Гострий та тупий трикутники

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Гострий трикутник — це трикутник з усіма гострими кутами (менше 90 °). Тупий трикутник — це трикутник з одним тупим кутом (більше 90 °) і двома гострими. Оскільки сума кутів трикутника повинна дорівнювати 180 °, трикутник не може мати більше одного тупого кута. Гострокутні та тупокутні трикутники — це два різних типи похилих трикутників — трикутників, які не є прямокутними, оскільки вони не мають кута у 90 °.

Right triangle Obtuse triangle Acute triangle
Прямий Тупий Гострий
 
  Похилі

Властивості[ред. | ред. код]

У всіх трикутниках центроїд — це перетин медіан, кожна з яких з'єднує вершину з середньою точкою протилежної сторони, а центр вписаного кола — це центр кола, який внутрішньо дотичний до всіх трьох сторін і знаходиться всередині трикутника. Проте, якщо ортоцентр та центр описаного кола розташовані всередині гострого трикутника, вони є зовнішніми для тупого трикутника.

Ортоцентр — точка перетину трьох висот трикутника, кожна з яких перпендикулярно з'єднує сторону з протилежною вершиною. У випадку з гострим трикутником, всі три з цих сегментів лежать цілком у трикутнику, і тому вони перетинаються в його межах. Але для тупого трикутника висоти з двох гострих кутів перетинаються лише з точками дотику[en] протилежних сторін. Ці висоти цілком виходять за межі трикутника, внаслідок чого вони перетинаються одна з одною (а отже, і з розширеною висотою від куточної вершини), що виникають у зовнішньому трикутнику.

Аналогічно, центр описаного кола — це перетин трьох паралельних бісектрис[en], який є центром кола, який проходить через всі три вершини і знаходиться всередині гострого трикутника, але поза межами тупого. Прямокутний трикутник є особливим випадком: центр описаного кола і ортоцентр лежать на його межі. У будь-якому трикутнику будь-які два вимірювані кути A і B, протилежні сторонам a та b, відповідно, пов'язані таким чином[1]:p. 264

З цього випливає, що найдовша сторона в тупому трикутнику є протилежною вершині тупого кута.

Гострий трикутник має три вписані квадрати[en], кожен з яких з одного боку збігається з частиною сторони трикутника та з іншими двома вершинами квадрата на інших двох сторонах трикутника. (У правильному трикутнику два з них зливаються у ту ж площу, тому є лише два окремі квадрати, нанесені на вигляд). Однак у тупого трикутника є лише один вписаний квадрат, одна з його сторін збігається з частиною найдовшої сторони трикутника.[2]:p. 115

Всі трикутники, у яких лінія Ейлера є паралельною до однієї сторони, є гострими.[3] Ця властивість зберігається для сторони BC, тоді й лише тоді, коли

Нерівності[ред. | ред. код]

Дивіться також: Перелік нерівностей трикутників[en]

Сторони[ред. | ред. код]

Якщо кут С тупий, то для сторін a, b та c ми маємо:[4]:p.1,#74

що ліва нерівність наближається до рівності, лише коли кут нахилу рівномірного трикутника наближається до 180 °, а права нерівність наближається до рівності, тільки коли тупий кут наближається до 90 °.

Якщо трикутник гострий, то

Висота[ред. | ред. код]

Якщо C є найбільшим кутом, а h c  — висота від вершини C, тоді для гострого трикутника[4]:p.135,#3109

із протилежною нерівністю, якщо C — тупий.

Медіана[ред. | ред. код]

З найдовшою стороною c і медіанами ma і mb з інших сторін [4]:p.136,#3110

для гострого трикутника, але з нерівністю, зміненої для тупого трикутника.

Медіана mc від найдовшої сторони є більшою або меншою, ніж радіус описаного кола для гострого або тупого трикутника відповідно:[4]:p.136,#3113

для гострих трикутників — протилежно до тупих.

Площа[ред. | ред. код]

Нерівність Оно[en] для площі A

виконується для всіх гострих, але не для всіх тупих трикутників.

Тригонометричні функції[ред. | ред. код]

Для гострого трикутника ми маємо, для кутів A, B та C[4]:p.26,#954

з зворотною нерівністю, що виконується для тупого трикутника. Для гострого трикутника з радіусом описаного кола R[4]:p.141,#3167

і[4]:p.155,#S25

Для гострих трикутників[4]:p.115,#2874

з зворотною нерівністю для тупого трикутника.

Для гострих трикутників[4]:p178,#241.1

Для будь-якого трикутника трійка дотичної ідентичності визначає, що сума тангенсів кутів дорівнює їх добутку. Оскільки гострий кут має позитивне дотичне значення, а тупий кут має негативний, вираз для знаходження добутку тангенсів показує, що

для гострих трикутників, в той час як протилежний напрям нерівності використовується для тупих трикутників.

Ми маємо:[4]:p.26,#958

для гострих трикутників, і зворотна для тупого трикутника.

Для всіх гострих трикутників[4]:p.40,#1210

Для всіх гострих трикутників, що мають центр вписаного кола r і центр описаного кола R[4]:p.53,#1424

Для гострих трикутників з площею K,[4]:p.103,#2662

Радіуси описаного, вписаного і дотичного кіл[ред. | ред. код]

У гострому трикутнику сума радіуса описаного кола R і вписаного кола r менше половини суми найкоротших сторін a і b:[4]:p.105,#2690

а зворотна нерівність виконується для тупого трикутника.

