Трикутник Серпінського

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Трикутник Серпінського

Трикутник Серпінськогофрактал, один із двовимірних аналогів множини Кантора. Був запропонований польським математиком Вацлавом Серпінським в 1915 році. Цей трикутник один з найбільш ранніх відомих прикладів фракталів. Існує кілька способів побудови цього фракталу. Трикутник Серпінського також називають серветкою або решето Серпінського.

Даний фрактал відносять до фракталів, які отримують поетапним вилученням частин генератора, тобто до геометричних. Також відомий як «серветка» або «решітка» Серпінського.

Побудова[ред.ред. код]

Існує дуже багато способів побудови трикутника Серпінського, їх можна поділити на такі типи:

-        Геометричні методи;

-        Метод ігор;

-        Трикутник Серпінського як результат перетворення  трикутника Паскаля;

-        Аналітичне задання фракталів з допомогою комплексних чисел;

-        Задання фракталів за допомогою систем ітерованих функцій;

-        Побудова через кола, круги та ін.;

Найпростішим способом побудови є такий:

Береться рівносторонній трикутник. На першому кроці видаляється трикутник з вершинами в середині сторін початкового трикутника. На другому кроці аналогічні трикутники із трьох менших трикутників, які залишилися після першого кроку, і т. д. Після нескінченного повторення цієї процедури, від суцільного трикутника залишається підмножина — трикутник Серпінського.

Побудова трикутника Серпінського

Властивості[ред.ред. код]

Цікаві факти[ред.ред. код]

  • Якщо в трикутнику Паскаля всі непарні числа пофарбувати в чорний колір, а парні - в білий, то утворюється трикутник Серпінського.
  • Утворення, схожі на трикутник Серпінського, виникає в грі Життя з довгої вертикальної лінії.
  • Трикутник Серпінського – це безліч тих точок вихідного трикутника що не належать жодному з центральних трикутників довільного рангу, тобто нескінченність, що складається з тих точок, що не відкидаються ні на якому з цих етапів.