Теорема про універсальні коефіцієнти

Теорема про універсальні коефіцієнти є результатом у гомологічній алгебрі, що пов'язує гомологічні і когомологічні групи із довільними коефіцієнтами для ланцюгового комплексу із гомологічними і когомологічними групами із цілочисловими коефіцієнтами  ·  ·  · . Теорема часто застосовується у алгебричній топології. Типовим застосуванням є обчислення гомологічних та когомологічних груп із коефіцієнтами у деякій групі $G$ (серед найважливіших для застосувань є групи $\mathbb {Q}$ і $\mathbb {Z} _{p}$) через обчислення для коефіцієнтів $\mathbb {Z}$, які часто є простішими для обчислення. Теорему вперше довели у 1942 році Самуель Ейленберг і Сандерс Маклейн · . У сучасній версії її найчастіше стверджують із використанням функторів Tor і Ext, за допомогою коротких точних послідовностей .

Перед загальним твердженням теореми можна розглянути її на простому прикладі. Двоїстість між ланцюгами і коланцюгами породжує пару $\langle -,-\rangle :H^{i}(C^{\bullet })\otimes H_{i}(C_{\bullet })\to \mathbb {Z}$ для кожного ланцюгового комплекса $C$. Звідси можна отримати гомоморфізм між абелевими групами $H^{i}(C^{\bullet })\to \operatorname {Hom} \left(H_{i}(C),\mathbb {Z} \right),$ для якого образом кожного $i$-коцикла $f$ є гомоморфізм $\phi _{f}:x\mapsto f(x)$. Теорема про універсальні коефіцієнти узагальнює цю конструкцію на випадок якщо коефіцієнти гомологічних і когомологічних груп є іншими, ніж $\mathbb {Z} .$

Твердження теореми

Нехай C є ланцюговим комплексом із цілими коефіцієнтами, а $H_{i}(C)$ і $H^{i}(C)$ позначають відповідні гомологічні і когомологічні групи. Для деякої абелевої групи G нехай $H_{i}\left(C;G\right)$ позначає гомологічні групи із коефіцієнтами G (тобто гомологічні групи для ланцюгового комплекса $C\otimes G$), а $H^{i}\left(C;G\right)$ позначає відповідні когомологічні групи.

Для когомологічних груп

При вказаних вище позначеннях послідовність нижче є точною:

$$0\to \operatorname {Ext} \left(H_{i-1}(C),G\right)\to H^{i}\left(C;G\right)\to \operatorname {Hom} \left(H_{i}(C),G\right)\to 0$$

Послідовність розщеплюється але не в натуральний спосіб.

Теорему і її доведення можна продовжити для одержання теореми Кюннета  · .

Для гомологічних груп

У випадку гомології замість функтора Ext використовується функтор Tor. Послідовність нижче є точною:

$$0\to H_{i}(C)\otimes G\to H_{i}\left(C;G\right)\to \operatorname {Tor} \left(H_{i-1}(C),G\right)\to 0$$

Як і у випадку когомології ця послідовність розщеплюється але не в натуральний спосіб.

Ненатуральність розщеплення

Ненатуральність розщеплення має важливі наслідки і є одною із перешкод для практичного застосування теореми. Для випадку гомологічних груп розщеплення послідовності осначає, що $H_{i}\left(C;G\right)\simeq H_{i}(C)\otimes G\oplus \operatorname {Tor} \left(H_{i-1}(C),G\right)$ і при цьому у точній послідовності у твердженні теореми перше відображення є вкладення як перший доданок прямої суми, а друге відображення є проєкцією на другий доданок.

Ненатуральність такого розщеплення означає, що існують ланцюгові комплекси C і D і ланцюгове відображення f між ними, таке що при записах $H_{i}\left(C;G\right)\simeq H_{i}(C)\otimes G\oplus \operatorname {Tor} \left(H_{i-1}(C),G\right)$ і $H_{i}\left(D;G\right)\simeq H_{i}(D)\otimes G\oplus \operatorname {Tor} \left(H_{i-1}(D),G\right)$ індуковане відображення $f_{*}:H_{i}\left(C;G\right)\to H_{i}\left(D;G\right)$ не має вигляд $f_{*}(H_{i}\left(C;G\right))=f_{*}(H_{i}(C))\otimes G\oplus \operatorname {Tor} \left(f_{*}(H_{i-1}(C)),G\right).$

Для прикладу коли таке не відбувається розглянемо сингулярні гомології на дійсній проєктивній площині $\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {R} )$ і сфері. $\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {R} )$ можна розглядати як фактор-простір одиничної сфери щодо антиподального відображення $\phi :(x,y)\mapsto (-x,-y)$. Зокрема існує канонічне вкладення $\psi :\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {R} )\to \mathbb {S} ^{2}$ проективної площини у сферу.

