Розподіл Бернуллі

Бернуллі

Функція розподілу ймовірностей
Параметри	$1>p>0, p\in\R$
Носій функції	$k=\{0,1\}\,$
Розподіл ймовірностей	$\begin{matrix} q=(1-p) & \mbox{for }k=0 \\p~~ & \mbox{for }k=1 \end{matrix}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	$\begin{matrix} 0 & \mbox{for }k<0 \\q & \mbox{for }0\leq k<1\\1 & \mbox{for }k\geq 1 \end{matrix}$
Середнє	$p\,$
Медіана	N/A
Мода	$\begin{matrix} 0 & \mbox{if } q > p\\ 0, 1 & \mbox{if } q=p\\ 1 & \mbox{if } q < p \end{matrix}$
Дисперсія	$pq\,$
Коефіцієнт асиметрії	$\frac{q-p}{\sqrt{pq}}$
Коефіцієнт ексцесу	$\frac{6p^2-6p+1}{p(1-p)}$
Ентропія	$-q\ln(q)-p\ln(p)\,$
Твірна функція моментів (mgf)	$q+pe^t\,$
Характеристична функція	$q+pe^{it}\,$

Розподіл Бернуллі — розподіл ймовірностей дискретної випадкової величини названий на честь швейцарського математика Якоба Бернуллі.

Визначення

Дискретна випадкова величина ξ називається такою, що має розподіл Бернуллі, якщо її закон розподілу має вигляд: $\xi=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ q & p \end{pmatrix}$, де p — параметр, що визначає розподіл, $p\in[0,1], q=1-p$.

Позначається $\mathcal{L}(\xi)=B(p)$.

Функція розподілу має вигляд:

$F_\xi(x)=\begin{cases} 0, & x<0 \\ q, & x\in[0,1) \\ 1, & x\ge 1 \end{cases}$.

Числові характеристики

Математичне сподівання:

Mξ=0q+1p=p.

Дисперсія:

$D\xi=M\xi^2-(M\xi)^2=p-p^2=pq \,$.

Зв'язок з іншими розподілами

Нехай незалежні випадкові величини $\xi_1, \xi_2, ... , \xi_n$ мають розподіл Бернуллі з параметром p, тобто $\mathcal{L}(\xi_i)=B(p), i=\overline{1,n}$, тоді випадкова величина $\xi=\sum_{i=1}^n\xi_i$ має біноміальний розподіл з параметрами p, n, тобто $\mathcal{L}(\xi)=Bi(n,p)$.

Див. також

• Біноміальний розподіл
• Бернуллі Якоб
• Закон розподілу
• Розподіл ймовірностей
• Схема Бернуллі
• Функція розподілу ймовірностей