-адичне число — в математиці є поповненням поля раціональних чисел відмінним від дійсних чисел. Поповнення відбувається не щодо звичайної евклідової норми, як у випадку дійсних чисел, а щодо так званої
-адичної норми.
-адичні числа особливо широко застосовуються в теорії чисел.
Нехай
— деяке просте число. Тоді, як відомо кожне ціле число може бути записано:

де числа
належать до множини
.
Загальновідомим є розширення даних чисел до множини дійсних чисел, кожне з яких може бути записане так:

де
— деяке ціле число.
-адичні числа натомість можуть бути записані у вигляді:

де
— деяке ціле число.
Наприклад, взявши
, ми матимемо:
,
.
Обчислення відбуваються за звичайними правилами для чисел з основою
.
Числа для яких
для
називаються
-адичними цілими числами.
Нехай маємо деяке
— ціле число. Назвемо ординалом цього числа по відношенню щодо деякого простого
:

Далі для
визначимо:

Еквівалентно, якщо
, де
,
не діляться на
то
.
Вважатимемо також, що ординал нуля рівний безмежності.
Визначимо
-адичну норму для
таким чином:

Визначена подібним чином функція справді є нормою оскільки:
тоді й лише тоді, коли 
- Справді,
— єдине число ординал якого рівний нескінченності і відповідно єдине, для якого виконується дана рівність.

- Справді, нехай
, а
, де жодне з чисел
,
,
,
не ділиться на p. Тоді
і
,
не діляться на
.
- За означеннями маємо:
,
,
, що й доводить наше твердження.

- Нехай знову
, а
, де жодне з чисел
,
,
,
не ділиться на
. Нехай також
. Тоді
.
- Тож очевидно ординал
не може бути меншим
. Окрім того у випадку коли
строго менше
ординал є рівним
адже в такому випадку чисельник і знаменник у розписі суми очевидно не діляться на
.
Таким чином
, є неархімедовою нормою на полі раціональних чисел.
Наприклад для числа 





, для інших простих чисел.
Фундаментальні послідовності і нуль-послідовності
[ред. | ред. код]
Послідовність
називається збіжною до
за нормою
, якщо
.
Якщо
то така послідовність називається нуль-послідовністю.
Послідовність
називається фундаментальною, якщо:
таке що
.
Із збіжності послідовності випливає її фундаментальність. Зворотне твердження у множині раціональних чисел є невірним.
Введемо на множині фундаментальних послідовностей раціональних чисел щодо p-адичної норми відношення еквівалентності: фундаментальні послідовності
і
є еквівалентні тоді й лише тоді коли їх різниця є нуль-послідовнісю.
Позначатимемо клас еквівалентності послідовності
через
.
На множині класів еквівалентності визначимо арифметичні операції:
,
.
Дані означення є несуперечливими оскільки сума двох нуль-послідовностей є нуль-послідовністю і добуток фундаментальної послідовності на нуль-послідовність є нуль-послідовністю.
Визначимо також загальну
-адичну норму:

Таким чином сконструйовано поле, що є повним відносно p-адичної норми. Воно і називається полем
-адичних чисел. Раціональні числа є щільним підполем даного поля. Числа x для яких
називаються p-адичними цілими числами.
- Кожне p-адичне число можна єдиним способом подати у вигляді:
.
Цим дані числа відрізняються від дійсних, для яких може бути кілька варіантів запису через суму степенів. Наприклад:

- Сума
-адичних чисел збіжна тоді й лише тоді коли
є нуль-послідовністю.
- Топологічний простір
-адичних цілих чисел з метричною топологією гомеоморфний множині Кантора, а простір
-адичних чисел з метричною топологією гомеоморфний множині Кантора з вирізаною точкою.
- Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел, — М.: Наука, 1985.
- Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции, — М.: Мир, 1982.
- Серр Ж.-П. Курс арифметики, — М.: Мир, 1972.