Нерівність Мюрхеда дозволяє порівнювати значення деяких симетричних многочленів на одному і тому ж наборі невід'ємних значень аргументів.
Якщо вектор дійсних чисел
мажорує вектор дійсних чисел
тоді виконується нерівність для многочленів
,
для будь яких невідʼємних
.
В означенні використовується спеціальна нотація для сум одночленів зі степенями
![{\displaystyle \sum _{\text{sym}}x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}=\sum _{\sigma }x_{\sigma _{1}}^{\alpha _{1}}\cdots x_{\sigma _{n}}^{\alpha _{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4882ba97e39d28d9db4bbcc83b8881aa9d213ed2)
Сума береться по всіх перестановках
з елементів { 1, …, n }.
Для випадку
треба знайти всі перестановки трьох змінних, тобто сума складається з
додатків:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{\text{sym}}x^{3}y^{2}z^{0}&=x^{3}y^{2}z^{0}+x^{3}z^{2}y^{0}+y^{3}x^{2}z^{0}+y^{3}z^{2}x^{0}+z^{3}x^{2}y^{0}+z^{3}y^{2}x^{0}\\&=x^{3}y^{2}+x^{3}z^{2}+y^{3}x^{2}+y^{3}z^{2}+z^{3}x^{2}+z^{3}y^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8c9ef0ed08b5bc6264473c84cac396441a12d49)
З нерівності Мюрхеда випливає нерівність середнього арифметичного та геометричного якщо застосувати її з векторами
та
. Очевидно, що a мажорує b (
)
![{\displaystyle \sum _{\text{sym}}x_{1}^{a_{1}}\cdots x_{n}^{a_{n}}=\sum _{\text{i=1,n}}x_{i}\geq \sum _{\text{sym}}x_{1}^{b_{1}}\cdots x_{n}^{b_{n}}=n{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\dots x_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dafa184e5cde59aa6851c99186a83784a9e1ab6)
Для довільних дійсних чисел виконується нерівність
![{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+ac+bc.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb7536647b0cc054943b008f8597d3dc39dda329)
Це часний випадок нерівності Мюрхеда степені 2 з векторами
та
перенесемо всі члени в ліву частину і помножимо на 2:
![{\displaystyle 2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2ac-2bc\geq 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85fdb92a564c02e361a709537efb17294cc5c4ef)
виділимо повні квадрати:
![{\displaystyle (a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(b-c)^{2}\geq 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/228128512f34d595935f18776f9a6b3f652258ff)
Очевидно що рівність досягається тоді і тільки тоді, коли всі три числа рівні.
- Прасолов В. В. Многочлены. — 2-е. — Москва : МЦНМО, 2001. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.(рос.)
- З любов’ю до людей та математики... До 60-рiччя вiд дня народження В’ячеслава Андрiйовича Ясiнського. — Вiнниця : ТОВ «Нiлан-ЛТД», 2017. — 209 c.
|
---|
| Середнє |
|
---|
| Геометрія |
|
---|
| Теорія ймовірностей та мат. статистика |
|
---|
| Теореми |
|
---|
| Нерівності |
|
---|
|