{a_{k}}}{\frac {z-a_{k}}{1-{\overline {a_{k}}}z}},$ де n — кратність 0 як нуля функції f.

Функція $F$ розкладається у добуток зовнішньої функції

$F_{0}(z)=\exp \left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {e^{i\theta }+z}{e^{i\theta }-z}}\ln \chi (e^{i\theta })d\theta +i\alpha \right),\quad \alpha \in \mathbb {R} ,$

і внутрішньої сингулярної функції:

$S(z)=\exp \left(\int _{0}^{2\pi }{\frac {e^{i\theta }+z}{e^{i\theta }-z}}\ d\mu (\theta )\right)$

де $\chi (e^{i\theta })\geqslant 0,\ \ln(\chi (e^{i\theta }))$ є функцією класу $L^{1}$ на одиничному колі, а $d\mu (\theta )$ є невід'ємною сингулярною мірою на одиничному колі.

Також три умови $f\in \ H^{p},\ F_{0}\in \ H^{p},\chi \in L^{p}(T)$ є рівносильними і ${\tilde {f}}\left(e^{i\theta }\right)={\tilde {F}}_{0}\left(e^{i\theta }\right)=\chi (e^{i\theta })$ майже всюди на одиничному колі.

• Функція $G(z)=B(z)\cdot S(z)$ є внутрішньою функцією і функції такого виду повністю характеризуються умовами $|G(z)|<1$ у відкритому одиничному колі і ${\tilde {f}}\left(e^{i\theta }\right)=1$ майже всюди на одиничному колі.

Приклади

• Якщо $0<p_{1}<p<p_{2}\leqslant \infty$ то функція $f_{p}(z)={\frac {1}{(1-z)^{1/p}}}$ визначена за допомогою основної гілки логарифму належить простору $\ H^{p_{1}}$ але не належить простору $\ H^{p_{2}}.$

Для цієї функції виконуються нерівності:

$\int \limits _{0}^{2\pi }\left|f_{p}(re^{i\theta })\right|^{p_{1}}\;d\theta =\int \limits _{0}^{2\pi }\left|1-re^{i\theta }\right|^{-p_{1}/p}\;d\theta \leqslant \int \limits _{0}^{2\pi }\left|r-re^{i\theta }\right|^{-p_{1}/p}\;d\theta =r^{-p_{1}/p}\int \limits _{0}^{2\pi }\left|1-e^{i\theta }\right|^{-p_{1}/p}\;d\theta \leqslant 4r^{-p_{1}/p}\int \limits _{0}^{\pi /2}\left({\frac {1}{\sin \theta }}\right)^{p_{1}/p}\;d\theta .$

Оскільки для $0<\theta \leqslant \pi /2$ виконується нерівність $\sin \theta \geqslant \theta /2,$ то додатково ці інтеграли є меншими, ніж $4\cdot 2^{p_{1}/p}\cdot r^{-p_{1}/p}\int \limits _{0}^{\pi /2}\theta ^{-p_{1}/p}\;d\theta <\infty ,$ а тому $f_{p}(z)\in \ H^{p_{1}}.$

З іншого боку виконуються нерівності

${\begin{aligned}\int \limits _{0}^{2\pi }\left|1-re^{i\theta }\right|^{-p_{2}/p}\;d\theta >&\int \limits _{0}^{\pi /2}\left|1-re^{i\theta }\right|^{-p_{2}/p}\;d\theta \geqslant \int \limits _{0}^{\pi /2}\left|1-r\cos \theta +r\sin \theta \right|^{-p_{2}/p}\;d\theta \geqslant \\\geqslant &\quad r\int \limits _{0}^{\pi /2}{\frac {\left(1-r\cos \theta +r\sin \theta \right)^{-p_{2}/p}}{r\cos \theta +r\sin \theta }}d\theta =r\cdot (1-p_{2}/p)\left((1+r)^{1-p_{2}/p}-(1-r)^{1-p_{2}/p}\right).\end{aligned}}$

