Парадокс Гільберта

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Парадокс Гільберта про Grand Hotel (великий готель) - це математичний достовірний парадокс (несуперечливе припущення, що є дуже нелогічним) про незлічені множини, представлений німецьким математиком Давидом Гільбертом (1862-1943). Давид Гільберт розробив цей парадокс в 1920-х роках, щоб проілюструвати таємничі властивості нескінченності. Парадокс полягає в тому, що в повністю заселений нескінченно великий готель можна додатково заселити нескінченну кількість гостей.

Парадокс[ред.ред. код]

Скінченно багато нових гостей[ред.ред. код]

Розглянемо гіпотетичний готель із злічено нескінченною кількістю номерів, кожен з яких зайнятий - тобто кожен номер містить гостя. Можна подумати, що готель не в змозі вмістити нових гостей, як було б у випадку з кінцевим числом кімнат.

Нехай новий гість прибуває і хоче бути розміщеним в готелі. Так як готель має нескінченно багато кімнат, ми можемо переселити гостя, що займає номер 1, у номер 2, гостя з номера 2 у номер 3 і так далі, і поселити нового гостя в номері 1. Повторюючи цю процедуру, можна звільнити місце для будь-якого зліченого числа нових гостей.

Нескінченно багато нових гостей[ред.ред. код]

Також можливо розмістити "злічено нескінченне" число нових гостей: просто перемістити гостя, який займає номер 1 в номер 2, гостя, що займає номер 2 в номер 4, гостя з номеру 3 в номер 6 і так далі з номера n в номер 2*n, тоді всі непарні номери будуть вільними для нових гостей.

Нескінченно багато автобусів[ред.ред. код]

Можна розмістити злічену нескінченність завантажених автобусів, в кожному з яких злічена нескінченність пасажирів. Можливість зробити це залежить від місць у автобусах, що вже пронумеровані (в якості альтернативи, менеджер готелю повинен мати аксіому зліченого вибору). Спочатку треба звільнити непарні номери, як зазначено вище, а потім розмістити пасажирів з першого автобуса в кімнати 3n для n = 1, 2, 3, ..., пасажирів з другого автобуса в кімнати 5 n для n = 1, 2, ... і так далі; для автобуса з номером i ми використовуємо кімнати рN, де р є (i + 1) -те просте число.

Ви також можете вирішити задачу, дивлячись на номерні знаки автобусів і номери місць для пасажирів (якщо місця не пронумеровані, пронумерувати їх). Вважати готель у якості автобуса №0, а початкові номера кімнат як номера місць у цьому автобусі. Прочергуйте цифри номерів автобусів та номери місць, щоб отримати номери кімнат для гостей. Гість готелю (автобуса №0) в сидінні (початковий номер) номер 1729 переїжджає в кімнату 01070209 (тобто кімнату 1070209). Пасажир на сидінні 4935 автобуса 198 йде в кімнату 4199385 у готелі.

В цілому будь-яка нумерація Кантора може бути використана для вирішення цієї задачі. Ще один спосіб наблизитися до цього є присвоєння кожному пасажиру номера n, і номера автобуса c в якому вони знаходяться. Ті, хто вже в готелі будуть переміщені в кімнату (n2+n)/2, або n-не трикутне число. Ті, що в автобусі будуть в кімнаті ((c+n)2+cn)/2, або (c+n-1)-не трикутне число, плюс (c+n). Таким чином, всі кімнати будуть заповнені одним, і тільки одним гостем (по 1 гостю на кімнату).

Аналіз[ред.ред. код]

Ці випадки показують, парадокс не в тому сенсі, що вони демонструють логічне протиріччя, а в тому сенсі, що вони демонструють нелогічний результат, який є вірним через доведення: ситуації "є гість для кожної кімнати" і "надалі гості не можуть розміститися" не є еквівалентними, якщо існує нескінченно багато кімнат (аналогічна ситуація представлена ​​в діагональному доказі Кантора).

