Носій модуля

У комутативній алгебрі, носій модуля M над комутативним кільцем A є множиною всіх простих ідеалів ${\mathfrak {p}}$ A для яких $M_{\mathfrak {p}}\neq 0$. Ця множина позначається $\operatorname {Supp} (M)$. Згідно з означенням носій є підмножиною спектру кільця A.

Властивості

• Якщо $M$ є модулем над кільцем $A$ породженим єдиним елементом $x$ і $I=\operatorname {Ann} (x)$, то $\operatorname {Supp} (M)=V(I)$, тобто множині усіх простих ідеалів, що містять ідеал $I.$

Нехай ${\mathfrak {p}}$ — простий ідеал у кільці $A$. Тоді, згідно з означенням локалізації модуля елемент $x/1=0$ у $M_{\mathfrak {p}}$ тоді і тільки тоді, коли існує елемент $s\in A\setminus {\mathfrak {p}}$, такий що $sx=0$, тобто якщо $(A\setminus {\mathfrak {p}})\cap \operatorname {Ann} (x)\neq \emptyset .$ Відповідно для того щоб ця рівність не виконувалася (і, як наслідок, модуль $M_{\mathfrak {p}}$ був ненульовим), необхідно і достатньо щоб ${\mathfrak {p}}$ містив ідеал $\operatorname {Ann} (x)=I$, що і треба було довести.

• $M=0$ якщо і тільки якщо його носій є пустою множиною.

Якщо модуль є нульовим, то і всі його локалізації є нульовими. Навпаки, якщо є хоча б один ненульовий елемент $x\in M$, то як і в попередній властивості, довільний простий ідеал, що містить $\operatorname {Ann} (x)$ належить $\operatorname {Supp} (M)$.

• Якщо $M$ є сумою підмодулів $M_{\lambda }$, тоді $\operatorname {Supp} (M)=\cup _{\lambda }\operatorname {supp} (M_{\lambda }).$

Оскільки для всіх $M_{\lambda }$ справедливим є включення $(M_{\lambda })_{\mathfrak {p}}\subset M_{\mathfrak {p}}$ то $\operatorname {Supp} (M)\supset \cup _{\lambda }\operatorname {supp} (M_{\lambda }).$

Навпаки, якщо ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Supp} (M)$, то існує $x\in M$ для якого $\operatorname {Ann} (x)$ не є підмножиною ${\mathfrak {p}}$. Але цей елемент належить деякому $M_{\lambda }$ і тоді ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Supp} (M_{\lambda })$.

• Простий ідеал ${\mathfrak {p}}$ є елементом носія скінченнопородженого модуля $M$ тоді і тільки тоді, коли ${\mathfrak {p}}\supset \operatorname {Ann} (M)$. Зокрема носій модуля є замкнутою множиною у топології Зариського на Spec(A).

Якщо ${\mathfrak {p}}$ належить носію модуля, то існує такий елемент $x\in M$, що $sx\neq 0$ для всіх $s\in A\setminus {\mathfrak {p}}$ Але тоді ${\mathfrak {p}}\supset \operatorname {Ann} (x)$ і необхідний результат отримується з того, що $\operatorname {Ann} (x)\supset \operatorname {Ann} (M)$.

Навпаки, якщо $m_{1},\ldots m_{n}$ — породжуюча множина модуля, то $\operatorname {Ann} (M)=\bigcap _{i=1}^{n}\operatorname {Ann} (m_{i})$ і якщо ${\mathfrak {p}}\supset \operatorname {Ann} (M)$ то також ${\mathfrak {p}}\supset \operatorname {Ann} (m_{i})$ для деякого $m_{i}$ і тому ${\mathfrak {p}}$ належить носію модуля.

• Якщо $M$ є скінченнопородженим A-модулем і I є ідеалом у A, тоді $\operatorname {Supp} (M/IM)$ є множиною всіх простих ідеалів, що містять $I+\operatorname {Ann} (M).$ Ця множина є рівною $V(I)\cap \operatorname {Supp} (M)$.
• Якщо ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Supp} (M)$ то $V({\mathfrak {p}})\subset \operatorname {Supp} (M).$

Якщо ${\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {q}}$ — прості ідеали, то з властивостей локалізації $M_{\mathfrak {p}}=(M_{\mathfrak {q}})_{\mathfrak {p}}$, тож якщо $M_{\mathfrak {p}}\neq 0$, то також $M_{\mathfrak {q}}\neq 0$ і тому ${\mathfrak {q}}$ теж є елементом носія модуля.

