Трикутник Серпінського

Трикутник Серпінського

Трикутник Серпінського — фрактал, один із двовимірних аналогів множини Кантора, що був запропонований польським математиком Вацлавом Серпінським в 1915 році. Також відомий як «серветка» або «решітка» Серпінського.

Побудова

Береться рівносторонній трикутник. На першому кроці видаляється трикутник з вершинами в середині сторін початкового трикутника. На другому кроці аналогічні трикутники із трьох менших трикутників, які залишилися після першого кроку, і т. д. Після нескінченного повторення цієї процедури, від суцільного трикутника залишається підмножина — трикутник Серпінського.

Побудова трикутника Серпінського

Властивості

• Трикутник Серпінського замкнутий.
• Трикутник Серпінського має топологічну розмірність 1.
• Має розмірність Хаусдорфа $=\ln3/\ln2\approx 1,585$. Зокрема,
  • має нульову міру Лебега.

Цікаві факти

• Якщо в трикутнику Паскаля всі непарні числа пофарбувати в чорний колір, а парні - в білий, то утворюється трикутник Серпінського.
• Утворення, схожі на трикутник Серпінського, виникає в грі Життя з довгої вертикальної лінії.