Носій модуля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У комутативній алгебрі, носій модуля M над комутативним кільцем A є множиною всіх простих ідеалів A для яких .[1] Ця множина позначається . Згідно з означенням носій є підмножиною спектру кільця A.

Властивості[ред. | ред. код]

  • Якщо є модулем над кільцем породженим єдиним елементом і , то , тобто множині усіх простих ідеалів, що містять ідеал
Нехай — простий ідеал у кільці . Тоді, згідно з означенням локалізації модуля елемент у тоді і тільки тоді, коли існує елемент , такий що , тобто якщо Відповідно для того щоб ця рівність не виконувалася (і, як наслідок, модуль був ненульовим), необхідно і достатньо щоб містив ідеал , що і треба було довести.
Якщо модуль є нульовим, то і всі його локалізації є нульовими. Навпаки, якщо є хоча б один ненульовий елемент , то як і в попередній властивості, довільний простий ідеал, що містить належить .
  • Якщо є сумою підмодулів , тоді
Оскільки для всіх справедливим є включення то
Навпаки, якщо , то існує для якого не є підмножиною . Але цей елемент належить деякому і тоді .
Якщо належить носію модуля, то існує такий елемент , що для всіх Але тоді і необхідний результат отримується з того, що .
Навпаки, якщо — породжуюча множина модуля, то і якщо то також для деякого і тому належить носію модуля.
  • Якщо є скінченнопородженим A-модулем і I є ідеалом у A, тоді є множиною всіх простих ідеалів, що містять Ця множина є рівною .
  • Якщо то
Якщо — прості ідеали, то з властивостей локалізації , тож якщо , то також і тому теж є елементом носія модуля.
  • Нехай точна послідовність A-модулів. Тоді
    Це об'єднання може не бути диз'юнктивним.
Згідно з властивостями локалізації, при умовах твердження послідовність теж буде точною. З означень точної послідовності тоді буде нульовим модулем тоді і тільки тоді, коли нульовими модулями будуть як , так і . Тому належатиме тоді і тільки тоді, коли він належатиме хоча б одній із множин і .
  • Якщо є скінченнопородженими A-модулями, то
Для довільного простого ідеалу . Оскільки локалне кільце, то звідси , тоді і тільки тоді коли і , що доводить твердження.
Оскільки кожен асоційований простий ідеал містить анулятор модуля, то якщо простий ідеал містить асоційований простий ідеал, то він містить анулятор і є елементом носія модуля.
При умовах твердження існує скінченна множина асоційованих простих ідеалів, перетин яких рівний радикалу анулятора. Якщо не містить жодного з цих ідеалів, то він не містить і їх перетину і тому не містить анулятор модуля. Тоді не належить носію модуля.

Носій квазікогерентного пучка[ред. | ред. код]

Якщо F є квазікогерентним пучком на схемі X, носій F є множиною всіх точок xX для яких локальні кільця Fx є ненульовими. Це означення є подібним до означення носія функції на просторі X, що і спричинило використання терміну "носій". Більшість властивостей носіїв дослівно переносяться із модулів на квазікогерентні пучки. Наприклад, носій когерентного пучка є замкнутим підпростором у X.[2]

Якщо M є модулем над кільцем A, тоді носій M як модуля є рівним носію асоційованого квазікогерентного пучка на афінній схемі Spec(R). Крім того, якщо є афінним покриттям схеми X, тоді носій квазікогерентного пучка F є рівним об'єднанню носіїв асоційованих модулів Mα над кожним Aα.[3]

Приклади[ред. | ред. код]

  • Для скінченної комутативної групи , що розглядається як модуль над кільцем цілих чисел, складається з усіх простих ідеалів , де просте число ділить порядок групи .
  • У випадку коли модуль не є скінченнопородженим не обов'язково кожен ідеал, що містить анулятор є елементом носія модуля. Може виконуватися строге включення . Наприклад , . Тоді , але . Тому нульовий ідеал належить але не носію модуля . Носієм є множина максимальних ідеалів кільця .

Примітки[ред. | ред. код]

  1. EGA 0I, 1.7.1.
  2. The Stacks Project authors (2017). Stacks Project, Tag 01B4. 
  3. The Stacks Project authors (2017). Stacks Project, Tag 01AS. 

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]