Оскільки $p_{2}/p>1$ то вираз справа у формулі прямує до нескінченності при прямуванні r до 1. Тому також $\lim _{r\to 1^{-}}\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|f_{p}(re^{\mathrm {i} \theta })|^{p_{2}}\ d\theta \right)^{\frac {1}{p_{2}}}=\infty$ і тому $f_{p}(z)$ не належить простору $\ H^{p_{2}}.$

• Якщо голоморфна функція f є однолистою (ін'єктивною) на одиничному крузі, тоді $f\in \ H^{p}$ для всіх $\ 0<p<{\frac {1}{2}}.$ Якщо додатково ця функція не є рівною нулю у жодній точці одиничного круга. то $\ln f\in \ H^{p}$ для всіх $p>0.$
• Якщо f є голоморфною у відкритому одиничному крузі, то $f'\in \ H^{1}$ тоді і тільки тоді, коли f є неперервною на замкнутому одиничному крузі і абсолютно неперервною на одиничному колі.
• Важливим окремим випадком є $p=2.$ Нехай $f\in \ H^{2}$ і її розклад у ряд Тейлора має вид $f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }\,{\hat {f}}(n)\ z^{n},\qquad {\hat {f}}(n):={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}.$ Для функції можна ввести норму $\|f\|_{2}:=\left(\sum _{n=0}^{+\infty }|{\hat {f}}(n)|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.$ Тоді $\ |f|_{H^{p}}=\|f\|_{2}$ і зокрема $f\in \ H^{2}$ тоді і тільки тоді коли її норма $\|f\|_{2}$ є скінченною.

Позначаючи $z=r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta }$ де $r\in [0,1[$ і $t\in [-\pi ,\pi ]$ і враховуючи $f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\hat {f}}(n)z^{n}$ маємо $f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta })=\sum _{n=0}^{+\infty }{\hat {f}}(n)r^{n}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} n\theta }.$ Тобто ${\hat {f}}(n)r^{n}$ є коефіцієнтами Фур'є для $f(r\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta })$ як функції дійсної змінної. Тоді згідно рівності Парсеваля: ${\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }\left|f(re^{i\theta })\right|^{2}\;d\theta =\sum _{n=0}^{+\infty }\vert {\hat {f}}(n)\vert ^{2}r^{2n}.$ Із цієї рівності випливає твердження.

Звідси, випливає, що $\ H^{2},$ як нормований векторний простір є ізометрично ізоморфним простору $l^{2}$ і зокрема є простором Гільберта.

Посилання

• Burkholder, Donald L.; Gundy, Richard F.; Silverstein, Martin L. (1971), A maximal function characterization of the class H^p, Transactions of the American Mathematical Society, 157: 137—153, doi:10.2307/1995838, JSTOR 1995838, MR 0274767.
• Cima, Joseph A.; Ross, William T. (2000), The Backward Shift on the Hardy Space, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2083-4
• Colwell, Peter (1985), Blaschke Products - Bounded Analytic Functions, Ann Arbor: University of Michigan Press, ISBN 978-0-472-10065-1
• Duren, P. (1970), Theory of H^p-Spaces, Academic Press
• Fefferman, Charles; Stein, Elias M. (1972), H^p spaces of several variables, Acta Mathematica, 129 (3–4): 137—193, doi:10.1007/BF02392215, MR 0447953.
• Katznelson, Yitzhak (2004), An Introduction to Harmonic Analysis, Cambridge University Press, ISBN 0-521-83829-0
• Koosis, P. (1998), Introduction to H_p Spaces, Cambridge tracts in mathematics, т. 115 (вид. Second), Cambridge University Press, ISBN 9780521455213
• Mashreghi, J. (2009), Representation Theorems in Hardy Spaces, London Mathematical Society student texts, т. 74, Cambridge University Press, ISBN 9780521517683
• Nikolski, Nikolaï (2019), Hardy Spaces, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 179, Cambridge University Press, ISBN 9781316882108
• Petersen, K. E. (1977), Brownian Motion, Hardy Spaces and Bounded Mean Oscillation, London Mathematical Society student texts, т. 28, Cambridge University Press, ISBN 9780511662386