• Сингулярні гомологія із коефіцієнтами $\mathbb {Z}$: для дійсної проективної площини $H_{1}(\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {R} ))=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$, усі інші додатні гомологічні групи є тривіальними. Для сфери $H_{2}(\mathbb {S} ^{2})=\mathbb {Z}$, усі інші додатні гомологічні групи є тривіальними.
• Відображення $\psi$ породжує ланцюговий гомоморфізм між сингулярними ланцюговими комплексами і, як наслідок, гомоморфізм між гомологічними групами $\psi _{*}:H_{*}(\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {R} ))\to H_{*}(\mathbb {S} ^{2}),$, який є нульовим для всіх груп.
• Згідно теореми про універсальні коефіцієнти існує розклад $H_{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\simeq H_{i}(X)\otimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \oplus \operatorname {Tor} (H_{i-1}(X),\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$
• Зокрема $H_{2}(\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {R} );\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\simeq 0\oplus \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ і $H_{2}(\mathbb {S} ^{2};\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \oplus 0$

Якби ці розклади були натуральними то гомоморфізм $\psi _{*,2}$ для гомологічних груп із коефіцієнтами $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ мав би бути нульовим оскільки $\psi _{*}(H_{2}(\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {R} )))=\psi _{*}(0)=0$ і $\psi _{*}(H_{1}(\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {R} )))=\psi _{*}(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=0$ (оскільки $H_{*}(\mathbb {S} ^{2})=0$) то ж і $\operatorname {Tor} (H_{i-1}(X),\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=0$.

Натомість пряме обчислення показує, що $\psi _{*,2}:H_{2}(\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {R} );\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\to H_{2}(\mathbb {S} ^{2};\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ є ізоморфізмом, а не нульовим відображенням.

Доведення теореми

Доведення подано для випадку когомолії. Доведення у випадку гомології є подібним.

Нехай $(C_{\bullet },\delta )$ є коланцюговим комплексом вільних $Z$-модулів (вільних абелевих груп) і $Z_{\bullet }$ позначає його коцикли, а $B_{\bullet }$ його кограниці. Оскільки $Z_{\bullet }$ і $B_{\bullet }$ для кожного індекса є підгрупами вільної абелевої групи, то вони теж є вільними модулями. Розглянемо тепер дві точні послідовності:

${\begin{aligned}&0\to Z_{p}\ {\overset {i}{\to }}\ C_{p}\ {\overset {\partial }{\to }}\ B_{p-1}\to 0\\&0\to B_{p}\xrightarrow {j} Z_{p}\xrightarrow {q} H_{p}(C)\to 0\end{aligned}}$

Оскільки $B_{p-1}$ у першій з них є вільним модулем, то послідовність розщеплюється і тому можна підібрати відповідну проєкцію $f:C_{\bullet }\to Z_{\bullet }$, а також застосування функтора $\operatorname {Hom} (-,G)$ до цієї послідовності теж дає точні послідовність. У другій послідовності натомість $H_{p}(C)$ у загальному випадку не є вільною групою, тому після застосування функтора $\operatorname {Hom} (-,G)$ утворюється послідовність яка є лише точною зліва. Також друга точна послідовність є вільною резольвентою групи $H_{p}(C)$ тож за означенням функтора Ext можна записати $\operatorname {Ext} (H_{p},G)\simeq \operatorname {Hom} (B_{p-1},G)/j^{*}(\operatorname {Hom} (Z_{p-1},G))$.

Також позначаючи $\delta \ :\ \operatorname {Hom} (C_{p},G)\to \operatorname {Hom} (C_{p+1},G)$ — стандартне кограничне відображення у коланцюговому комплексі із означення цього відображення і попередніх відображеня можна записати $\delta =\partial ^{*}\circ j^{*}\circ i^{*},$ де всі відображення $\partial ^{*},j^{*},i^{*}$ є образами відповідних відображень у точних послідовностях вище при дії функтора $\operatorname {Hom} (-,G)$.

На основі всіх цих властивостей і означень можна побудувати комутативну діаграму:

$${\begin{matrix}&&&&0&&0\\&&&&\uparrow &&\downarrow \\0&\to &\operatorname {Hom} (H_{p},G)&\xrightarrow {q^{*}} &\operatorname {Hom} (Z_{p},G)&\xrightarrow {j^{*}} &\operatorname {Hom} (B_{p},G)\\&&&&f^{*}\downarrow \uparrow i^{*}&&\downarrow \partial ^{*}\\&&\operatorname {Hom} (C_{p-1},G)&\xrightarrow {\delta } &\operatorname {Hom} (C_{p},G)&\xrightarrow {\delta } &\operatorname {Hom} (C_{p+1},G)\\&&\downarrow i^{*}&&\uparrow \partial ^{*}\\&&\operatorname {Hom} (Z_{p-1},G)&\xrightarrow {j^{*}} &\operatorname {Hom} (B_{p-1},G)&\to &\operatorname {Ext} (H_{p},G)&\to &0\\&&\downarrow &&\uparrow \\&&0&&0\end{matrix}}$$

За побудовою кожен стовпець і перший і третій рядки у цій діаграмі є точними послідовностями, а у другому рядку образ першого відображення загалом є лише підмножиною ядра другого.

