Розмірність Гаусдорфа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Розмірність Гаусдорфа — розмірність множини (в метричному просторі) дорівнює , де  — мінімальне число множин діаметру , якими можна покрити множину. Розмірність Гаусдорфа не визначена для необмежених множин. Навіть для обмежених множин деяке може дорівнювати нескінченності.

Трикутник Серпінського. Простір з фрактальною розмірністю log2 3 або ln3/ln2, що прибл. дорівнює 1.585


Розмірність Гаусдорфа — природний спосіб визначати розмірність множини у метричному просторі. Для багатьох випадків розмірність Гаусдорфа рівна топологічній розмірності (розмірності Лебега). Розмірність Гаусдорфа належить до математичних концепцій, введених в 1918 р. математиком Феліксом Гаусдорфом, і служить мірою локального розміру набору чисел (тобто «простір»), беручи до уваги відстань між кожним з її елементів (тобто, «точки» в «просторі»). Застосування цих математичних формулювань передбачає, що розмірність Гаусдорфа з однієї точки дорівнює 0, з лінії – 1, з квадрата – 2, з куба – 3. Тобто, для множини точок, які визначають рівні форми, або форми, які мають невелику кількість кутів – форм, які належать до традиційної геометрії та наукової розмірності Гаусдорфа. Тим не менш, були розробленні формулювання, які дозволяють розрахувати розмірності для інших, менш простих об’єктів, виключно на основі своїх властивостей масштабування і самоподібності, тому можна зробити висновок, що окремі об’єкти, в тому числі фракталі – є дробовими розмінностями Гаусдорфа. Завдяки значним технічним досягненням, зроблених Абрамом Самойловичем Безиковичем, що дозволяють розрахувати розміри для високо нерегулярних наборів, цей аспект також, зазвичай, називають розмірністю Гаусдорфа – Безиковича.

Розмірність Гаусдорфа, має подальший розмірний ряд, пов'язаний з даним набором чисел, де відстані між усіма членами цього набору будуть визначатися. Набір, який забезпечує розмірність Гаусдорфа називається розширеним дійсним числом, R, і набір цифр, де відстані між усіма членами називається матричним простором. Отже, розмірність Гаусдорфа є невід’ємним дійсним числом (R≥0), пов’язаним з будь – яким матричним простором.

У математичній термінології, розмірність Гаусдорфа узагальнює поняття розмірності дійсного векторного простору. Тобто, розмірність Гаусдорфа внутрішнього простору n - мірного продукту дорівнює n. Це лежить в основі раніше викладеного, що розмірність Гаусдорфа для точки дорівнює 0, для лінії – 1 і т.д., і що фрактальні множини можуть мати дробову розмірність Гаусдорфа. Наприклад, крива Коха, що була раніше утворена з рівностороннього трикутника; У кожній ітерації, його складові відрізки поділяються на 3 сегменти одиничної довжини, новостворений середній сегмент використовується в якості основи, для нового рівностороннього трикутника, точки якого назовні, і цей базовий сегмент потім виділяється. Тобто, після першої ітерації, кожен оригінальний відрізок був замінений N=4,  де кожна подібна копія 1/S=1/3. Інакше кажучи, ми взяли об’єкт з евклідовою розмірністю D, а також знизили його лінійну шкалу на 1/3 в кожному напрямку, так що його довжина зростає до N=SD. Це рівняння легко вирішується за D, отримуючи кількісне співвідношення логарифмів, що дає в фрактальних випадках дробову розмірність.

Означення[ред.ред. код]

Означення розмірності Гаусдорфа складається з декількох кроків. Нехай  — обмежена множина у метричному просторі . Наприклад, нехай .

-покриття[ред.ред. код]

Нехай . Не більш ніж зліченну сім'ю підмножин простору будемо називати -покриттям множини , якщо виконуються такі дві властивості:

  • для всіх діаметр (для всіх діаметр множин менший за .

ρ-міра Хаусдорфа[ред.ред. код]

Нехай . Нехай  — покриття множини . Визначимо наступну функцію, яка в деякому плані визначає розмір цього покриття: . Позначимо через «мінімальний розмір» -покриття множини : , де інфімум береться по всіх -покриттях множини . Очевидно, що функція спадає по . Отже, у неї є скінченна або нескінченна границя при : . Величина називається -мірою Гаусдорфа множини .

Властивості ρ-міри Гаусдорфа[ред.ред. код]

  • -міра Гаусдорфа є борелівською мірою на .
  • з точністю до множення на коефіцієнт: 1-міра Гаусдорфа для гладких кривих збігається з їх довжиною; 2-міра Гаусдорфа для гладких поверхонь збігається з їх площею; - міра Гаусдорфа множин у збігається з їхнім -мірним об'ємом.
  • спадає по . Більш того для будь-якої множини існує критичне значення , таке, що:
    • для всіх
    • для всіх Значення може бути нульовим, скінченним або нескінченним.

Визначення розмірності Гаусдорфа[ред.ред. код]

Розмірністю Гаусдорфа множини називається число з попереднього пункту.

Властивості розмірності Гаусдорфа[ред.ред. код]

  • Розмірність Гаусдорфа будь-якої множини не більша за нижню та верхню розмірності Мінковського.
  • Розмірність Гаусдорфа не більш ніж зліченного об'єднання множин дорівнює максимальній розмірності об'єднаних множин. Зокрема, додавання зліченної множини до будь-якої множини не змінює її розмірності.
  • Для самоподібних множин розмірність Гаусдорфа може бути обчислена явно. Неформально, якщо множина розбивається на частин, подібних до вихідної множини з коефіцієнтами , то її розмірність є розв'язком рівняння . Наприклад, розмірність множини Кантора дорівнює (розбивається на дві частини, коефіцієнт подібності 1/3), а розмірність трикутника Серпінського — (розбивається на 3 частини, коефіцієнт подібності 1/2).

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Федер Е. (1991). Фракталы. М.: МИР. с. 254. ISBN 5-03-001712-7. 

Джерела[ред.ред. код]

  • Бенуа Мандельброт. Фрактальна геометрія природи.
  • А. Морозов. Введение в теорию фракталов.
  • Пайтген Х. О. Рихтер П. Х. Красота фракталов.
  • Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах
  • Божокин С. В. Паршин Д. А. Фракталы и мультифракталы.
  • K.I. Falconer. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications.
  • Федер Е. Фракталы. — М.: МИР, 1991. — С. 254. — ISBN 5-03-001712-7
  • Стаття в англомовній вікіпедії