Розподіл Бернуллі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Бернуллі

Функція розподілу ймовірностей
Параметри 1>p>0, p\in\R
Носій функції k=\{0,1\}\,
Розподіл ймовірностей 
    \begin{matrix}
    q=(1-p) & \mbox{for }k=0 \\p~~ & \mbox{for }k=1
    \end{matrix}
Функція розподілу ймовірностей (cdf) 
    \begin{matrix}
    0 & \mbox{for }k<0 \\q & \mbox{for }0\leq k<1\\1 & \mbox{for }k\geq 1
    \end{matrix}
Середнє p\,
Медіана N/A
Мода \begin{matrix}
0 & \mbox{if } q > p\\
0, 1 & \mbox{if } q=p\\
1 & \mbox{if } q < p
\end{matrix}
Дисперсія pq\,
Коефіцієнт асиметрії \frac{q-p}{\sqrt{pq}}
Коефіцієнт ексцесу \frac{6p^2-6p+1}{p(1-p)}
Ентропія -q\ln(q)-p\ln(p)\,
Твірна функція моментів (mgf) q+pe^t\,
Характеристична функція q+pe^{it}\,

Розподіл Бернуллі — розподіл ймовірностей дискретної випадкової величини названий на честь швейцарського математика Якоба Бернуллі.

Визначення[ред.ред. код]

Дискретна випадкова величина ξ називається такою, що має розподіл Бернуллі, якщо її закон розподілу має вигляд: \xi=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ q & p \end{pmatrix}, де p — параметр, що визначає розподіл, p\in[0,1], q=1-p.

Позначається \mathcal{L}(\xi)=B(p).

Функція розподілу має вигляд:

F_\xi(x)=\begin{cases} 0, & x<0 \\ q, & x\in[0,1) \\ 1, & x\ge 1 \end{cases}.

Числові характеристики[ред.ред. код]

Математичне сподівання:

Mξ=0q+1p=p.

Дисперсія:

D\xi=M\xi^2-(M\xi)^2=p-p^2=pq \,.

Зв'язок з іншими розподілами[ред.ред. код]

Нехай незалежні випадкові величини \xi_1, \xi_2, ... , \xi_n мають розподіл Бернуллі з параметром p, тобто \mathcal{L}(\xi_i)=B(p), i=\overline{1,n}, тоді випадкова величина \xi=\sum_{i=1}^n\xi_i має біноміальний розподіл з параметрами p, n, тобто \mathcal{L}(\xi)=Bi(n,p).

Див. також[ред.ред. код]

Bvn-small.png        Розподіли ймовірності
Одновимірні Багатовимірні
Дискретні: Бернуллі | біноміальний | геометричний | гіпергеометричний | логарифмічний | від'ємний біноміальний | Пуассона | рівномірний поліноміальний
Абсолютно неперервні: Бета | Вейбулла | Гамма | гіперекспоненційний | Колмогорова | Коші | Лапласа | Леві | логістичний | логнормальний | нормальний (Гауса) | Парето | рівномірний | Райса | Релея | Стьюдента | Фішера | хі-квадрат | експоненційний | багатовимірний нормальний