Теорема Лумана — Меньшова

У комплексному аналізі, теорема Лумана — Меньшова стверджує, що неперервна комплекснозначна функція задана на відкритій підмножині комплексної площини є голоморфною якщо і тільки якщо вона задовольняє умови Коші — Рімана. Теорема є узагальненням теореми Едуарда Гурса, яка вимагала від функції f, диференційовності за Фреше, як функції із R² у R².

Повне твердження теореми: нехай D — відкрита підмножина у C і f : D → C є неперервною функцією. Припустимо, що часткові похідні $\partial f/\partial x$ і $\partial f/\partial y$ існують всюди окрім можливо не більш, ніж зліченної підмножини D. Тоді f є голоморфною якщо і тільки якщо вона всюди задовольняє умови Коші — Рімана:

${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)=0.$

Історія

Голоморфна функція $f{(x+iy)}=u+iv$ визначена на області у комплексній площині задовольняє на цій області умови Коші — Рімана:

${\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y},$

${\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}.$

Щодо оберненого твердження, то якщо $f$ як функція дійсних змінних є диференційовною всюди в області або якщо часткові похідні $f$ є неперервними всюди то при виконанні умов Коші — Рімана функція $f$ є голоморфною функцією в області. Твердження для диференційовних функцій було доведено Едуардом Гурса у 1900 році і називається теоремою Гурса. Після цього здійснювалися дослідження щодо послаблення умов у твердженні цієї теореми. У 1905 році Дімітре Помпейу зазначив, що додаткові умови теорема Гурса можна послабити до диференційовності функцій майже всюди в області.

Луман зауважив, що лише існування часткових похідних всюди в області і виконання умов Коші — Рімана не є достатнім для голоморфності чи навіть неперервності функції в області: прикладом може бути така функція, яка не є неперервною у точці z = 0:

$f(z)=\left\{{\begin{aligned}\exp(-z^{-4}),&&{z\neq 0}\\0,&&{z=0}\end{aligned}}\right.$

У 1923 Луман подав доведення твердження, що неперервність функції в області разом із існуванням часткових похідних і виконанням умов Коші — Рімана є достатнім для її голоморфності у цій області. Проте доведення Лумана містило деякі неточності. Опубліковане Меньшовим у 1931 році доведення було повністю коректним. Доведення Меньшов використовувало інтеграл Лебега і теорему Бера. У 1933 році, математик Станіслав Сакс використав для твердження назву теорема Лумана — Меньшова.

Приклади

• Функція задана як f(z) = exp(−z⁻⁴) для z ≠ 0, f(0) = 0 задовольняє умови Коші — Рімана всюди але не є голоморфною (чи навіть неперервною) в точці z = 0. Цей приклад показує, що функція f має бути неперервною в твердженні теореми.

• Функція задана як f(z) = z⁵/|z|⁴ для z ≠ 0, f(0) = 0 є неперервною всюди і задовольняє умови Коші — Рімана в точці z = 0 але не є голоморфною в цій точці (чи будь-якій іншій). Це показує, що узагальнення теореми Лумана — Меньшова на єдину точку є невірним.

• Якщо f є неперервною в околі точки z, і $\partial f/\partial x$ і $\partial f/\partial y$ існують у точці z, то f є голоморфною в точці z якщо і тільки якщо вона у цій точці задовольняє умови Коші — Рімана.

Доведення

Лема

Нехай $I=[a,b]\subset \mathbb {R}$ і f — комплекснозначна функція на I для якої в кожній точці інтервалу існує похідна. Нехай E — замкнута підмножина в I і M > 0 — число для яких:

$|f(x)-f(y)|\leqslant M|x-y|,\quad x\in E,\ y\in I.$

Тоді:

