P-адичне число

P-адичне число — в математиці є поповненням поля раціональних чисел відмінним від дійсних чисел. Поповнення відбувається не щодо звичайної евклідової норми, як у випадку дійсних чисел, а щодо так званої p-адичної норми. P-адичні числа особливо широко застосовуються в теорії чисел.

Елементарне означення

Нехай p — деяке просте число. Тоді, як відомо кожне ціле число може бути записано:

$\sum_{i=0}^n a_i p^i$

де числа a_i належать до множини {0, …, p − 1}. Загальновідомим є розширення даних чисел до множини дійсних чисел, кожне з яких може бути записане так:

$\pm\sum_{i=-\infty}^n a_i p^i.$

де n — деяке ціле число.

P-адичні числа натомість можуть бути записані у виді:

$\sum_{i=k}^{\infty} a_i p^i$

де k — деяке ціле число.

Наприклад, взявши p=5, ми матимемо:

$-1=\dots 444444444_5.$

$\frac{1}{3}=\dots 131313132_5.$

Обчислення відбуваються за звичайними правилами для чисел з основою 5. Числа для яких a_i=0 для i<0 називаються p-адичними цілими числами.

Аналітична побудова

p-адична норма

Нехай маємо деяке $x \in \mathbb{Z}$  — ціле число. Назвемо ординалом цього числа по відношенню щодо деякого простого p:

$\operatorname{ord}_p x = \max\{r : p^r|x\}\,$

Далі для $\frac{a}{b}\in \mathbb{Q}$ визначимо:

$\operatorname{ord}_p \frac{a}{b}= \operatorname{ord}_p a - \operatorname{ord}_p b$

Еквівалентно, якщо $x=p^n\frac{a}{b},$ де a,b не діляться на p то $\operatorname{ord}_p x = n$ Вважатимемо також, що ординал нуля рівний безмежності. Визначимо p-адичну норму для $x \in \mathbb{Z}$ таким чином:

$|x|_p =\begin{cases} p^{-\operatorname{ord}_p x}, & \mbox{ } a \ne 0 \\ p^{-\infty}, & \mbox{ } a = 0. \end{cases}$

Визначена подібним чином функція справді є нормою оскільки:

• $|x|_p = 0$ тоді й лише тоді, коли x=0

Справді 0 єдине число ординал якого рівний нескінченності і відповідно єдине для якого виконується дана рівність.

• $|xy|_p=|x|_p|y|_p$

Справді, нехай $x=p^n\frac{a}{b},$ а $y=p^n\frac{c}{d},$ де жодне з чисел a,b,c,d не ділиться на p. Тоді $xy = p^{n+m}\frac{ac}{bd}$ і ac,bd не діляться на p.

За означеннями маємо: $|x|_p=\frac{1}{p^n},$$|y|_p=\frac{1}{p^m},$

$|xy|_p=\frac{1}{p^{n+m}},$ що й доводить наше твердження.

• $|x+y|_p\leq \max\{|x|_p,|y|_p\}$

Нехай знову $x=p^n\frac{a}{b},$ а $y=p^n\frac{c}{d},$ де жодне з чисел a,b,c,d не ділиться на p. Нехай також $n \leq m.$ Тоді $|x+y|_p=p^n(\frac{ad+p^{m-n}bc}{bd}.)$

Тож очевидно ординал x+y не може бути меншим n. Окрім того у випадку коли n строго менше m ординал є рівним n адже в такому випадку чисельник і знаменник у розписі суми очевидно не ділять ся на p.

Таким чином ми довели, що | |_p є неархімедовою нормою на полі раціональних чисел. Наприклад для числа x = 63/550 = 2⁻¹ 3² 5⁻² 7 11⁻¹

$\displaystyle|x|_2=2 \,\!$

$\displaystyle|x|_3=1/9 \,\!$

$|x|_5=25 \,\!$

$\displaystyle|x|_7=1/7 \,\!$

$|x|_{11}=11 \,\!$

$|x|_{p}=1, \,\!$ для інших простих чисел.

Фундаментальні послідовності і нуль-послідовності

Послідовність (a_i) називається збіжною до $a\in \mathbb{Q}$ за нормою $| |_p,$ якщо

$\lim_{n \to +\infty}|a_i - a|_p = 0.$

Якщо a=0 то така послідовність називається нуль-послідовністю.

Послідовність (a_i) називається фундаментальною, якщо:

$\forall \epsilon > 0 \, \exists M\in \mathbb{Z}$ таке що $m,n > M \Rightarrow |a_m-a_n|_p <\epsilon.$

Із збіжності послідовності випливає її фундаментальність. Зворотне твердження у множині раціональних чисел є невірним.

Побудова чисел

Введемо на множині фундаментальних послідовностей раціональних чисел щодо p-адичної норми відношення еквівалентності:

фундаментальні послідовності a_n і b_n є еквівалентні тоді й лише тоді коли їх різниця є нуль-послідовнісю. Позначатимемо клас еквівалентності послідовності (a_i) через {a_i}. На множині класів еквівалентності визначимо арифметичні операції:

{a_n}+{b_n}={a_n + b_n},{a_n}{b_n}={a_nb_n}

Дані означення є несуперечливими оскільки сума двох нуль-послідовностей є нуль-послідовністю і добуток фундаментальної послідовності на нуль-послідовність є нуль-послідовністю. Визначимо також загальну p-адичну норму:

$|{a_i}|_p=\lim_{n \to +\infty}|a_i|_p$

Таким чином сконструйовано поле, що є повним відносно p-адичної норми. Воно і називається полем p-адичних чисел. Раціональні числа є щільним підполем даного поля. Числа x для яких $|x|_p\leq 1$ називаються p-адичними цілими числами.

Властивості

• Кожне p-адичне число можна єдиним чином подати у виді:

$\sum_{i=k}^{\infty} a_i p^i.$

Цим дані числа відрізнються від дійсних, для яких може бути кілька варіантів запису через суму степенів. Наприклад:

$1=0,999999999\dots$

• Сума $\sum_{i=k}^{\infty} a_i$ p-адичних чисел збіжна тоді й лише тоді коли (a_i) є нуль-послідовністю.
• Топологічний простір p-адичних цілих чисел з метричною топологією гомеоморфний множині Кантора, а простір p-адичних чисел з метричною топологією гомеоморфний множині Кантора з вирізаною точкою.

Література

• Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел, — М.: Наука, 1985.
• Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции, — М.: Мир, 1982.
• Серр Ж.-П. Курс арифметики, — М.: Мир, 1972.