P-адичне число

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

P-адичне число — в математиці є поповненням поля раціональних чисел відмінним від дійсних чисел. Поповнення відбувається не щодо звичайної евклідової норми, як у випадку дійсних чисел, а щодо так званої p-адичної норми. P-адичні числа особливо широко застосовуються в теорії чисел.

Елементарне означення[ред.ред. код]

Нехай p — деяке просте число. Тоді, як відомо кожне ціле число може бути записано:

де числа ai належать до множини {0, …, p − 1}. Загальновідомим є розширення даних чисел до множини дійсних чисел, кожне з яких може бути записане так:

де n — деяке ціле число.

P-адичні числа натомість можуть бути записані у виді:

де k — деяке ціле число.

Наприклад, взявши p=5, ми матимемо:

Обчислення відбуваються за звичайними правилами для чисел з основою 5. Числа для яких ai=0 для i<0 називаються p-адичними цілими числами.

Аналітична побудова[ред.ред. код]

p-адична норма[ред.ред. код]

Нехай маємо деяке  — ціле число. Назвемо ординалом цього числа по відношенню щодо деякого простого p:

Далі для визначимо:

Еквівалентно, якщо де a, b не діляться на p то Вважатимемо також, що ординал нуля рівний безмежності. Визначимо p-адичну норму для таким чином:

Визначена подібним чином функція справді є нормою оскільки:

  • тоді й лише тоді, коли x=0
Справді 0 єдине число ординал якого рівний нескінченності і відповідно єдине для якого виконується дана рівність.
Справді, нехай а де жодне з чисел a, b,c, d не ділиться на p. Тоді і ac, bd не діляться на p.
За означеннями маємо:
що й доводить наше твердження.
Нехай знову а де жодне з чисел a, b,c, d не ділиться на p. Нехай також Тоді
Тож очевидно ординал x+y не може бути меншим n. Окрім того у випадку коли n строго менше m ординал є рівним n адже в такому випадку чисельник і знаменник у розписі суми очевидно не ділять ся на p.

Таким чином ми довели, що | |p є неархімедовою нормою на полі раціональних чисел. Наприклад для числа x = 63/550 = 2−1 32 5−2 7 11−1

для інших простих чисел.

Фундаментальні послідовності і нуль-послідовності[ред.ред. код]

Послідовність (ai) називається збіжною до за нормою якщо

Якщо a=0 то така послідовність називається нуль-послідовністю.

Послідовність (ai) називається фундаментальною, якщо:

таке що

Із збіжності послідовності випливає її фундаментальність. Зворотне твердження у множині раціональних чисел є невірним.

Побудова чисел[ред.ред. код]

Введемо на множині фундаментальних послідовностей раціональних чисел щодо p-адичної норми відношення еквівалентності: фундаментальні послідовності an і bn є еквівалентні тоді й лише тоді коли їх різниця є нуль-послідовнісю. Позначатимемо клас еквівалентності послідовності (ai) через {ai}. На множині класів еквівалентності визначимо арифметичні операції:

{an}+{bn}={an + bn},{an}{bn}={anbn}

Дані означення є несуперечливими оскільки сума двох нуль-послідовностей є нуль-послідовністю і добуток фундаментальної послідовності на нуль-послідовність є нуль-послідовністю. Визначимо також загальну p-адичну норму:

Таким чином сконструйовано поле, що є повним відносно p-адичної норми. Воно і називається полем p-адичних чисел. Раціональні числа є щільним підполем даного поля. Числа x для яких називаються p-адичними цілими числами.

Властивості[ред.ред. код]

  • Кожне p-адичне число можна єдиним чином подати у виді:

Цим дані числа відрізнються від дійсних, для яких може бути кілька варіантів запису через суму степенів. Наприклад:

  • Сума p-адичних чисел збіжна тоді й лише тоді коли (ai) є нуль-послідовністю.
  • Топологічний простір p-адичних цілих чисел з метричною топологією гомеоморфний множині Кантора, а простір p-адичних чисел з метричною топологією гомеоморфний множині Кантора з вирізаною точкою.

Література[ред.ред. код]

  • Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел, — М.: Наука, 1985.
  • Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции, — М.: Мир, 1982.
  • Серр Ж.-П. Курс арифметики, — М.: Мир, 1972.

Статті з математики, пов'язані з числами

Число | Натуральні числа | Цілі числа | Раціональні числа | Ірраціональні числа | Конструктивні числа[en] | Алгебраїчні числа | Трансцендентні числа | Рекурсивні числа[en] | Дійсні числа | Комплексні числа | Подвійні числа | Дуальні числа | Бікомплексні числа | Гіперкомплексні числа | Кватерніони | Октоніони | Седеніони | Супердійсні числа[en] | Гіпердійсні числа[en] | Сюрреальні числа[en] | Номінальні числа | Ординальні числа | Кардинальні числа | P-адичні числа | Послідовності натуральних чисел | Математичні константи | Великі числа | Нескінченність