Із першого рядка діаграми випливає, що $\operatorname {Hom} (H_{p}(C),G)$ можна ідентифікувати із $\ker j^{*}$. Також із ін'єктивності $\partial ^{*}$ випливає, що $\alpha \in \operatorname {Hom} (C_{p},G)$ є коциклом (тобто ($\delta (\alpha )=0$) тоді і тільки тоді коли $i^{*}(\alpha )\in \ker j^{*}.$ Тому одержується гомоморфізм $\Phi$ із $Z^{i}\left(C;G\right)$ у $\operatorname {Hom} (H_{p}(C),G)$ (через ідентифікацію останньої із $\ker j^{*}$) і до того ж образ $f^{*}$ на діаграмі теж належить $Z^{i}\left(C;G\right)$, тож гомоморфізм $\Phi$ є сюр'єктивним. Із точної послідовності у другому стовпці діаграми маємо, що ядром цього гомоморфізму є $\partial ^{*}(\operatorname {Hom} (B_{p-1},G))$ адже ця множина є очевидно підмножиною $Z^{i}\left(C;G\right)$. Якщо при цьому елемент є кограницею, тобто $\alpha =\delta (\beta ),$ із комутативності діаграми також $\alpha =\partial ^{*}\circ j^{*}\circ i^{*}(\beta )$ і тому $\alpha \in \partial ^{*}(\operatorname {Hom} (B_{p-1},G))$, тож $\Phi (\alpha )=0.$ Із загальних властивостей алгебричних структур випливає, що $\Phi$ породжує гомоморфізм ${\bar {\Phi }}\ :\ H^{p}(C;G)\to \operatorname {Hom} (H_{p}(C),G)$ і$\ker \left({\bar {\Phi }}\right)\simeq \partial ^{*}(\operatorname {Hom} (B_{p-1},G))/\operatorname {Im} (\delta )\simeq \operatorname {Hom} (B_{p-1},G)/j^{*}(i^{*}(\operatorname {Hom} (C_{p-1},G))).$ Сюр'єктивність $i^{*}$ дозволяє ідентифікувати останню групу із $\operatorname {Hom} (B_{p-1},G)/j^{*}(\operatorname {Hom} (Z_{p-1},G))$ тобто $\operatorname {Ext} (H_{p},G).$

Застосування

• Для всіх $\mathbb {Z}$-модулів $M$ справедливим є твердження $\operatorname {Tor} (M,\mathbb {Q} )=0$. Тому із теореми про універсальні коефіцієнти $H_{i}(X;\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {Q} \simeq H_{i}(X;\mathbb {Q} )$. Зокрема для дійсної проективної площини гомологія над $\mathbb {Q}$ є рівною гомології точки.
• Якщо $H_{i-1}(X;G)$ є вільною абелевою групою, то $H_{i}(X;G)\simeq H_{i}(X)\otimes G$.
• Для всіх скінченнопороджених абелевих груп $H$ виконується властивість $\operatorname {Ext} \left(H,\mathbb {Z} \right)\simeq H_{\text{tors}}.$ Зокрема, якщо група $G$ є полем, то не існує кручення і як векторні простори $H_{i}\simeq H^{i}$.
• Якщо $X$ є CW-комплексом із скінченною кількістю клітин кожної розмірності то $H_{i}(X)$ є скінченнопородженими і можуть бути записаними як $H_{i}(X)\simeq \mathbb {Z} ^{b_{i}}\oplus T_{i}$ де $T_{i}$ є підгрупою кручення і ранг $b_{i}$ називається $i$-им числом Бетті. Із використанням теореми про універсальні коефіцієнти можна показати, що $H^{i}(X)\simeq \mathbb {Z} ^{b_{i}}\oplus T_{i-1}$.
• Із попереднього разом із двоїстістю Пуанкаре, де її можна застосувати (якщо $X$ є орієнтовним многовидом розмірності $n$ без границі), одержується рівність $b_{i}=b_{n-i}$.

Див. також

• Гомологія (математика)
• Когомологія
• Ланцюговий комплекс
• Функтор Ext
• Функтор Tor

Література

• Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0. Архів оригіналу за 20 лютого 2012. Процитовано 31 липня 2020.
• Hilton, Peter J.; Wylie, Shaun (1967), Homology Theory, New York: Cambridge University Press, ISBN 0-521-09422-4, MR 0115161
• Maunder, Charles Richard Francis (1980), Algebraic topology, Cambridge University Press, ISBN 9780521231619
• May, J. Peter (1999), A Concise Course in Algebraic Topology, University of Chicago Press
• Spanier, Edwin H. (1966), Algebraic Topology, Springer, ISBN 0-387-94426-5
• Weibel, Charles A (1994), An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 38, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55987-4, MR 1269324