$\left|f(b)-f(a)-\int _{E}f'(x)dx\right|\leqslant Mm_{1}(I\setminus E),$

де $m_{1}$ позначає міру Лебега на $\mathbb {R} .$

Доведення

Нехай $J=[\alpha ,\beta ]\subset I$ і введемо функцію $f_{J}:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ як $f_{J}(x)=\lambda x+\mu ,$ де $\lambda ={\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}$ і $\mu ={\frac {\beta f(\alpha )-\alpha f(\beta )}{\beta -\alpha }}.$ Для цієї функції виконується нерівність:

$|f_{J}(x)-f_{J}(y)|\leqslant {\frac {|f(\beta )-f(\alpha )|}{\beta -\alpha }}|x-y|,\quad \forall \ x,y\in \mathbb {R} .$

Позначимо $E_{0}=E\cup \{a\}\cup \{b\}$ і введемо функцію g на I як:

• $g|_{E_{0}}=f|_{E_{0}}$
• Якщо J є замиканням компоненти зв'язності множини $I\setminus E_{0}$ то $g|_{J}=f_{J}|_{J}$

Зауважимо, що обидва кінці такого інтервалу J належать $E_{0}$ і хоча б один кінець належить $E.$ При таких умовах:

$|g(x)-g(y)|\leqslant M|x-y|,\quad \forall \ x,y\in I.$

Для доведення цього можна припустити x < y і розглянути два випадки.

Випадок 1. x і y належать єдиному інтервалу $J=[\alpha ,\beta ],$ що доповнює $I\setminus E_{0}.$ У цьому випадку

$|g(x)-g(y)|\leqslant {\frac {|f(\beta )-f(\alpha )|}{\beta -\alpha }}|x-y|,$

і хоча б одне з чисел $\alpha ,\beta$ належить E. Згідно припущення $|f(\beta )-f(\alpha )|\leqslant |\beta -\alpha |,$ що завершує доведення у цьому випадку.

Випадок 2. x і y не належать єдиному інтервалу $J=[\alpha ,\beta ],$ що доповнює $I\setminus E_{0}.$ Тоді існує число $x<\xi <y,$ таке що $\xi \in E$ (в іншому випадку x і y належали б єдиному інтервалу). Якщо $x\in E_{0}$ то з того, що $\xi \in E$ випливає:

$|g(x)-g(\xi )|=|f(x)-f(\xi )|\leqslant M|\xi -x|.$

Якщо $x\not \in E_{0}$ то нехай J буде інтервалом, що доповнює $E_{0},$ що містить x і x' позначає крайню праву точку цього інтервалу. Тоді:

$|g(x)-g(\xi )|=|g(x)-g(x')|+|g(x')-g(\xi )|.$

Як і вище $|g(x')-g(\xi )|\leqslant M(\xi -x')$ і, згідно випадку 1 також $|g(x)-g(x')|\leqslant M(x'-x).$ Додавши ці дві нерівності отримуємо:

$|g(x)-g(\xi )|\leqslant M(\xi -x).$

Аналогічно $|g(\xi )-g(y)|\leqslant M(y-\xi )$ і додавши ці дві нерівності остаточно отримуємо необхідний результат.

Звідси випливає, що g є абсолютно неперервною і згідно теореми Лебега:

$g(b)-g(a)=\int _{E}g'(x)dx+\int _{I\setminus E}g'(x)dx.$

Далі $g(a)=f(a),\ g(b)=f(b)$ і $g'=f'$ у всіх неізольованих точках множини E. Таких ізольованих точок може бути не більш, ніж зліченна кількість і тому $g'=f'$ майже всюди на E. Також $g'\leqslant M$ майже всюди на I. Із врахуванням всього отримуємо:

$\left|f(b)-f(a)-\int _{E}f'(x)dx\right|=\left|\int _{I\setminus E}g'(x)dx\right|\leqslant Mm_{1}(I\setminus E).$

Лема 2

Нехай $D$ — відкрита множина на комплексній площині $\mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2}$ і нехай $f$ буде неперервною функцією з $D$ у $\mathbb {C}$ для якої на $D$ існують часткові похідні. Позначимо $R=[a,b]\times [c,d]$ прямокутник у $D.$ Виберемо A > 0 так щоб $A^{-1}\leqslant (d-c)/(b-a)\leqslant A.$ Припустимо, що існує непуста замкнута множина $E$ у $D$ і додатне число $M$, такі що:

