P-адичне число

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

-адичне число — в математиці є поповненням поля раціональних чисел відмінним від дійсних чисел. Поповнення відбувається не щодо звичайної евклідової норми, як у випадку дійсних чисел, а щодо так званої -адичної норми. -адичні числа особливо широко застосовуються в теорії чисел.

Елементарне означення[ред. | ред. код]

Нехай  — деяке просте число. Тоді, як відомо кожне ціле число може бути записано:

де числа належать до множини . Загальновідомим є розширення даних чисел до множини дійсних чисел, кожне з яких може бути записане так:

де  — деяке ціле число.

-адичні числа натомість можуть бути записані у виді:

де  — деяке ціле число.

Наприклад, взявши , ми матимемо:

,
.

Обчислення відбуваються за звичайними правилами для чисел з основою . Числа для яких для називаються -адичними цілими числами.

Аналітична побудова[ред. | ред. код]

-адична норма[ред. | ред. код]

Нехай маємо деяке  — ціле число. Назвемо ординалом цього числа по відношенню щодо деякого простого :

Далі для визначимо:

Еквівалентно, якщо , де , не діляться на то . Вважатимемо також, що ординал нуля рівний безмежності. Визначимо -адичну норму для таким чином:

Визначена подібним чином функція справді є нормою оскільки:

  • тоді й лише тоді, коли
Справді, — єдине число ординал якого рівний нескінченності і відповідно єдине, для якого виконується дана рівність.
Справді, нехай , а , де жодне з чисел , , , не ділиться на p. Тоді і , не діляться на .
За означеннями маємо: , ,
, що й доводить наше твердження.
Нехай знову , а , де жодне з чисел , , , не ділиться на . Нехай також . Тоді .
Тож очевидно ординал не може бути меншим . Окрім того у випадку коли строго менше ординал є рівним адже в такому випадку чисельник і знаменник у розписі суми очевидно не діляться на .

Таким чином , є неархімедовою нормою на полі раціональних чисел. Наприклад для числа

, для інших простих чисел.

Фундаментальні послідовності і нуль-послідовності[ред. | ред. код]

Послідовність називається збіжною до за нормою , якщо

.

Якщо то така послідовність називається нуль-послідовністю.

Послідовність називається фундаментальною, якщо:

таке що .

Із збіжності послідовності випливає її фундаментальність. Зворотне твердження у множині раціональних чисел є невірним.

Побудова чисел[ред. | ред. код]

Введемо на множині фундаментальних послідовностей раціональних чисел щодо p-адичної норми відношення еквівалентності: фундаментальні послідовності і є еквівалентні тоді й лише тоді коли їх різниця є нуль-послідовнісю. Позначатимемо клас еквівалентності послідовності через . На множині класів еквівалентності визначимо арифметичні операції:

,
.

Дані означення є несуперечливими оскільки сума двох нуль-послідовностей є нуль-послідовністю і добуток фундаментальної послідовності на нуль-послідовність є нуль-послідовністю. Визначимо також загальну -адичну норму:

Таким чином сконструйовано поле, що є повним відносно p-адичної норми. Воно і називається полем -адичних чисел. Раціональні числа є щільним підполем даного поля. Числа x для яких називаються p-адичними цілими числами.

Властивості[ред. | ред. код]

  • Кожне p-адичне число можна єдиним чином подати у виді:
.

Цим дані числа відрізняються від дійсних, для яких може бути кілька варіантів запису через суму степенів. Наприклад:

  • Сума -адичних чисел збіжна тоді й лише тоді коли є нуль-послідовністю.
  • Топологічний простір -адичних цілих чисел з метричною топологією гомеоморфний множині Кантора, а простір -адичних чисел з метричною топологією гомеоморфний множині Кантора з вирізаною точкою.

Література[ред. | ред. код]

  • Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел, — М.: Наука, 1985.
  • Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции, — М.: Мир, 1982.
  • Серр Ж.-П. Курс арифметики, — М.: Мир, 1972.