P-адичне число

$p$-адичне число — в математиці є поповненням поля раціональних чисел відмінним від дійсних чисел. Поповнення відбувається не щодо звичайної евклідової норми, як у випадку дійсних чисел, а щодо так званої $p$-адичної норми. $p$-адичні числа особливо широко застосовуються в теорії чисел.

Елементарне означення

Нехай $p$ — деяке просте число. Тоді, як відомо кожне ціле число може бути записано:

$\sum _{i=0}^{n}a_{i}p^{i}$

де числа $a_{i}$ належать до множини $\{0,1,\dots ,p-1\}$. Загальновідомим є розширення даних чисел до множини дійсних чисел, кожне з яких може бути записане так:

$\pm \sum _{i=-\infty }^{n}a_{i}p^{i}.$

де $n$ — деяке ціле число.

$p$-адичні числа натомість можуть бути записані у виді:

$\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}$

де $k$ — деяке ціле число.

Наприклад, взявши $p=5$, ми матимемо:

$-1=\dots 444444444_{5}$,

${\frac {1}{3}}=\dots 131313132_{5}$.

Обчислення відбуваються за звичайними правилами для чисел з основою $5$. Числа для яких $a_{i}=0$ для $i<0$ називаються $p$-адичними цілими числами.

Аналітична побудова

$p$-адична норма

Нехай маємо деяке $x\in \mathbb {Z}$ — ціле число. Назвемо ординалом цього числа по відношенню щодо деякого простого $p$:

$\operatorname {ord} _{p}x=\max\{r\colon p^{r}|x\}$

Далі для ${\frac {a}{b}}\in \mathbb {Q}$ визначимо:

$\operatorname {ord} _{p}{\frac {a}{b}}=\operatorname {ord} _{p}a-\operatorname {ord} _{p}b$

Еквівалентно, якщо $x=p^{n}{\frac {a}{b}}$, де $a$, $b$ не діляться на $p$ то $\operatorname {ord} _{p}x=n$. Вважатимемо також, що ординал нуля рівний безмежності. Визначимо $p$-адичну норму для $x\in \mathbb {Z}$ таким чином:

$|x|_{p}={\begin{cases}p^{-\operatorname {ord} _{p}x},&{\mbox{ }}a\neq 0\\p^{-\infty },&{\mbox{ }}a=0.\end{cases}}$

Визначена подібним чином функція справді є нормою оскільки:

• $|x|_{p}=0$ тоді й лише тоді, коли $x=0$

Справді, $0$ — єдине число ординал якого рівний нескінченності і відповідно єдине, для якого виконується дана рівність.

• $|xy|_{p}=|x|_{p}|y|_{p}$

Справді, нехай $x=p^{n}{\frac {a}{b}}$, а $y=p^{n}{\frac {c}{d}}$, де жодне з чисел $a$, $b$, $c$, $d$ не ділиться на p. Тоді $xy=p^{n+m}{\frac {ac}{bd}}$ і $ac$, $bd$ не діляться на $p$.

За означеннями маємо: $|x|_{p}={\frac {1}{p^{n}}}$, $|y|_{p}={\frac {1}{p^{m}}}$,

$|xy|_{p}={\frac {1}{p^{n+m}}}$, що й доводить наше твердження.

• $|x+y|_{p}\leq \max\{|x|_{p},|y|_{p}\}$

Нехай знову $x=p^{n}{\frac {a}{b}}$, а $y=p^{n}{\frac {c}{d}}$, де жодне з чисел $a$, $b$, $c$, $d$ не ділиться на $p$. Нехай також $n\leq m$. Тоді $|x+y|_{p}=p^{n}\left({\frac {ad+p^{m-n}bc}{bd}}\right)$.

Тож очевидно ординал $x+y$ не може бути меншим $n$. Окрім того у випадку коли $n$ строго менше $m$ ординал є рівним $n$ адже в такому випадку чисельник і знаменник у розписі суми очевидно не діляться на $p$.

Таким чином $|\cdot |_{p}$, є неархімедовою нормою на полі раціональних чисел. Наприклад для числа $x=63/550=2^{-1}\cdot 3^{2}\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}$

$\displaystyle |x|_{2}=2\,\!$

$\displaystyle |x|_{3}=1/9\,\!$

$|x|_{5}=25\,\!$

$\displaystyle |x|_{7}=1/7\,\!$

$|x|_{11}=11\,\!$

$|x|_{p}=1$, для інших простих чисел.

Фундаментальні послідовності і нуль-послідовності

Послідовність $(a_{i})$ називається збіжною до $a\in \mathbb {Q}$ за нормою $|\cdot |_{p}$, якщо

$\lim _{n\to +\infty }|a_{i}-a|_{p}=0$.

Якщо $a=0$ то така послідовність називається нуль-послідовністю.

Послідовність $(a_{i})$ називається фундаментальною, якщо:

$\forall \varepsilon >0\,\exists M\in \mathbb {Z}$ таке що $m,n>M\Rightarrow |a_{m}-a_{n}|_{p}<\varepsilon$.

Із збіжності послідовності випливає її фундаментальність. Зворотне твердження у множині раціональних чисел є невірним.

Побудова чисел

Введемо на множині фундаментальних послідовностей раціональних чисел щодо p-адичної норми відношення еквівалентності: фундаментальні послідовності $a_{i}$ і $b_{i}$ є еквівалентні тоді й лише тоді коли їх різниця є нуль-послідовнісю. Позначатимемо клас еквівалентності послідовності $(a_{i})$ через $\{a_{i}\}$. На множині класів еквівалентності визначимо арифметичні операції:

$\{a_{n}\}+\{b_{n}\}=\{a_{n}+b_{n}\}$,

$\{a_{n}\}\{b_{n}\}=\{a_{n}b_{n}\}$.

Дані означення є несуперечливими оскільки сума двох нуль-послідовностей є нуль-послідовністю і добуток фундаментальної послідовності на нуль-послідовність є нуль-послідовністю. Визначимо також загальну $p$-адичну норму:

$|{a_{i}}|_{p}=\lim _{n\to +\infty }|a_{i}|_{p}$

Таким чином сконструйовано поле, що є повним відносно p-адичної норми. Воно і називається полем $p$-адичних чисел. Раціональні числа є щільним підполем даного поля. Числа x для яких $|x|_{p}\leq 1$ називаються p-адичними цілими числами.

Властивості

• Кожне p-адичне число можна єдиним чином подати у виді:

$\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}$.

Цим дані числа відрізняються від дійсних, для яких може бути кілька варіантів запису через суму степенів. Наприклад:

$1=0,999999999\dots$

• Сума $\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}$ $p$-адичних чисел збіжна тоді й лише тоді коли $(a_{i})$ є нуль-послідовністю.
• Топологічний простір $p$-адичних цілих чисел з метричною топологією гомеоморфний множині Кантора, а простір $p$-адичних чисел з метричною топологією гомеоморфний множині Кантора з вирізаною точкою.

Література

• Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел, — М.: Наука, 1985.
• Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции, — М.: Мир, 1982.
• Серр Ж.-П. Курс арифметики, — М.: Мир, 1972.