Неперервний рівномірний розподіл

Неперервний рівномірний розподіл

Using maximum convention
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	$-\infty < a < b < \infty \,$
Носій функції	$x \in [a,b]$
Розподіл ймовірностей	$\begin{cases} \frac{1}{b - a} & \text{for } x \in [a,b] \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	$\begin{cases} 0 & \text{for } x \le a \\ \frac{x-a}{b-a} & \text{for } x \in [a,b] \\ 1 & \text{for } x \ge b \end{cases}$
Середнє	$\tfrac{1}{2}(a+b)$
Медіана	$\tfrac{1}{2}(a+b)$
Мода	any value in $[a,b]$
Дисперсія	$\tfrac{1}{12}(b-a)^2$
Коефіцієнт асиметрії	0
Коефіцієнт ексцесу	$-\tfrac{6}{5}$
Ентропія	$\ln(b-a) \,$
Твірна функція моментів (mgf)	$\frac{\mathrm{e}^{tb}-\mathrm{e}^{ta}}{t(b-a)}$
Характеристична функція	$\frac{\mathrm{e}^{itb}-\mathrm{e}^{ita}}{it(b-a)}$

Рівномірний розподіл (неперервний) — в теорії імовірностей розподіл, який характеризується тим, що ймовірність будь-якого інтервала залежить тільки від його довжини.

Визначення

Кажуть, що випадкова величина має неперервний рівномірний розподіл на відрізку $[a,b]$ ,де $a,b\in \mathbb{R}$, якщо щільність $f_X(x)$ має вигляд:

$f_X(x) = \left\{ \begin{matrix} {1 \over b-a}, & x\in [a,b] \\ 0, & x\not\in [a,b] \end{matrix} \right..$

Пишуть: $X \sim U[a,b]$. Деколи значення щільності в граничних точках $x=a$ і $x=b$ міняють на інші, наприклад ${1 / 2(b-a)}$.Так як інтеграл Лебега від щільності не залежить від поведінки останньої на множинах міри нуль, ці варіації не впливають на знаходження зв'язаних з цим розподілом імовірностей.

Функція розподілу

Інтегруючи визначену вище щільність отримуємо:

$F_X(x) \equiv \mathbb{P}(X \le x) = \left\{ \begin{matrix} 0, & x < a \\ {x-a \over b-a}, & a \leq x < b \\ 1, & x \ge b \end{matrix} \right..$

Оскільки щільність рівномірного розподілу розривна в граничних точках відрізка $[a,b]$, то функція розподілу в цих точках не є диференційовною. В інших точках справедлива рівність:

$\frac{d}{dx} F_X(x) = f_X(x),\; \forall x \in \mathbb{R} \setminus \{a,b\}$.

Функція моментів

Простим інтегруванням отримуємо:

$M_X(t) = \frac{e^{tb} - e^{ta}}{t(b-a)}$,

звідки знаходимо всі потрібні моменти неперервного рівномірного розподілу:

$\mathbb{E}\left[X\right] = \frac{a+b}{2}$,

$\mathbb{E}\left[X^2\right] = \frac{a^2+ab+b^2}{3}$,

$\operatorname{D} X = \frac{(b-a)^2}{12}$.

Таким чином

$\mathbb{E}\left[X^n\right] = \frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=1}^n{a^k b^{n-k}}$.

Стандартний рівномірний розподіл

Якщо $a = 0$, а $b=1$, тобто $X \sim U[0,1]$, то такий неперервний рівномірний розподіл називають стандартним. Має місце твердження: Якщо випадкова величина $X \sim U[0,1]$, и $Y = a+(b-a)X$, где $a < b$, то $Y \sim U[a,b]$. Таким чином, маючи генератор випадкового вибору із стандартного неперервного рівномірного розподілу, легко побудувати генератор вибору будь-якого неперервного рівномірного розподілу.

Див. також

• Дискретний рівномірний розподіл;