• Нехай $0\to M'\to M\to M''\to 0$ — точна послідовність A-модулів. Тоді

  $\operatorname {Supp} (M)=\operatorname {Supp} (M')\cup \operatorname {Supp} (M'').$ Це об'єднання може не бути диз'юнктивним.

Згідно з властивостями локалізації, при умовах твердження послідовність $0\to M'_{\mathfrak {p}}\to M_{\mathfrak {p}}\to M''_{\mathfrak {p}}\to 0$ теж буде точною. З означень точної послідовності тоді $M_{\mathfrak {p}}$ буде нульовим модулем тоді і тільки тоді, коли нульовими модулями будуть як $M'_{\mathfrak {p}}$, так і $M''_{\mathfrak {p}}$. Тому ${\mathfrak {p}}$ належатиме $\operatorname {Supp} (M)$ тоді і тільки тоді, коли він належатиме хоча б одній із множин $\operatorname {Supp} (M')$ і $\operatorname {Supp} (M'')$.

• Якщо $M,N$ є скінченнопородженими A-модулями, то

  $\operatorname {Supp} (M\otimes _{A}N)=\operatorname {Supp} (M)\cap \operatorname {Supp} (N).$

Для довільного простого ідеалу ${\mathfrak {p}}\;\;$ $(M\otimes _{A}N)_{\mathfrak {p}}\cong M_{\mathfrak {p}}\otimes _{A_{\mathfrak {p}}}N_{\mathfrak {p}}$. Оскільки $A_{\mathfrak {p}}$ — локалне кільце, то звідси $(M\otimes _{A}N)_{\mathfrak {p}}\neq 0$, тоді і тільки тоді коли $M_{\mathfrak {p}}\neq 0$ і $N_{\mathfrak {p}}\neq 0$, що доводить твердження.

• Нехай $M$ — скінченнопороджений модуль над нетеровим кільцем $A$. Тоді ${\mathfrak {p}}\in \operatorname {Supp} (M)$ якщо і тільки якщо ${\mathfrak {p}}\supset {\mathfrak {p}}'$, де ${\mathfrak {p}}'$ — деякий асоційований простий ідеал модуля $M$.

Оскільки кожен асоційований простий ідеал містить анулятор модуля, то якщо простий ідеал містить асоційований простий ідеал, то він містить анулятор і є елементом носія модуля.

При умовах твердження існує скінченна множина асоційованих простих ідеалів, перетин яких рівний радикалу анулятора. Якщо ${\mathfrak {p}}$ не містить жодного з цих ідеалів, то він не містить і їх перетину і тому не містить анулятор модуля. Тоді ${\mathfrak {p}}$ не належить носію модуля.

Носій квазікогерентного пучка

Якщо F є квазікогерентним пучком на схемі X, носій F є множиною всіх точок x∈X для яких локальні кільця F_x є ненульовими. Це означення є подібним до означення носія функції на просторі X, що і спричинило використання терміну "носій". Більшість властивостей носіїв дослівно переносяться із модулів на квазікогерентні пучки. Наприклад, носій когерентного пучка є замкнутим підпростором у X.

Якщо M є модулем над кільцем A, тоді носій M як модуля є рівним носію асоційованого квазікогерентного пучка ${\tilde {M}}$ на афінній схемі Spec(R). Крім того, якщо $\{U_{\alpha }=\operatorname {Spec} (A_{\alpha })\}$ є афінним покриттям схеми X, тоді носій квазікогерентного пучка F є рівним об'єднанню носіїв асоційованих модулів M_α над кожним A_α.

Приклади

• Для скінченної комутативної групи $M$, що розглядається як модуль над кільцем цілих чисел, $\operatorname {Supp} (M)$ складається з усіх простих ідеалів $(p)$, де просте число $p$ ділить порядок групи $M$.
• У випадку коли модуль не є скінченнопородженим не обов'язково кожен ідеал, що містить анулятор є елементом носія модуля. Може виконуватися строге включення $\operatorname {Supp} (M)\subset V(\operatorname {Ann} (M))$. Наприклад $A=\mathbb {Z}$, $M=\oplus _{n\in \mathbb {Z} }\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$. Тоді $\mathrm {Ann} (M)=0$, але $M\otimes \mathbb {Q} =0$. Тому нульовий ідеал належить $V(\mathrm {Ann} (M))$ але не носію модуля $M$. Носієм є множина максимальних ідеалів кільця $\mathbb {Z}$.

Див. також

• Асоційований простий ідеал

Література

• Gopalakrishnan, N. S. (1984). Commutative Algebra. Oxonian Press. с. 290.
• Reid, Miles (1996). Undergraduate Commutative Algebra. Cambridge University Press. ISBN 0-521-45889-7.