Теорема Аміцура — Левицького

Теорема Аміцура — Левицького — твердження про рівність нулю стандартного многочлена степеня $2n$ від довільних матриць порядку $n$. Прямий наслідок цього результату — матриці порядку $n$ утворюють кільце з поліноміальними залежностями з мінімальним ступенем тотожності, що дорівнює $2n$.

Теорема вперше доведена ізраїльськими математиками Шімшоном Аміцуром і Яковом Левицьким у 1950 році.

Згодом було дано кілька принципово інших доведень. Бертран Костант у 1958 році вивів теорему Аміцура — Левицького з теореми Кошуля — Самельсона про примітивні когомології алгебр Лі. Річард Сван у 1963 році дав просте доведення на основі теорії графів.

Юрій Размислов у 1974 році побудував доведення, що спирається на теорему Гамільтона — Келі. Шмуель Россет у 1976 році подав коротке доведення, що використовує зовнішню алгебру векторного простору розмірності.

Означення та формулювання

Стандартним многочленом степеня $n$ називається многочлен:

$S_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{\sigma }\in S_{n}}(-1)^{\sigma }x_{\sigma 1}\cdots x_{\sigma n}\$,

де сума береться за всіма $n!$ елементами симетричної групи $S_{n}$. Тут $(-1)^{\sigma }$ позначає знак перестановки $\sigma$ і елементи $x_{1},\dots ,x_{n}$ не комутують між собою.

Теорема Аміцура — Левицького стверджує, що для довільних матриць $A_{1},\dots ,A_{2n}$ порядку $n$ з елементами із деякого комутативного кільця R, стандартний многочлен від цих матриць є рівним нулю:

$S_{2n}(A_{1},\ldots ,A_{2n})=0$.

Доведення

Тут подано доведення Размислова на основі такого твердження із лінійної алгебри:

Лема

Нехай C — комутативна $\mathbb {Q}$-алгебра з одиницею і $A\in M_{n}(C)$— матриця для якої $\operatorname {tr} A=\operatorname {tr} A^{2}=...=\operatorname {tr} A^{n}=0.$ Тоді також $A^{n}=0.$

Доведення леми

Згідно теореми Гамільтона — Келі матриця A є коренем свого характеристичного многочлена: $A^{n}+\alpha _{n-1}A^{n-1}+\ldots +\alpha _{1}A+\alpha _{0}=0.$

Але на основі тотожностей Ньютона, характеристичний многочлен можна записати $p_{A}(\lambda )=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}q_{n-i}{\Bigl (}\operatorname {tr} A,\operatorname {tr} A^{2}\ldots ,\operatorname {tr} A^{n-i}{\Bigr )}\lambda ^{i},$ де всі многочлени $q_{n-i}$ мають раціональні коефіцієнти і нульові вільні члени окрім $q_{0}=1.$ З рівності нулю слідів степенів матриці отримуємо, що і $\alpha _{0},\ldots ,\alpha _{n-1}=0,$ а тому $A^{n}=0.$

Доведення теореми

Якщо всі елементи деякого кільця R задовольнять рівності $S_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,$ то для довільного комутативного кільця A також елементи тензорного добутку $R\otimes _{\mathbb {Z} }A$ задовольняють цій же рівності. Справді, оскільки $S_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ є полілінійним (тобто $S_{n}(x_{1},\ldots ,x_{i}+y_{i},\ldots ,x_{n})=S_{n}(x_{1},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{n})+S_{n}(x_{1},\ldots ,y_{i},\ldots ,x_{n})$ для всіх змінних) достатньо довести, що вказана рівність виконується при підстановці $x_{i}=r_{i}\ \otimes a_{i}\in R\otimes _{\mathbb {Z} }A.$ Дійсно,

${\begin{aligned}S_{n}(r_{1}\otimes a_{1},\ldots ,r_{n}\otimes a_{n})&=\sum _{\sigma \in S_{n}}(-1)^{\sigma }r_{\sigma _{1}}\otimes a_{\sigma _{1}}\cdots r_{\sigma _{n}}\otimes a_{\sigma _{n}}=\sum _{\sigma \in S_{n}}(-1)^{\sigma }(r_{\sigma _{1}}\cdots r_{\sigma _{n}})\otimes (a_{\sigma _{1}}\cdots a_{\sigma _{n}})=\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}(-1)^{\sigma }(r_{\sigma _{1}}\cdots r_{\sigma _{n}})\otimes (a_{1}\cdots a_{n})=S_{n}(r_{1},\ldots ,r_{n})\otimes (a_{1}a_{2}\cdots a_{n})=0.\end{aligned}}$.

Оскільки $M_{n}(C)=M_{n}(\mathbb {Z} )\otimes _{\mathbb {Z} }C$ і $M_{n}(\mathbb {Z} )\subset M_{n}(\mathbb {Q} ),$ то з попереднього випливає, що твердження достатньо довести для матриць із $M_{n}(\mathbb {Q} )$.

