P-адичне число

P-адичне число — в математиці є поповненням поля раціональних чисел відмінним від дійсних чисел. Поповнення відбувається не щодо звичайної евклідової норми, як у випадку дійсних чисел, а щодо так званої p-адичної норми. P-адичні числа особливо широко застосовуються в теорії чисел.

Елементарне означення

Нехай p — деяке просте число. Тоді, як відомо кожне ціле число може бути записано:

$\sum _{i=0}^{n}a_{i}p^{i}$

де числа a_i належать до множини {0, …, p − 1}. Загальновідомим є розширення даних чисел до множини дійсних чисел, кожне з яких може бути записане так:

$\pm \sum _{i=-\infty }^{n}a_{i}p^{i}.$

де n — деяке ціле число.

P-адичні числа натомість можуть бути записані у виді:

$\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}$

де k — деяке ціле число.

Наприклад, взявши p=5, ми матимемо:

$-1=\dots 444444444_{5}.$

${\frac {1}{3}}=\dots 131313132_{5}.$

Обчислення відбуваються за звичайними правилами для чисел з основою 5. Числа для яких a_i=0 для i<0 називаються p-адичними цілими числами.

Аналітична побудова

p-адична норма

Нехай маємо деяке $x\in \mathbb {Z}$  — ціле число. Назвемо ординалом цього числа по відношенню щодо деякого простого p:

$\operatorname {ord} _{p}x=\max\{r:p^{r}|x\}\,$

Далі для ${\frac {a}{b}}\in \mathbb {Q}$ визначимо:

$\operatorname {ord} _{p}{\frac {a}{b}}=\operatorname {ord} _{p}a-\operatorname {ord} _{p}b$

Еквівалентно, якщо $x=p^{n}{\frac {a}{b}},$ де a, b не діляться на p то $\operatorname {ord} _{p}x=n.$ Вважатимемо також, що ординал нуля рівний безмежності. Визначимо p-адичну норму для $x\in \mathbb {Z}$ таким чином:

$|x|_{p}={\begin{cases}p^{-\operatorname {ord} _{p}x},&{\mbox{ }}a\neq 0\\p^{-\infty },&{\mbox{ }}a=0.\end{cases}}$

Визначена подібним чином функція справді є нормою оскільки:

• $|x|_{p}=0$ тоді й лише тоді, коли x=0

Справді 0 єдине число ординал якого рівний нескінченності і відповідно єдине, для якого виконується дана рівність.

• $|xy|_{p}=|x|_{p}|y|_{p}$

Справді, нехай $x=p^{n}{\frac {a}{b}},$ а $y=p^{n}{\frac {c}{d}},$ де жодне з чисел a, b, c, d не ділиться на p. Тоді $xy=p^{n+m}{\frac {ac}{bd}}$ і ac, bd не діляться на p.

За означеннями маємо: $|x|_{p}={\frac {1}{p^{n}}},$ $|y|_{p}={\frac {1}{p^{m}}},$

$|xy|_{p}={\frac {1}{p^{n+m}}},$ що й доводить наше твердження.

• $|x+y|_{p}\leq \max\{|x|_{p},|y|_{p}\}$

Нехай знову $x=p^{n}{\frac {a}{b}},$ а $y=p^{n}{\frac {c}{d}},$ де жодне з чисел a, b, c, d не ділиться на p. Нехай також $n\leq m.$ Тоді $|x+y|_{p}=p^{n}({\frac {ad+p^{m-n}bc}{bd}}).$

Тож очевидно ординал x+y не може бути меншим n. Окрім того у випадку коли n строго менше m ординал є рівним n адже в такому випадку чисельник і знаменник у розписі суми очевидно не діляться на p.

Таким чином ми довели, що | |_p є неархімедовою нормою на полі раціональних чисел. Наприклад для числа x = 63/550 = 2⁻¹ 3² 5⁻² 7 11⁻¹

$\displaystyle |x|_{2}=2\,\!$

$\displaystyle |x|_{3}=1/9\,\!$

$|x|_{5}=25\,\!$

$\displaystyle |x|_{7}=1/7\,\!$

$|x|_{11}=11\,\!$

$|x|_{p}=1,\,\!$ для інших простих чисел.

Фундаментальні послідовності і нуль-послідовності

Послідовність (a_i) називається збіжною до $a\in \mathbb {Q}$ за нормою $||_{p},$ якщо

$\lim _{n\to +\infty }|a_{i}-a|_{p}=0.$

Якщо a=0 то така послідовність називається нуль-послідовністю.

Послідовність (a_i) називається фундаментальною, якщо:

$\forall \epsilon >0\,\exists M\in \mathbb {Z}$ таке що $m,n>M\Rightarrow |a_{m}-a_{n}|_{p}<\epsilon .$

Із збіжності послідовності випливає її фундаментальність. Зворотне твердження у множині раціональних чисел є невірним.

Побудова чисел

Введемо на множині фундаментальних послідовностей раціональних чисел щодо p-адичної норми відношення еквівалентності: фундаментальні послідовності a_n і b_n є еквівалентні тоді й лише тоді коли їх різниця є нуль-послідовнісю. Позначатимемо клас еквівалентності послідовності (a_i) через {a_i}. На множині класів еквівалентності визначимо арифметичні операції:

{a_n}+{b_n}={a_n + b_n},{a_n}{b_n}={a_nb_n}

Дані означення є несуперечливими оскільки сума двох нуль-послідовностей є нуль-послідовністю і добуток фундаментальної послідовності на нуль-послідовність є нуль-послідовністю. Визначимо також загальну p-адичну норму:

$|{a_{i}}|_{p}=\lim _{n\to +\infty }|a_{i}|_{p}$

Таким чином сконструйовано поле, що є повним відносно p-адичної норми. Воно і називається полем p-адичних чисел. Раціональні числа є щільним підполем даного поля. Числа x для яких $|x|_{p}\leq 1$ називаються p-адичними цілими числами.

Властивості

• Кожне p-адичне число можна єдиним чином подати у виді:

$\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}.$

Цим дані числа відрізняються від дійсних, для яких може бути кілька варіантів запису через суму степенів. Наприклад:

$1=0,999999999\dots$

• Сума $\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}$ p-адичних чисел збіжна тоді й лише тоді коли (a_i) є нуль-послідовністю.
• Топологічний простір p-адичних цілих чисел з метричною топологією гомеоморфний множині Кантора, а простір p-адичних чисел з метричною топологією гомеоморфний множині Кантора з вирізаною точкою.

Література

• Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел, — М.: Наука, 1985.
• Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции, — М.: Мир, 1982.
• Серр Ж.-П. Курс арифметики, — М.: Мир, 1972.