$\forall (x,y)\in E,(w,y)\in D,(x,v)\in D:\left|f(x,y)-f(x,v)\right|\leqslant M\left|y-v\right|,\left|f(x,y)-f(w,y)\right|\leqslant M\left|x-w\right|$

Нехай $R_{0}\subset R$ є перетином усіх прямокутників, що містять $E\cap R.$ Якщо $E\cap R\neq \emptyset ,$ то $R_{0}$ є замкнутим прямокутником, можливо виродженим (тобто вертикальним чи горизонтальним відрізком або точкою). Тоді:

$\left|\int _{\partial R_{0}}fdz-2i\int \int _{R\cap E}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}dxdy\right|\leqslant 8AMm_{2}(R\setminus R\cap E)$

де $m_{2}$ позначає міру Лебега.

Доведення

Нехай $R_{0}=[a_{0},b_{0}]\times [c_{0},d_{0}]=I\times J.$ Для $x\in I,$ позначимо $E_{x}=\{y\in J|(x,y)\in E\}.$

Згідно гіпотези:

$\left|f(x,y)-f(x,v)\right|\leqslant M\left|y-v\right|,\quad \forall y\in E_{x},v\in J.$

Тому якщо $E_{x}\neq \emptyset$ то, згідно попередньої леми:

$\left|f(x,c_{0})-f(x,d_{0})-\int _{E_{x}}{\partial f \over \partial y}dy\right|\leqslant Mm_{1}(J\setminus E_{x})\leqslant 4AMm_{1}(J\setminus E_{x}).$

Натомість, якщо $E_{x}\neq \emptyset$ то можна знайти $\xi ,\xi '\in I$ для яких $(\xi ,c_{0})\in E\cap R,(\xi ',d_{0})\in E\cap R.$ Тоді:

${\begin{aligned}\left|f(x,c_{0})-f(x,d_{0})\right|&\leqslant \left|f(x,d_{0})-f(\xi ',d_{0})\right|+\left|f(\xi ',d_{0})-f(\xi ',c_{0})\right|+\left|f(\xi ',c_{0})-f(\xi ,c_{0})\right|+\left|f(\xi ',c_{0})-f(\xi ,d_{0})\right|\leqslant \\&\leqslant M\left(|x-\xi '|+|d_{0}-c_{0}|+|\xi '-\xi |+|\xi -x|\right).\end{aligned}}$

Також $|d_{0}-c_{0}|\leqslant (d-c)$ і $|x-\xi '|+|\xi '-\xi |+|\xi -x|\leqslant 3(b_{0}-a_{0})\leqslant 3(b-a)\leqslant 3A(d-c).$ Остаточно у цьому випадку

$\left|f(x,c_{0})-f(x,d_{0})\right|\leqslant 4AM(d-c).$

Таким чином можна записати в обох випадках:

$\left|f(x,c_{0})-f(x,d_{0})-\int _{E_{x}}{\partial f \over \partial y}dy\right|\leqslant 4AM(d-c-m_{1}(E_{x})).$

Інтегруючи цей вираз по x отримуємо:

$\left|\int _{a_{0}}^{b_{0}}\left(f(x,c_{0})-f(x,d_{0})\right)dx-\int \int _{E\cap R}{\partial f \over \partial y}dxdy\right|\leqslant 4AM\left((d-c)(b_{0}-a_{0})-m_{2}(E\cap R_{0})\right)\leqslant 4AMm_{2}(R\setminus E\cap R),$

оскільки $E\cap R=E\cap R_{0}.$

Аналогічно можна отримати другу нерівність

$\left|\int _{c_{0}}^{c_{0}}\left(f(b_{0},y)-f(a_{0},y)\right)dy-\int \int _{E\cap R}{\partial f \over \partial x}dxdy\right|\leqslant 4AMm_{2}(R\setminus E\cap R).$

