Зв'язність на векторних розшаруваннях

Зв'язність на векторних розшаруваннях в диференціальній геометрії дозволяє ввести на довільних векторних розшаруваннях такі поняття як паралельне перенесення, тензори кривини і кручення і інші. Таким чином значна частина теорії і ідей може бути перенесена з гладких многовидів і їх дотичних розшарувань на векторні розшарування. Для зв'язності на векторних розшарування часто також використовується термін зв'язність Кошуля на честь французького математика Жана-Луї Кошуля.

Означення

Нехай E → M — гладке векторне розшарування над диференційовним многовидом M. Позначимо множину гладких перетинів розшарування E як Γ(E). Звязністю на E називається ℝ-лінійне відображення

$\nabla :\Gamma (E)\to \Gamma (E\otimes T^{*}M)$

для якого також виконується правило добутку

$\nabla (\sigma f)=(\nabla \sigma )f+\sigma \otimes df$

для всіх гладких функцій f на многовиді M і всіх гладких перетинів σ розшарування E.

Зважаючи на властивості тензорних добутків векторних розшарувань і їх перетинів для області значень також можна дати еквівалентні інтерпретації:

$\Gamma (E\otimes T^{*}M)\cong \Omega ^{1}(M)\otimes _{C^{\infty }(M)}\Gamma (E)\cong \operatorname {Hom} _{C^{\infty }(M)}(\Gamma (TM),\Gamma (E)),$

де другий тензорний добуток та множина лінійних відображень визначені для модулів над кільцем $C^{\infty }(M)$ гладких функцій на многовиді M, а $\Omega ^{1}(M)$ позначає множину диференціальних 1-форм на M.

Зокрема, розглядаючи останній термін в цій еквівалентності, якщо X є векторним полем на M (тобто гладким перетином дотичного розшарування TM) можна ввести коваріантну похідну за напрямком X:

$\nabla _{X}:\Gamma (E)\to \Gamma (E)$

прийнявши ∇_Xσ = (∇σ)(X). Дана коваріантна похідна задовольняє властивості:

${\begin{aligned}&\nabla _{X}(\sigma _{1}+\sigma _{2})=\nabla _{X}\sigma _{1}+\nabla _{X}\sigma _{2}\\&\nabla _{X_{1}+X_{2}}\sigma =\nabla _{X_{1}}\sigma +\nabla _{X_{2}}\sigma \\&\nabla _{X}(f\sigma )=f\nabla _{X}\sigma +X(f)\sigma \\&\nabla _{fX}\sigma =f\nabla _{X}\sigma .\end{aligned}}$

Навпаки кожен оператор, що задовольняє ці властивості визначає зв'язність на E. Тобто еквівалентно зв'язність можна визначити як оператор

$\nabla :\Gamma (TM)\otimes \Gamma (E)\rightarrow \Gamma (E)$

що задовольняє вказані умови.

Форма зв'язності

Нехай тепер $U\subset M$ — відкрита підмножина, така що $E|_{U}:=\pi ^{-1}(U)$ є тривіальним векторним розшаруванням. Якщо $e_{1},\ldots ,e_{n}\in \Gamma (E|_{U})$ — гладкі перетини, такі що для кожної точки $p\in U$ вектори $e_{1}(p),\ldots ,e_{n}(p)$ утворюють базис векторного простору $\pi ^{-1}(p)$ (такі множини перетинів називаються реперами на $U$), то з використанням позначень вище елементи тензорного добутку $\Omega ^{1}(U)\otimes _{C^{\infty }(U)}\Gamma (E|_{U})$ можна записати як $\sum _{i=1}^{n}\omega _{i}\otimes e_{i}$ для деяких $\omega _{i}\in \Omega ^{1}(U).$

Відповідно для зв'язності $\nabla$ на розшаруванні E на обмеженні $E|_{U}$ можна записати:

$\nabla (e_{i})=\sum _{j=1}^{n}A_{ij}\otimes e_{j},\;\;\;i=1,\ldots ,n$

де $A_{ij}\in \Omega ^{1}(U)$ — елементи матриці, що називається формою зв'язності для $e_{1},\ldots ,e_{n}$ і позначається A.