Розглянемо тепер зовнішню алгебру $\Lambda (V)$ над векторним простором над $\mathbb {Q}$ розмірності 2n із базисом $e_{1},e_{2},...,e_{2n}.$ Підалгебра $\Lambda _{e}(V)$ цієї алгебри елементами якої є елементи парних компонент у градації $\Lambda (V)$ є комутативною.

Нехай $A_{1},...,A_{2n}$ — довільні елементи з $M_{n}(\mathbb {Q} )$ і позначимо $B=A_{1}\otimes e_{1}+...+A_{2n}\otimes e_{2n}\in M_{n}(\Lambda (V))=M_{n}(\mathbb {Q} )\otimes \mathbb {Q} \Lambda (V).$

Тоді $B_{2n}=S_{2n}(A_{1},...,A_{2n})\otimes (e1\wedge e_{2}\wedge ...\wedge e_{2n})$ і $B^{2}=D=\sum [A_{i},A_{j}]\otimes e_{i}\wedge e_{j}\in M_{n}(\Lambda _{e}(V)).$

Також можна записати

$D^{i}=B^{2i}=\sum S_{2i}(A_{j_{1}},...,A_{j_{2k}})\otimes e_{j_{1}}\wedge ...\wedge e_{j_{2k}}\in M_{n}(\Lambda _{e}(V)),\ i\leqslant n.$

Для стандартних многочленів виконуються рівності

${\begin{aligned}S_{2i}(x_{1},...,x_{2i})&=x_{1}S_{2i-1}(x_{2},...,x_{2i})-x_{2}S_{2i-1}(x_{1},x_{3},...,x_{2i})+...-x_{2i}S_{2i-1}(x_{1},...,x_{2i-1})=\\&=-S_{2i-1}(x_{2},...,x_{2i})x_{1}+S_{2i-1}(x_{1},x_{3},...,x_{2i})x_{2}+...+S_{2i-1}(x_{1},...,x_{2i-1})x_{2i}.\end{aligned}}$

Звідси можна записати:

$S_{2i}(x_{1},...,x_{2i})={1 \over 2}\sum _{k=1}^{2i}\left[x_{k},S_{2i-1}(x_{1},...,{\hat {x_{k}}},...,x_{2i})\right].$

Отож кожен доданок у виразі для матриць $D^{i}$ можна записати як комутатор двох матриць. З огляду на те, що слід комутатора двох матриць дорівнює нулю, то сліди всіх цих доданків, а тому і сліди всіх матриць $D^{i},\;\;1\leqslant i\leqslant n$ є рівними нулю. Згідно леми тоді також $D^{n}=B^{2n}=0$ і звідси $S_{2n}(A_{1},A_{2},...,A_{2n})=0.$

Література

• Amitsur, A. S.; Levitzki, Jakob (1950), Minimal identities for algebras (PDF), Proceedings of the American Mathematical Society]], 1: 449—463, doi:10.1090/S0002-9939-1950-0036751-9, ISSN 0002-9939, JSTOR 2032312, MR 0036751
• Amitsur, A. S.; Levitzki, Jakob (1951), Remarks on Minimal identities for algebras (PDF), Proceedings of the American Mathematical Society, 2: 320—327, doi:10.2307/2032509, ISSN 0002-9939, JSTOR 2032509
• Drensky, Vesselin; Formanek, Edward (2004), Polynomial Identity Rings, Advanced Courses in Mathematics CRM Barcelona, Basel: Birkhäuser, ISBN 978-3-0348-7934-7
• Formanek, Edward (1991), The polynomial identities and invariants of n×n matrices, Regional Conference Series in Mathematics, т. 78, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0730-7, Zbl 0714.16001
• Kostant, Bertram (1958), A theorem of Frobenius, a theorem of Amitsur–Levitski and cohomology theory, J. Math. Mech., 7: 237—264, doi:10.1512/iumj.1958.7.07019, MR 0092755
• Ю. П. Размыслов. Тождества со следом полных матричных алгебр над полем характеристики нуль // Известия АН СССР. Серия математическая. — 1974. — Т. 38, вип. 4. — С. 727. — ISSN 0373-2436. — DOI:10.1070/IM1974v008n04ABEH002126.
• Rosset, Shmuel (1976), A new proof of the Amitsur–Levitski identity, Israel Journal of Mathematics, 23 (2): 187—188, doi:10.1007/BF02756797, ISSN 0021-2172, MR 0401804
• Rowen, Louis Halle (1980), Polynomial identities in ring theory, Pure and Applied Mathematics, т. 84, New York: Academic Press Inc., с. xx+365, ISBN 0-12-599850-3, MR 0576061
• Swan, Richard G. (1963), An application of graph theory to algebra (PDF), Proceedings of the American Mathematical Society, 14: 367—373, doi:10.2307/2033801, ISSN 0002-9939, JSTOR 2033801, MR 0149468
• Swan, Richard G. (1969), Correction to "An application of graph theory to algebra" (PDF), Proceedings of the American Mathematical Society, 21: 379—380, doi:10.2307/2037008, ISSN 0002-9939, JSTOR 2037008, MR 0255439
• Procesi, Claudio (2013), On the theorem of Amitsur--Levitzki