Псевдометричний простір

В математиці, псевдометричний простір є узагальненням метричного простору, у якому відстань між двома різними точками може бути рівною нулю. Кожен напівнормований простір є псевдометричним простором, аналогічно як нормований простір є метричним.

Означення

Псевдометричним простором $(X,d)$ називається множина $X$ разом із невід'ємною дійснозначною функцією $d\colon X\times X\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$ (що називається псевдометрикою), такою що, для усіх точок $x,y,z\in X$,

1. $d(x,x)=0$.
2. $d(x,y)=d(y,x)$ (симетричність)
3. $d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$ (нерівність трикутника)

На відміну від метричних просторів, можливі випадки коли $d(x,y)=0$ для різних точок $x\neq y$.

Приклади

• На будь-якій множині $X$ можна ввести нульову псевдометрику, для якої $d(x,y)=0$ для всіх $x,y\in X$. Ця псевдометрика породжує антидискретну топологію.
• Псевдометрики часто виникають у функціональному аналізі. Розглянемо простір ${\mathcal {F}}(X)$ дійснозначних функцій $f\colon X\to \mathbb {R}$ разом із виділеною точкою $x_{0}\in X$. Тоді на просторі функцій можна ввести псевдометрику

$d(f,g)=|f(x_{0})-g(x_{0})|$

для $f,g\in {\mathcal {F}}(X)$

• Для векторного простору $V$, напівнорма $p$ породжує псевдометрику на $V$:

$d(x,y)=p(x-y).$

Навпаки, однорідна, інваріантна щодо перенесень псевдометрика породжує напівнорму.

• Псевдометрики відграють важливу роль у теорії комплексних многовидів.
• Кожен вимірний простір $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ є повним псевдометричним простором з псевдометрикою

$d(A,B):=\mu (A\vartriangle B)$

для всіх $A,B\in {\mathcal {A}}$, де $\vartriangle$ позначає симетричну різницю множин.

• якщо $f:X_{1}\rightarrow X_{2}$ є функцією і d₂ — псевдометрика на X₂, то $d_{1}(x,y):=d_{2}(f(x),f(y))$ є псевдометрикою на X₁. Якщо d₂ є метрика і f є ін'єктивною, тоді d₁ є метрикою.
• Якщо $d_{i};\;i\in \mathbb {N}$є псевдометриками на $X$ то і довільна скінченна сума $d(x,y)=d_{1}(x,y)+d_{2}(x,y)+\dotsb +d_{n}(x,y)$ і також $d(x,y)=\sum \limits _{i=0}^{\infty }2^{-i}{\frac {d_{i}(x,y)}{1+d_{i}(x,y)}}$ будуть псевдометриками на $X$.

Топологія

Псевдометричною топологією називається топологія, породжена відкритими кулями у псевдометриці:

$B_{r}(p)=\{x\in X\mid d(p,x)<r\},$

які утворюють базу топології. Топологічний простір називається псевдометризовним, якщо для нього існує псевдометрика, топологія якої збігається з заданою топологією простору.

Псевдометрика є метрикою, якщо і тільки якщо її топологія задовольняє аксіому T₀.

Псевдометризовна топологія є цілком регулярною, але не обов'язково гаусдорфовою: одноточкові множини можуть бути незамкнутими. Кожна цілком регулярна топологія може бути задана сім'єю псевдометрик як структурне об'єднання породжених ними топологій. Аналогічно, сім'ї псевдометрик використовуються для означення, опису і дослідження рівномірних структур.

Псевдометричний простір є нормальним і задовольняє першій аксіомі зліченності. Друга аксіома зліченності виконується в тому і тільки в тому випадку, коли цей простір є сепарабельним.

Метрична ідентифікація

Псевдометрика задає відношення еквівалентності, що називається метричною ідентифікацією і для якого фактор-множина є метричним простором. У цьому відношенні $x\sim y$ якщо $d(x,y)=0$. Нехай $X^{*}=X/{\sim }$ — фактор-простір X для цього відношення еквівалентності. Введемо функцію

${\begin{aligned}d^{*}:(X/\sim )&\times (X/\sim )\longrightarrow \mathbb {R} _{+}\\d^{*}([x],[y])&=d(x,y)\end{aligned}}$

Тоді $d^{*}$ є метрикою на $X^{*}$ і $(X^{*},d^{*})$ є метричним простором, що називається метричним простором, породженим псевдометричним простором $(X,d)$.

Функція $d^{*}$ є добре означеною, тобто не залежить від представників класу еквівалентності. Справді нехай $d(x_{1},x_{2})=0$ і $d(y_{1},y_{2})=0$, тобто $[x_{1}]=[x_{2}]$ і $[y_{1}]=[y_{2}]$. Тоді з нерівності трикутника і симетрії $d(x_{1},y_{1})\leqslant d(x_{1},x_{2})+d(x_{2},y_{2})+d(y_{2},y_{1})=0+d(x_{2},y_{2})+0=d(x_{2},y_{2})$. Симетрично також $d(x_{2},y_{2})\leqslant d(x_{1},y_{1})$ і тому $d(x_{1},y_{1})=d(x_{2},y_{2})$. Те, що $d^{*}$ задовольняє аксіоми метрики одразу випливає з того, що $d$ задовольняє аксіоми псевдометрики.

Множина $A\subset X$ є відкритою у $(X,d)$, якщо і тільки якщо $\pi (A)=[A]$ є відкритою у $(X^{*},d^{*})$ і $\pi ^{-1}(\pi (A))=A$.

Див. також

• Метричний простір
• Рівномірний простір

Література

• Келли Дж., Общая топология, пер. с англ., 2 изд., Москва, 1981