Навпаки для довільної матриці елементи якої належать $\Omega ^{1}(U)$ і репера $e_{1},\ldots ,e_{n}$ на $U$, формула вище визначає зв'язність на $\Gamma (E|_{U}).$

Оскільки $s\in \Gamma (E|_{U})$ можна однозначно записати як $s=\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i},$ де $s_{i}\in C^{\infty }(U)$, то отримуємо:

$\nabla \left(\sum _{i=1}^{n}s_{i}e_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}ds_{i}\otimes e_{i}+\sum _{i=1}^{n}s_{i}\nabla e_{i}=\sum _{i,j=1}^{n}(ds_{i}+s_{i}A_{ij})\otimes e_{j}.$

Побудова нових зв'язностей зі старих

• Зворотне відображення. З гладким відображенням $f:M'\rightarrow M$ пов'язане векторне розшарування на $M'$, що позначається $f^{*}E$ шаром якого в точці $p$ є шар E в точці $f(p)$. Зв'язність $\nabla$ на E індукує зв'язність $f^{*}\nabla$ на $f^{*}E$. Для гладкого перетину s на E і для вектора $X\in T_{p}M'$, можна визначити :$f^{*}\nabla _{X}(s\circ f)=\nabla _{df(X)}s\circ f$. Локальні перетини на $f^{*}E$ породжуються перетинами виду $s\circ f$ і тому зв'язність визначена попередньою формулою лише для деяких перетинів продовжується до зв'язності визначеної всюди. Вона і називається зворотним відображенням зв'язності $\nabla$.

Якщо $\nabla =\nabla ^{1}$ і $\nabla ^{2}$ — зв'язності визначені відповідно на векторних розшаруваннях E=E₁ і E₂ з єдиним базисним простором M, то також можна ввести зв'язності :

• Зв'язність на прямій сумі $E_{1}\oplus E_{2}$, що позначається $\nabla ^{1}\oplus \nabla ^{2}$ :

$(\nabla ^{1}\oplus \nabla ^{2})_{X}(s_{1}\oplus s_{2})=\nabla _{X}^{1}s_{1}\oplus \nabla _{X}^{2}s_{2}$ ;

• Зв'язність на тензорному добутку $E_{1}\otimes E_{2}$, що позначається $\nabla ^{1}\otimes \nabla ^{2}$ :

$(\nabla ^{1}\otimes \nabla ^{2})_{X}(s_{1}\otimes s_{2})=\nabla _{X}^{1}s_{1}\otimes s_{2}+s_{1}\otimes \nabla _{X}^{2}s_{2}$ ;

• Зв'язність на двоїстому розшаруванні E^* :

$X\cdot \lambda (s)=(\nabla _{X}\lambda )(s)+\lambda (\nabla _{X}s)$ ;

• Зв'язність на розшаруванні $End(E_{1},E_{2})$ :

$\nabla _{X}(\phi (s))=(\nabla _{X}\phi )(s)+\phi (\nabla _{X}s)$.

Паралельне перенесення

Нехай додатково до всіх понять введених вище також $\gamma :[0,1]\to M$— гладка крива і ${\dot {\gamma }}(t)$ — відповідне дотичне поле. Довільний гладкий перетин $s\in \Gamma (E)$ тоді індукує перетин вздовж кривої $s(t):=s(\gamma (t)).$

Зв'язність $\nabla :\Gamma (TM)\otimes \Gamma (E)\rightarrow \Gamma (E)$ однозначно визначає оператор $\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}s(t)$ значення якого теж є гладким перетином вздовж кривої.

Перетин $s(t)$ називається паралельним вздовж кривої $\gamma (t)$, якщо виконується умова

$\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}s(t)=0,\;\;\forall t\in [0,1].$

Паралельний вздовж кривої перетин має задовольняти систему диференціальних рівнянь і з теорії цих рівнянь випливає існування і єдиність такого перетину для заданого початкового значення $s(0).$ Таким чином для даної кривої $\gamma (t)$ визначено відображення з векторного простору $E_{\gamma (0)}$ у векторний простір $E_{\gamma (1)}$, яке загалом залежить від кривої, що сполучає точки і введеної на розшаруванні зв'язності. Визначене таким чином відбраження є лінійним ізоморфізмом цих просторів. Більш загально лінійний ізоморфізм визначений між простором $E_{\gamma (0)}$ і просторами над усіма точками кривої $\gamma (t)$. Ці відображення називають паралельними перенесенями векторів з $E_{\gamma (0)}$ вздовж кривої $\gamma (t).$

