Теорема Шмідта

Теорема Шмідта — теорема про властивості розширення локально скінченної групи.

Формулювання[ред. | ред. код]

Розширення $G$ локально скінченної групи $A$ за допомогою локально скінченної групи $G/A$ саме локально скінченне.

Доведення[ред. | ред. код]

Перевіримо, що кожна скінченна множина $M$ з $G$ породжує скінченну підгрупу. За умовою фактор-група $gr(M,A)/A$ скінченна. Збільшивши, якщо потрібно, множину $M$ , вважатимемо, що вона замкнута відносно обернених елементів та містить представників усіх суміжних класів $gr(M,A)$ за $A$ . Тоді для будь-яких $x,y\in M$ $xy={\overline {xy}}a_{x,y}$ , де ${\overline {xy}}\in M$ , $a_{x,y}\in A$ . Звідси випливає, що будь-який добуток елементів із $M$ можна записати як добуток деякого елемента з $M$ на добуток деяких $a_{x,y}$ . Оскільки всілякі $a_{x,y}$ породжують скінченну підгрупу, все доведено.