Для остаточного доведення потрібно другу нерівність домножити на $i$ додати до першої і використати рівності $2i{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=i{\frac {\partial f}{\partial x}}-{\frac {\partial f}{\partial y}}$ і

$\int _{\partial R_{0}}fdz=i\int _{c_{0}}^{c_{0}}\left(f(b_{0},y)-f(a_{0},y)\right)dy+\int _{a_{0}}^{b_{0}}\left(f(x,c_{0})-f(x,d_{0})\right)dx.$

Доведення теореми

Нехай $E'$ — множина точок $z\in D$ для яких існує окіл в якому функція $f$ є голоморфною. Позначимо $E=D\setminus E'.$ Ця множина буде найменшою замкнутою підмножиною $D$ для якої $f|_{D\setminus E}$ є голоморфною функцією. Згідно твердження теореми $E=\emptyset .$

Припустимо, що це не так. Тоді при доведенні можна знайти відкриту підмножину $K\subset D$ і константу M > 0, для яких $K\cap E\neq \emptyset$ і також для $z=x+iy\in E\cap K$ і $z_{1}=x'+iy,\ z_{2}=x+iy'\in K$ виконуються нерівності $|f(z_{1})-f(z)|\leqslant M|x'-x|$ і $|f(z_{2})-f(z)|\leqslant M|y'-y|$. При цьому f є голоморфною на K, що суперечить вибору E і умові $K\cap E\neq \emptyset .$ Це протиріччя і завершить доведення теореми.

Для знаходження множини K введемо спершу $D_{n}$ як підмножини $D$ з такими властивостями:

$D_{n}=\{z|z\in D,\left|f(z+h)-f(z)\right|\leqslant n\left|h\right|,\left|f(z+ih)-f(z)\right|\leqslant n\left|h\right|,\ \forall h\in \mathbb {R} ,\ B(z,h)\subset D,\ \left|h\right|\leqslant 1/n\}$

Із неперервності $f$ і властивості існування часткових похідних всюди випливає, що $D_{n}$ є замкнутою множиною і $D=\cup _{n=1}^{\infty }D_{n},$ а тому $E=\cup _{n=1}^{\infty }E\cap D_{n}$. Звідси, згідно теореми Бера, існує хоча б одне $D_{n}$ і відкрита підмножина $K$ у $D$, для яких $\emptyset \neq E\cap K\subseteq E\cap D_{n}$.

$K$ можна вважати відносно компактною підмножиною $D,$ тоді, зокрема, існує число c > 0 для якого $|f|<c/2$ на $K.$ Тоді, якщо $z=x+iy\in E\cap K\subseteq E\cap D_{n}$ і $z_{1}=x'+iy,\ z_{2}=x+iy'\in K$ то виконуються нерівності

$|f(z_{1})-f(z)|\leqslant \left\{{\begin{aligned}n|x'-x|,&&|x'-x|\leqslant {1 \over n}\\cn|x'-x|,&&|x'-x|>{1 \over n}\end{aligned}}\right.$

і подібні для $|f(z_{1})-f(z)|.$ Це доводить твердження для $M=\max(n,\ cn).$

Для доведення голоморфності f на K, згідно теореми Морери достатньо довести, що для кожного прямокутника $R=[a,b]\times [c,d]\subset K$ виконується рівність $\int _{\partial R}fdz=0.$

Виберемо A > 0 так щоб $A^{-1}\leqslant (d-c)/(b-a)\leqslant A.$ Нехай $\varepsilon >0$ є довільним і відкрита множина $U\supset K$ така, що $m_{2}(U\setminus K)<\varepsilon$ (така $U$ існує оскільки $E$ як закрита підмножина відкритої множини є вимірною і тому її зовнішня міра є рівною мірі).