Оператори вищих порядків

Нехай E → M — векторне розшарування. На ньому можна визначити простори векторозначних диференціальних форм

$\Omega ^{r}(E)=\Omega ^{r}(M)\otimes _{C^{\infty }(M)}\Gamma (E).$

Нехай також за означенням

$\Omega ^{0}(E)=\Gamma (E).\,$

Тоді в цих позначеннях зв'язність на E → M є лінійним відображенням

$\nabla :\Omega ^{0}(E)\to \Omega ^{1}(E).$

На просторах $\Omega ^{r}(E)$ можна ввести добуток. Нехай $E_{1},E_{2}$ — векторні розшарування над многовидом M. Тоді можна ввести білінійний добуток

$\wedge :\left(\Omega ^{i}(E_{1}),\Omega ^{j}(E_{2})\right)\to \Omega ^{i+j}(E_{1}\otimes E_{2}),$

прийнявши

$(\omega \otimes s)\wedge (\tau \otimes t)=\omega \wedge \tau \otimes (t\otimes s),\;\;\forall \;\omega \in \Omega ^{i}(M),\tau \in \Omega ^{j}(M),s,t\in \Gamma (E).$

Також для $E=M\otimes \mathbb {R}$ множина $\Omega ^{r}(E)$ є ізоморфною до множини $\Omega ^{r}(M)$.

Тоді існує єдина множина лінійних операторів

$d^{\nabla }:\Omega ^{r}(E)\to \Omega ^{r+1}(E).$

для яких виконуються умови:

• $d^{\nabla }=\nabla ,\;\;j=0$
• $d^{\nabla }(\omega \wedge \tau )=d\omega \wedge \tau +(-1)^{i}\omega \wedge d^{\nabla }\tau ,\;\;\forall \;\omega \in \Omega ^{i}(M)\cong \Omega ^{i}(M\otimes \mathbb {R} ),\;\tau \in \Omega ^{j}(E).$

А саме для $\omega \in \Omega ^{j}(M),s\in \Gamma (E)$ дане відображення однозначно визначене як:

$d^{\nabla }(\omega \otimes s)=d\omega \otimes s+(-1)^{j}\omega \wedge \nabla s.$

Ці відображення можна розглядати як узагальнення зовнішньої похідної, проте у цьому випадку не обов'язково (d^∇)² = 0. Натомість оператор (d^∇)² є пов'язаним з кривиною у векторних розшаруваннях.

Кривина

Кривиною зв'язності ∇ на E → M є 2-форма F^∇ на M із значеннями в розшаруванні ендоморфізмів End(E) = E⊗E*. Тобто

$F^{\nabla }\in \Omega ^{2}(\mathrm {End} \,E)=\Gamma (\mathrm {End} \,E)\otimes _{C^{\infty }(M)}\Omega ^{2}(M)).$

Її можна визначити рівністю

$F^{\nabla }(X,Y)(s)=\nabla _{X}\nabla _{Y}s-\nabla _{Y}\nabla _{X}s-\nabla _{[X,Y]}s$

де X іY є векторними полями на M, а s є гладким перетином E.

Еквівалентно $F^{\nabla }=d^{\nabla }\circ \nabla :\Omega ^{0}(E)\to \Omega ^{2}(E).$ Дане відображення є $C^{\infty }(M)$-лінійним гомоморфізмом модулів.

Див. також

• Афінна зв'язність
• Векторне розшарування
• Зв'язність (диференціальна геометрія)
• Зв'язність на головних розшаруваннях
• Зв'язність Леві-Чивіти

Література

• Chern, Shiing-Shen (1951), Topics in Differential Geometry, Institute for Advanced Study, mimeographed lecture notes
• Darling, R. W. R. (1994), Differential Forms and Connections, Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 0-521-46800-0
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996) [1963], Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley Classics Library, New York: Wiley Interscience, ISBN 0-471-15733-3
• Koszul, J. L. (1950), Homologie et cohomologie des algebres de Lie, Bulletin de la Société Mathématique, 78: 65—127
• Madsen, I. H.; Tornehave, J (1997). From Calculus to Cohomology: De Rham Cohomology and Characteristic Classes. Cambridge University Press. ISBN 978-0521580595.
• Wells, R.O. (1973), Differential analysis on complex manifolds, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90419-0