Регулярний простір

Регулярний простір і простір $T_{3}$ — топологічні простори, що характеризуються виконанням досить сильних аксіом віддільності.

Означення

Топологічний простір простір $X$ називається регулярним простором, якщо він задовольняє умову віддільності точок від замкнутих множин, тобто для кожної замкнутої множини $F\subseteq X$ і точки $x\in X\setminus F$ існують відкриті множини $U,V\subseteq X,$ що не перетинаються і $x\in U$ і $F\subseteq V{:}$

Точка x і замкнута множина F відокремлюються за допомогою околів U і V, що зображені великими кругами, які не перетинаються.

Також у цьому випадку кажуть, що точка $x$ і замкнута множина $F$ розрізняються за допомогою відкритих множин $U,V$.

Топологічний простір $X$ називається гаусдорфовим регулярним простором або простором $T_{3}$ тоді і тільки тоді, коли $X$ є регулярним простором і також гаусдорфовим простором.

Еквівалентно регулярний простір є простором $T_{3},$ якщо він є задовольняє аксіому $T_{0}.$ Дійсно кожен простір Гаусдорфа є простором $T_{0}.$ Навпаки регулярний простір $T_{0}$ є гаусдорфовим. Це випливає з того, що для таких просторів із двох різних точок, хоча б одна не залежить замиканню іншої (наслідок аксіоми $T_{0}$ ) і з регулярності випливає, що існують відкриті множини, що не перетинаються і відокремлюють вказані точку і замикання іншої. Ці ж множини задовольняють умову в означення просторів Гаусдорфа.

В літературі немає однозначності щодо використання термінів. Іноді регулярним простором можуть називати простір, що також є гаусдорфовим, також простором $T_{3}$ можуть називати як регулярний (не обов'язково гаусдорфів), так і гаусдорфів регулярний простір.

Топологічний простір у якому кожна точка має відкритий окіл, що є регулярним простором називається локально регулярним простором.

Приклади

• Більшість типових прикладів у математичному аналізі є просторами $T_{3}.$ Серед таких прикладів зокрема: простір дійсних чисел із стандартною топологією, евклідові простори, метричні і метризовні простори. Псевдометричні простори є регулярними але можуть не бути гаусдорфовими.
• Довільна множина із антидискретною топологією є гаусдорфовим регулярним простором.
• Компактні і локально компактні гаусдорфові простори є регулярними.
• Кожен цілком регулярний простір є регулярним але існують регулярні простори, які не є цілком регулярними. Наприклад розглянемо підмножину $M=:\{(x,y)\in {\mathbb {R} }^{2}:y\geqslant 0\}\cup \{(0,-1)\}$ двовимірної площини. На множині $M$ введемо топологію $\tau$ за допомогою бази околів ${\mathcal {B}}(x,y)$ для точок $(x,y)\in M{:}$
  • якщо $y>0,$ то ${\mathcal {B}}(x,y)=\{\{(x,y)\}\},$
  • якщо $y=0,$ то ${\mathcal {B}}(x,y)$ складається із всіх множин виду $\{(x,v)\in {\mathbb {R} }^{2}:0\leqslant v\leqslant 2\ \}\cup \{(x+v,v)\in {\mathbb {R} }^{2}:0\leqslant v\leqslant 2\}\setminus B,$ де $B$ є скінченною множиною,
  • ${\mathcal {B}}(0,-1)=\{U_{i}:i=1,2,3,\dots \},$ де $U_{i}=\{(0,-1)\}\cup \{(u,v)\in {\mathbb {R} }^{2}:i\leqslant u\}.$

Тоді $(M,\tau )$ є регулярним але не цілком регулярним простором.

• Існують простори $T_{2}$ які не є просторами $T_{3}.$ Розглянемо наприклад множину $X=[0,1]$ з топологією $\tau$ отриманою доповненням звичайної топології на $[0,1]$ множиною $[0,1]\setminus \{{\tfrac {1}{n}}:n=2,3,4\ldots \}.$ Тоді $(X,\tau )$ є гаусдорфовим простором оскільки $X=[0,1]$ із звичайною топологією є гаусдорфовим, а топологічний простір із сильнішою топологією є гаусдорфовим, якщо таким є простір із слабшою топологією. Натомість $(X,\tau )$ не є регулярним простором. Справді, $\{{\tfrac {1}{n}}:n=2,3,4\ldots \}$ є замкнутою множииною (оскільки за побудовою, її доповнення є відкритою множиною) і її не можна відділити від точки $\{0\}$ за допомогою відкритих множин, що не перетинаються.
• Іншим прикладом гаусдорфового простору, що не є простором $T_{3}$ є простір із топологією ірраціонального схилу. Цей простір також є прикладом напіврегулярного простору, що не є регулярним.
• Натомість простір $X=\{0,1,2,3\}$ із топологією $\tau ={\big \{}\varnothing ,\{0,1\},\{2,3\},X{\big \}}\;$ є регулярним але не гаусдорфовим.

Властивості

• Топологічний простір $X$ є регулярним тоді і тільки тоді, коли виконується якась із еквівалентних умов:

1. Для кожної компактної множини $A$ і замкнутої множини $B$ перетин яких є порожньою множиною існують відкриті множини $O_{A},O_{B},$ що не перетинаються між собою і для яких $A\subset O_{A}$ і $B\subset O_{B}.$
2. для кожної точки $x\in X$ і його відкритого околу $V$ (тобто $x\in V\subseteq X$) існує окіл $U$ точки $x$ замикання якого є підмножиною $V$ (тобто $x\in U\subseteq \mathrm {cl} (U)\subseteq V$).
3. Кожна замкнута множина $V$ є рівною перетину усіх своїх замкнутих околів (окіл має містити відкриту множину, що містить $V$, тому $V$ не є своїм околом).
4. Для кожної множини $A$ і відкритої множини $B$ перетин яких є непорожнім існує відкрита множина $O$ для якої $A\cap O\neq \emptyset$ і ${\bar {O}}\subset B.$
5. Для кожної непорожньої множини $A$ і замкнутої множини $B$ перетин яких є порожньою множиною існують відкриті множини $O_{A},O_{B}$ для яких $A\cap O_{A}\neq \emptyset$ і $B\subset O_{B}.$
6. Кожна база топології є регулярною, тобто для кожної множини $B$ із бази і точки $x\in B$ існує відкрита множина $O_{x}$ для якої $x\in O_{x}\subset {\bar {O}}_{x}\subset B.$

• Кожен регулярний топологічний простір $X$ який є зліченним або задовольняє другу аксіому зліченності є нормальним простором.
• Підмножина регулярного простору (чи простору $T_{3}$) із індукованою топологією є регулярним простором (простором $T_{3}$).
• Прямий добуток регулярних просторів (чи просторів $T_{3}$) із топологією добутку є регулярним простором (простором $T_{3}$).

Див. також

• Аксіоми віддільності
• Гаусдорфів простір
• Цілком регулярний простір

Джерела

• Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)
• Энгелькинг Р. Общая топология: Пер. с англ. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
• Gaal, Steven A.(2009), Point set topology, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47222-5 (англ.)