Нехай $N\geqslant 1.$ Прямокутник $R$ можна поділити на $4^{N}$ прямокутники $R_{\nu },\ \nu =1,\ldots ,4^{N}$ повторюючи N раз процедуру поділу отриманих прямокутників на 4 за допомогою відрізків, що поєднують середини протилежних сторін. Якщо $R_{\nu }=[\alpha ,\beta ]\times [\gamma ,\delta ]$ то $(\delta -\gamma )/(\beta -\alpha )=(d-c)/(b-a)$ і тому також $A^{-1}\leqslant (\delta -\gamma )/(\beta -\alpha )\leqslant A.$

Для достатньо великого $N,$ якщо $R_{\nu }\cap E\neq \emptyset$ то $R_{\nu }\subset U.$ Тоді:

$\int _{\partial R}fdz=\sum _{\nu }\int _{\partial R_{\nu }}fdz=\sum _{R_{\nu }\cap E\neq \emptyset }\int _{\partial R_{\nu }}fdz$

оскільки для $R_{\nu }\subset K\setminus E$ згідно теореми Коші — Гурса $\int _{\partial R_{\nu }}fdz=0.$

Нехай $R_{\nu }^{(0)}$ позначає перетин всіх замкнутих прямокутників, що містять $R_{\nu }\cap E.$ Тоді $R_{\nu }^{(0)}$ є замкнутим прямокутником (можливо виродженим) і $\int _{\partial R_{\nu }}fdz=\int _{\partial R_{\nu }^{(0)}}fdz.$

Застосовуючи лему 2 до тих значень $\nu$ для яких $R_{\nu }\cup E\neq \emptyset$ отримуємо:

$\left|\int _{\partial R_{\nu }}fdz\right|=\left|\int _{\partial R_{\nu }^{(0)}}fdz\right|=\left|\int _{\partial R_{\nu }^{(0)}}fdz-2i\int \int _{R_{\nu }\cup E}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}dxdy\right|\leqslant 8AMm_{2}(R_{\nu }\setminus R_{\nu }\cap E).$

Звідси:

$\left|\int _{\partial R}fdz\right|\leqslant \sum _{R_{\nu }\cap E\neq \emptyset }\left|\int _{\partial R_{\nu }}fdz\right|\leqslant 8AM\sum _{R_{\nu }\cap E\neq \emptyset }m_{2}(R_{\nu }\setminus R_{\nu }\cap E).$

Оскільки для достатньо великого $N,$ якщо $R_{\nu }\cap E\neq \emptyset$ то $R_{\nu }\subset U$ і два різних прямокутники $R_{\nu },R_{\nu '}$ мають перетин двовимірна міра Лебега для якого є рівною нулю, то

$\sum _{R_{\nu }\cap E\neq \emptyset }m_{2}(R_{\nu }\setminus R_{\nu }\cap E)\leqslant m_{2}(U\setminus U\cap E)<\varepsilon .$

Тому $\left|\int _{\partial R}fdz\right|<8AM\varepsilon$ і з довільності вибору $\varepsilon$ випливає, що $\int _{\partial R}fdz=0.$ Тому функція f є голоморфною на K, що суперечить $K\cap E\neq \emptyset .$

Література

• Gray, J. D.; Morris, S. A. (1978), When is a Function that Satisfies the Cauchy-Riemann Equations Analytic?, The American Mathematical Monthly (опубліковано опубліковано April 1978), 85 (4): 246—256, doi:10.2307/2321164, JSTOR 2321164.
• Looman, H. (1923), Über die Cauchy–Riemannschen Differentialgleichungen, Göttinger Nachrichten: 97—108.
• Menchoff, D. (1936), Les conditions de monogénéité, Paris.
• Montel, P. (1913), Sur les différentielles totales et les fonctions monogènes, C. R. Acad. Sci. Paris, 156: 1820—1822.
• Narasimhan, Raghavan (2001), Complex Analysis in One Variable, Birkhäuser, ISBN 0-8176-4164-5.