Нерівність Мюрхеда

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Нерівність Мюрхеда дозволяє порівнювати значення деяких симетричних многочленів на одному і тому ж наборі невід'ємних значень аргументів.

Означення

[ред. | ред. код]

Якщо вектор дійсних чисел мажорує вектор дійсних чисел тоді виконується нерівність для многочленів

,

для будь яких невідʼємних .

Симетрична сума

[ред. | ред. код]

В означенні використовується спеціальна нотація для сум одночленів зі степенями

Сума береться по всіх перестановках з елементів { 1, …, n }.

Для випадку треба знайти всі перестановки трьох змінних, тобто сума складається з додатків:

Приклад 1

[ред. | ред. код]

З нерівності Мюрхеда випливає нерівність середнього арифметичного та геометричного якщо застосувати її з векторами та . Очевидно, що a мажорує b ()

Приклад 2

[ред. | ред. код]

Для довільних дійсних чисел виконується нерівність

Це часний випадок нерівності Мюрхеда степені 2 з векторами та

Доведення

[ред. | ред. код]

перенесемо всі члени в ліву частину і помножимо на 2:

виділимо повні квадрати:

Очевидно що рівність досягається тоді і тільки тоді, коли всі три числа рівні.

Джерела

[ред. | ред. код]
  • Прасолов В. В. Многочлены. — 2-е. — Москва : МЦНМО, 2001. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.(рос.)
  • З любов’ю до людей та математики... До 60-рiччя вiд дня народження В’ячеслава Андрiйовича Ясiнського. — Вiнниця : ТОВ «Нiлан-ЛТД», 2017. — 209 c.