Операторна алгебра

Операторна алгебра — алгебра операторів, що діють на топологічному векторному просторі. Операторні алгебри активно застосовуються в теорії представлень і в диференціальній геометрії, в квантовій механіці і в квантовій статистичній фізиці, в квантовій теорії поля і в сучасній класичній механіці.

Такі алгебри можуть використовуватися для вивчення різних множин операторів. З цієї точки зору, операторні алгебри можна розглядати як узагальнення спектральної теорії одного оператора.

Операторна алгебра являє собою множину операторів, на якій визначено алгебричні та топологічні структури. В загальному випадку в операторних алгебрах використовуються некомутативні кільця. Зазвичай в операторних алгебрах вимагається замкнутість відносно однієї з топологій, що визначаються на операторах.

Одним із прикладів операторних алгебр є алгебри фон Неймана (вони ж W*-алгебри), що визначаються як *-алгебра операторів у гільбертовому просторі з операцією ермітового спряження, замкнута відносно слабкої операторної топології, така що містить 1. Та сама структура спряження на операторах у гільбертовому просторі дозволяє будувати представлення С*-алгебр у вигляді операторних алгебр, замкнутих в операторній топології.

Див. також

• Функціональний аналіз
• Теорія операторів
• Оператор Гільберта — Шмідта
• Диференціальна алгебра.
• Алгебра вершинних операторів (Вертексна алгебра)

Література

• Мерфи Дж. С*-алгебры и теория операторов. — М.: Факториал, 1997. — 336 с. — ISBN 5-88688-016-X
• Диксмье Ж. С* — алгебры и их представления. — М.: Наука, 1974. — 399 с.
• Итоги науки и техники // Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Том 27. Сборник статей. — М.: Наука, 1985. — 230 с.
• Леповски Д., Ли Х. Введение в вершинные операторные алгебры и их представления. — М.: РХД, 2008. — 424 с. — ISBN 978-5-93972-664-1
• Марченко В. А. Нелинейные уравнения и операторные алгебры. — Киев: Наукова думка, 1986. — 155 с.
• Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика / Пер. с англ. — М.: Мир, 1982. — 512 c.
• Эмх Ж. Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля. — М.: Мир, 1976. — 424 с.
• Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Оксак А. И., Тодоров И. Т. Общие принципы квантовой теории поля. — М.: Наука, 1987. — 616 с.
• Соловьев Ю. П., Троицкий Е. В. C*-алгебры и эллиптические операторы в дифференциальной топологии. — М.: Факториал, 1996. — 352 c.
• Мануйлов В. М., Троицкий Е. В. С*-гильбертовы модули. — М.: Факториал, 2001. — 224 с. — ISBN 5-88688-052-6
• Кац В. Г. Вертексные алгебры для начинающих / Пер. с англ. — М.: МЦНМО, 2005. — 200 с. — ISBN 5-94057-124-7
• Садовничий В. А. Теория операторов. — 4-е изд. — М.: Дрофа, 2001. — 384 с. — ISBN 5-7107-4297-X
• Неретин Ю. А. Представления алгебры Вирасоро и афинных алгебр. — 1988.
• Маслов В. П. Операторные методы. — М.: Наука, 1973. — 409 с.
• Диксмье Ж. Универсальные обертывающие алгебры. — М.: Мир, 1978.

• Arveson W. «An Introduction to C*-algebras», Springer, New York, 1976.
• Bratteli O. «Derivations, Dissipations and Group Actions on C*-algebras», Springer, Berlin, 1986.
• Landsman N. P. «Mathematical Topics between Classical and Quantum Mechanics», Springer, New York, 1998.
• Sakai S. «C*-algebras and W*-algebras», Springer, New York, Berlin, 1971.
• Schwartz J. T. «W*-algebras», New York, 1967.
• Takesaki M. «Theory of Operator Algebras», Springer, New York, 1979; 2nd Ed., Springer, Berlin, 2002.

Посилання

• С * - алгебра