Група Брауера

У математиці групою Брауера поля k називається група класів еквівалентності скінченновимірних центральних простих алгебр над полем k із груповою операцією заданою тензорним добутком.

Група Брауера була визначена і вивчалася в серії робіт Брауера, Нетер, Алберта, Гассе і інших починаючи з 20-х років 20 століття. Найповніші результати, аж до повного обчислення групи Брауера, були отримані для числових полів у зв'язку з розвитком теорії полів класів. У термінах групи Брауера формулюється загальна форма закону взаємності.

Узагальненням поняття групи Брауера є група Брауера—Гротендіка, що визначається аналогічно група Брауера з заміною центральних простих алгебр на алгебри Адзумаї.

Означення

Алгебра A над полем k називається центральною простою, якщо її центр є рівним k і вона є простим кільцем. Якщо А і В є двома центральними простими алгебрами над полем k, то і їх тензорний добуток $A\otimes _{k}B$ є центральною простою алгеброю.

Якщо A є центральною простою алгеброю над полем k то центральною простою алгеброю буде також обернена алгебра, тобто алгебра А^op побудована на тому самому векторному просторі із тією ж адитивною структурою і множенням на скаляр але із множенням заданим як $(ab)_{A^{op}}=(ba)_{A}.$ До того ж $A\otimes _{k}A^{op}\cong M(n,k),$ де n — розмірність А над полем k.

Згідно теореми Веддерберна скінченновимірна проста алгебра A є ізоморфною матричній алгебрі M(n,S) для деякого тіла S. Дві скінченновимірні центральні прості алгебри A ~ M(n,S) і B ~ M(m,T) над полем F називаються подібними (еквівалентними за Брауером), якщо тіла S і T є ізоморфними.

Еквівалентність Брауера можна задати також і в інший спосіб: скінченновимірні центральні прості алгебри A і B над полем k є еквівалентними якщо для деяких натуральних чисел n і m алгебра $A\otimes _{k}M(n,k)$ є ізоморфною алгебрі $B\otimes _{k}M(m,k).$

З означень очевидно, що у кожному класі Брауера міститься рівно одна алгебра з діленням.

Для класів Брауера [A] і [B] тепер можна ввести $[A][B]=\left[A\otimes _{k}B\right]$. Дана операція є коректно визначеною, тобто якщо A ~ C і B ~ D (у введеному відношенні еквівалентності), то також $A\otimes _{k}B\sim C\otimes _{k}D$.

Оскільки $A\otimes _{k}k\cong k\otimes _{k}A\cong A$ то $[A][k]=[k][A]=[A]$ і клас еквівалентності поля k (який також містить всі повні матричні алгебри M(m,k)) є нейтральним елементом для даної бінарної операції.

Також [A][А^op ] = [А^op ][A] = [M(m,k)] = [k], тобто клас [А^op ] є оберненим до [A].

Із властивостей тензорного добутку також випливає, що введена операція є комутативною і асоціативною і тому множина класів еквівалентності із введеною операцією є абелевою групою, яка називається групою Брауера поля k і позначається ${\textrm {Br}}(k).$

Приклади

• Група Брауера дорівнює 0 для будь-якого сепарабельно замкнутого поля і будь-якого скінченного поля.
• Для поля дійсних чисел група Брауера є циклічною групою 2-го порядку і її ненульовий елемент — клас алгебри кватерніонів.
• Якщо k — поле p-адичних чисел або будь-яке повне дискретно нормоване локально компактне поле, то його група Брауера є ізоморфною $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ (тут $\mathbb {Q}$ — адитивна група раціональних чисел, $\mathbb {Z}$ — адитивна група цілих чисел). Цей факт є важливим в локальній теорії полів класів.

Властивості

• Група Брауера є абелевою.
• Група Брауера завжди є періодичною групою. Порядок будь-якого її елемента ділить число n, де n^2 — ранг тіла, що представляє цей елемент.
• Група Брауера функторіально залежить від k, тобто якщо K — розширення поля k, то визначений гомоморфізм ${\textrm {Br}}(k)\to {\textrm {Br}}(K).$ Його ядро, що позначається ${\textrm {Br}}(K/k)$ складається з класів алгебр, що розщеплюються над К.

Теорія полів класів

Нехай k — поле алгебричних чисел скінченного степеня або поле алгебричних функцій від однієї змінної із скінченним полем констант. Тоді має місце точна послідовність груп:

$0\rightarrow {\textrm {Br}}(k){\xrightarrow {\textrm {inv}}}\bigoplus _{v}{\textrm {Br}}(k_{v}){\xrightarrow {\sum }}\mathbf {Q} /\mathbf {Z} \rightarrow 0,$

де v пробігає всі нормування поля k, а $k_{v}$ — відповідні поповнення поля k, гомоморфізм ${\textrm {inv}}$ індукується природними вкладеннями $k\to k_{v}.$ Образ елемента з ${\textrm {Br}}(k)$ в ${\textrm {Br}}(k_{v})$ називається локальним інваріантом, гомоморфізм $\sum$ є сумою локальних інваріантів. Цей факт встановлюється в глобальній теорії полів класів. Якщо k — поле алгебричних функцій від однієї змінної над алгебрично замкнутим полем констант, то його група Брауера є нульовою (теорема Тзена).

Когомології Галуа

Конструкції схрещених добутків за допомогою систем факторів призводять до когомологічної інтерпретації група Брауера. Для будь-якого нормального розширення K/k має місце ізоморфізм

${\textrm {Br}}(K/k)\cong H^{2}(K,K^{*}),$

де $H^{2}(K,K^{*})$ — група двовимірних когомологій Галуа з коефіцієнтами в мультиплікативній групі $K^{*}$ поля K. Більш того, група ${\textrm {Br}}(k)$ є ізоморфною $H^{2}({\bar {k}},{\bar {k}}^{*}),$ де ${\bar {k}}$ — сепарабельне замикання поля k. Зіставлення центральній простій алгебрі її класу в група Брауера здійснюється за допомогою кограничного оператора

$H^{1}(K,PGL(n))\rightarrow H^{2}(K,K^{*})$

в когомологічній послідовності для точної послідовності груп

$1\to G^{*}\to GL(n)\to PGL(n)\to 1.$

де $GL(n)$ і $PGL(n)$ — лінійна і проективна групи матриць порядку $n\prod n.$ Тут група $H^{1}(K,PGL(n))$ інтерпретується як множина класів з точністю до k-ізоморфізму центральних простих алгебр рангу $n^{2}$ над полем k, що розщеплюються над K або як множина класів k-ізоморфних многовидів Брауера — Севері розмірності n-1, що мають K-точку.

Когомологічна інтерпретація група Брауера дозволяє розглядати її як групу класів центральних розширень групи Галуа сепарабельного замикання ${\bar {k}}/k$ за допомогою групи ${\bar {k}}^{*}.$

Див. також

• Центральна проста алгебра

Література

• Ю. А. Дрозд, В. В. Кириченко Конечномерные алгебры, Киев: «Вища школа», 1980, 192с.
• Draxl, P. K. (1983). Skew Fields. London Mathematical Society Lecture Note Series. Т. 81. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521272742.
• Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Central Simple Algebras and Galois Cohomology. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Т. 101. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-86103-9. MR 2266528.
• Guillot, Pierre (2018). A Gentle Course in Local Class Field Theory: Local Number Fields, Brauer Groups, Galois Cohomology. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781108377751.
• Saltman, David J. (1999). Lectures on Division Algebras. Regional Conference Series in Mathematics. Т. 94. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0979-2. MR 1692654.