P-адичне число

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

P-адичне число — в математиці є поповненням поля раціональних чисел відмінним від дійсних чисел. Поповнення відбувається не щодо звичайної евклідової норми, як у випадку дійсних чисел, а щодо так званої p-адичної норми. P-адичні числа особливо широко застосовуються в теорії чисел.

Елементарне означення[ред.ред. код]

Нехай p — деяке просте число. Тоді, як відомо кожне ціле число може бути записано:

\sum_{i=0}^n a_i p^i

де числа ai належать до множини {0, …, p − 1}. Загальновідомим є розширення даних чисел до множини дійсних чисел, кожне з яких може бути записане так:

\pm\sum_{i=-\infty}^n a_i p^i.

де n — деяке ціле число.

P-адичні числа натомість можуть бути записані у виді:

\sum_{i=k}^{\infty} a_i p^i

де k — деяке ціле число.

Наприклад, взявши p=5, ми матимемо:

-1=\dots 444444444_5.
\frac{1}{3}=\dots 131313132_5.

Обчислення відбуваються за звичайними правилами для чисел з основою 5. Числа для яких ai=0 для i<0 називаються p-адичними цілими числами.

Аналітична побудова[ред.ред. код]

p-адична норма[ред.ред. код]

Нехай маємо деяке x \in \mathbb{Z}  — ціле число. Назвемо ординалом цього числа по відношенню щодо деякого простого p:

\operatorname{ord}_p x = \max\{r : p^r|x\}\,

Далі для \frac{a}{b}\in \mathbb{Q} визначимо:

\operatorname{ord}_p \frac{a}{b}= \operatorname{ord}_p a - \operatorname{ord}_p b

Еквівалентно, якщо x=p^n\frac{a}{b},  де a,b не діляться на p то \operatorname{ord}_p x = n Вважатимемо також, що ординал нуля рівний безмежності. Визначимо p-адичну норму для x \in \mathbb{Z} таким чином:

|x|_p =\begin{cases} p^{-\operatorname{ord}_p x}, & \mbox{  }  a \ne 0  \\  p^{-\infty}, & \mbox{  } a = 0. \end{cases}

Визначена подібним чином функція справді є нормою оскільки:

  • |x|_p = 0 тоді й лише тоді, коли x=0
Справді 0 єдине число ординал якого рівний нескінченності і відповідно єдине для якого виконується дана рівність.
  • |xy|_p=|x|_p|y|_p
Справді, нехай x=p^n\frac{a}{b}, а y=p^n\frac{c}{d}, де жодне з чисел a,b,c,d не ділиться на p. Тоді xy = p^{n+m}\frac{ac}{bd} і ac,bd не діляться на p.
За означеннями маємо: |x|_p=\frac{1}{p^n},|y|_p=\frac{1}{p^m},
|xy|_p=\frac{1}{p^{n+m}}, що й доводить наше твердження.
  • |x+y|_p\leq \max\{|x|_p,|y|_p\}
Нехай знову x=p^n\frac{a}{b}, а y=p^n\frac{c}{d}, де жодне з чисел a,b,c,d не ділиться на p. Нехай також n \leq m. Тоді |x+y|_p=p^n(\frac{ad+p^{m-n}bc}{bd}.)
Тож очевидно ординал x+y не може бути меншим n. Окрім того у випадку коли n строго менше m ординал є рівним n адже в такому випадку чисельник і знаменник у розписі суми очевидно не ділять ся на p.

Таким чином ми довели, що | |p є неархімедовою нормою на полі раціональних чисел. Наприклад для числа x = 63/550 = 2−1 32 5−2 7 11−1

\displaystyle|x|_2=2 \,\!
\displaystyle|x|_3=1/9 \,\!
|x|_5=25 \,\!
\displaystyle|x|_7=1/7 \,\!
|x|_{11}=11 \,\!
|x|_{p}=1, \,\! для інших простих чисел.

Фундаментальні послідовності і нуль-послідовності[ред.ред. код]

Послідовність (ai) називається збіжною до a\in \mathbb{Q} за нормою | |_p, якщо

\lim_{n \to +\infty}|a_i - a|_p = 0.

Якщо a=0 то така послідовність називається нуль-послідовністю.

Послідовність (ai) називається фундаментальною, якщо:

\forall \epsilon > 0 \, \exists M\in \mathbb{Z} таке що m,n > M \Rightarrow |a_m-a_n|_p <\epsilon.

Із збіжності послідовності випливає її фундаментальність. Зворотне твердження у множині раціональних чисел є невірним.

Побудова чисел[ред.ред. код]

Введемо на множині фундаментальних послідовностей раціональних чисел щодо p-адичної норми відношення еквівалентності:

фундаментальні послідовності an і bn є еквівалентні тоді й лише тоді коли їх різниця є нуль-послідовнісю. Позначатимемо клас еквівалентності послідовності (ai) через {ai}. На множині класів еквівалентності визначимо арифметичні операції:

{an}+{bn}={an + bn},{an}{bn}={anbn}

Дані означення є несуперечливими оскільки сума двох нуль-послідовностей є нуль-послідовністю і добуток фундаментальної послідовності на нуль-послідовність є нуль-послідовністю. Визначимо також загальну p-адичну норму:

|{a_i}|_p=\lim_{n \to +\infty}|a_i|_p

Таким чином сконструйовано поле, що є повним відносно p-адичної норми. Воно і називається полем p-адичних чисел. Раціональні числа є щільним підполем даного поля. Числа x для яких |x|_p\leq 1 називаються p-адичними цілими числами.

Властивості[ред.ред. код]

  • Кожне p-адичне число можна єдиним чином подати у виді:
\sum_{i=k}^{\infty} a_i p^i.

Цим дані числа відрізнються від дійсних, для яких може бути кілька варіантів запису через суму степенів. Наприклад:

1=0,999999999\dots
  • Сума \sum_{i=k}^{\infty} a_i p-адичних чисел збіжна тоді й лише тоді коли (ai) є нуль-послідовністю.
  • Топологічний простір p-адичних цілих чисел з метричною топологією гомеоморфний множині Кантора, а простір p-адичних чисел з метричною топологією гомеоморфний множині Кантора з вирізаною точкою.

Література[ред.ред. код]

  • Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел, — М.: Наука, 1985.
  • Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции, — М.: Мир, 1982.
  • Серр Ж.-П. Курс арифметики, — М.: Мир, 1972.

Статті з математики, пов'язані з числами

Число | Натуральні числа | Цілі числа | Раціональні числа | Ірраціональні числа | Constructible numbers | Алгебраїчні числа | Трансцендентні числа | Computable numbers | Дійсні числа | Комплексні числа | Подвійні числа | Дуальні числа | Бікомплексні числа | Гіперкомплексні числа | Кватерніони | Октоніони | Седеніони | Superreal numbers | Hyperreal numbers | Surreal numbers | Nominal numbers | Ординальні числа | Кардинальні числа | P-адичні числа | Послідовності натуральних чисел | Математичні константи | Великі числа | Нескінченність