Дехто вважає, що такий стан речей є дуже нелогічним. Властивості нескінченних "колекцій речей" істотно відрізняються від скінченних множин. Парадокс Grand Hotel Гільберта можна зрозуміти за допомогою теорії Кантора про трансфінітні числа. Таким чином, коли у звичайному (скінченному) готелі з більш ніж однією кімнатою, число непарних кімнат, очевидно, менше, ніж загальна кількість кімнат. Тим не менш, Гільберт, влучно назвавши готель Grand (великий), показав що кількість непарних кімнат не менше, ніж загальне "число" кімнат. У математичних термінах, потужність підмножини, що містить непарні номери така ж, як потужність множини всіх номерів. Дійсно, нескінченні множини характеризуються як множини, які мають власні підмножини тієї ж потужності. Для злічених множин, ця потужність називається \alef_0 (алеф-нуль).

Якщо перефразувати, то для будь-якої злічено нескінченної множини існує бієктивна функція, яка відображає злічено нескінченну множину до множини натуральних чисел, навіть якщо злічено нескінченна множина містить натуральні числа. Наприклад, множина раціональних чисел - це ті числа, які можна записати у вигляді відношення цілих чисел, що містить натуральні числа як підмножину, але не більша, ніж множина натуральних чисел, так як раціональні числа є зліченими: існує бієкція з натуральних в раціональні числа.

The Grand Hotel Cigar Mystery (таємниця сигар великого готелю)[ред.ред. код]

Ще одна історія про Grand Hotel може бути використана, щоб показати, що математична індукція працює тільки починаючи з бази індукції.

Припустимо, що у великому готелі не дозволяють курити, і жодна сигара не може бути принесена в готель. Незважаючи на це, гость з номеру 1 йде до гостя в номері 2, щоб отримати сигару. Гість з номеру 2 йде в кімнату 3, щоб отримати дві сигари: одну для себе, іншу для гостя у номері 1. В цілому, гість з кімнати n йде в кімнату (n+1), щоб отримати N сигар. Кожен з них повертається, курить сигару і дає сигари, що в нього залишились гостю з номера (n-1). Таким чином, попри те,що жодна сигара не була принесена в готель, кожен гість може курити сигару в своїй кімнаті.

Помилковість цієї історії випливає з того факту, що немає ніякої індуктивної точки (випадок починаючи з бази), з якої можна отримати індукцію. Хоча показано, що якщо гість з кімнати n має n сигар, то і він, і всі гості з меншим номером кімнати можуть палити, не доведено, що будь-який з гостей насправді має сигари, отже, не випливає, що будь-який гість може викурити сигару в готелі. Той факт, що сигари не допускаються в готель, призначений для підкреслення помилковості. Хоча, так як існує нескінченне число кімнат у готелі, і кожен гість (n) повинен йти до гостя (n+1) за своєю сигарою, цей процес переходу в наступну кімнату ніколи не зупиняється, і взагалі ніяка сигара не викурена.

Посилання у літературі[ред.ред. код]

  • Фантастичний роман "Біле Світло" письменника Руді Ракера включає в себе готель, заснований на парадоксі Гільберта, і де головний герой історії зустрічається з Георгом Кантором.
  • Роман Марка Данилевського "Будинок з листя" базується на будинку, що містить нескінченну кількість номерів.
  • Науково-фантастичний роман Стівена Бакстера "Трансцендентне" має коротку дискусію на тему нескінченності природи, і пояснення, засноване на парадоксі, модифікованому для використання Зоряного десанту, а не готелів.
  • Розповідь Джеффрі Лендіса "Дзюрчання в морі Дірака" використовує готель Гільберта в якості пояснення того, чому нескінченно повне море Дірака тим не менше все ще приймає частинки.
  • У романі Пітера Хега "Почуття сніга Смілли", титульна героїня відображає те, що це чудово для менеджера готелю і гостей,що кожен, хто запізнився, може мати свій номер і деяку приватність.
  • Короткометражний фільм Аманди Бойл "Готель Нескінченність" стосується готелю з нескінченним числом кімнат. Його девіз: "Ми завжди повні, але у нас завжди є місце для вас".

Див. також[ред.ред. код]