Для гострого трикутника з медіанами ma , mb та mc і радіусом описаного кола R, ми маємо:[4]:p.26,#954

а протилежна нерівність виконується для тупого трикутника.

Також для гострого трикутника задовольняє формула:[4]:p.26,#954

у термінах радіусів дотичних кіл[en] ra , rb та rc , знову ж таки з зворотною нерівністю, що виконується для тупого трикутника.

Для гострого трикутника з півперіметром s,[4]:p.115,#2874

а зворотна нерівність виконується для тупого трикутника.

Для гострого трикутника з площею K,[4]:p.185,#291.6

Відстані між центрами трикутників[ред. | ред. код]

Для гострого трикутника відстань між центром описаного кола O і ортоцентром H обчислюється за формулою[4]:p.26,#954

а за протилежною нерівністю обчислюється для тупого трикутника.

Для гострого трикутника відстань між центром вписаного кола I і ортоцентром H обчислюється так[4]:p.26,#954

де r — це радіус вписаного кола[en], із зворотною нерівністю для тупого трикутника.

Вписаний квадрат[ред. | ред. код]

Якщо один з вписаних квадратів гострого трикутника має довжину боків xa, а інший — xb, де xa < xb, тоді[2]:p. 115

Два трикутники[ред. | ред. код]

Якщо два тупих трикутника мають сторони (a, b, c) і (p, q, r), де c та r — найдовші сторони, тоді[4]:p.29,#1030

Приклади[ред. | ред. код]

Трикутники із спеціальними назвами[ред. | ред. код]

Трикутник Калабі[en] є єдиним нерівностороннім трикутником, для якого найбільша площа, яка підходить в інтер'єрі, може бути розташована будь-яким з трьох різних способів, він тупий та рівнобедрений з основними кутами 39.1320261 … ° та третьою шириною 101.7359477 .. °.

Правильний трикутник з трьома кутами 60 °, гострий.

Трикутник Морлея, утворений з будь-якого трикутника на перехрестях його сусідніх кутових триекранів, є рівнобічним і, отже, гострим.

Золотий трикутник[en] — це рівнобедрений трикутник, у якому співвідношення дубліката сторони до основної сторони дорівнює золотому перетину співвідношенню. Він гострий з кутами 36 °, 72 ° та 72 °, що робить його єдиним трикутником з кутами пропорцій 1:2:2.[5]

Трикутник семикутника[en] із сторонами, що збігаються із стороною, коротшою діагоналлю і довгою діагоналлю правильного семикутника — це тупий трикутник, з кутами та

Трикутники з цілими сторонами[ред. | ред. код]

Єдиний трикутник з послідовними цілими числами для висоти і сторін, гострий, має сторони (13,14,15) і висоту із сторони 14 проти 12.

Трикутник з найменшим периметром і з цілими сторонами в арифметичній прогресії та трикутник з найменшим периметром з різними цілими сторонами, є тупим, а саме із сторонами (2, 3, 4).

Трикутники з одним кутом, який двічі більший за інший, з цілими сторонами в арифметичній прогресії, є гострими: а саме трикутник із сторонами (4,5,6) та кратні йому.[6]

Не існує гострих цілосторонніх трикутників[en] з площею, яка дорівнює периметру, але є три тупі трикутники, що мають сторони[7] (6,25,29), (7,15,20) і (9,10,17).

Найменший трикутник з цілими сторонами і з трьома раціональними медіанами — гострий, із сторонами[8] (68, 85, 87).

Трикутники Герона[en] мають цілі сторони та цілі площі. Похилий трикутник Герона з найменшим периметром — гострий, із сторонами (6, 5, 5). Два трикутники Герона, які мають найменшу площу, — це гострий із сторонами (6, 5, 5) та тупий із сторонами (8, 5, 5), площа кожного з яких дорівнює 12.

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Posamentier, Alfred S. and Lehmann, Ingmar. The Secrets of Triangles, Prometheus Books, 2012.
  2. а б Oxman, Victor, and Stupel, Moshe. «Why are the side lengths of the squares inscribed in a triangle so close to each other?» Forum Geometricorum 13, 2013, 113—115. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201311index.html
  3. Wladimir G. Boskoff, Laurent¸iu Homentcovschi, and Bogdan D. Suceava, «Gossard's Perspector and Projective Consequences», Forum Geometricorum, Volume 13 (2013), 169—184. [1]
  4. а б в г д е ж и к л м н п р с т у ф х ц ш Inequalities proposed in «Crux Mathematicorum», [2].
  5. Elam, Kimberly (2001). Geometry of Design. New York: Princeton Architectural Press. ISBN 1-56898-249-6. 
  6. Mitchell, Douglas W., "The 2:3:4, 3:4:5, 4:5:6, and 3:5:7 triangles, " Mathematical Gazette 92, July 2008.
  7. L. E. Dickson, History of the Theory of Numbers, vol.2, 181.
  8. Sierpiński, Wacław. Pythagorean Triangles, Dover Publ., 2003 (orig. 1962).

Джерела[ред. | ред. код]